Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В том, что это положение не может быть д»казане без-этой аксиомы в ее широкой трактовке, можно убелиться на примере треугольника О(Я [черт. 871. В нйм ('„й является высотой, опущенной на ОФ Длина отрезка ф7 « — с" получается-с помощью поворота ~ — н«-; О; — созС е оказывается, что ТОЙ = з( п С. Так как О«,»=созС, то мера площади этого треугольника» с одной стороны, должна быть равна Сов Г. »!в Г /=в 2 Найдем основание 8 перпендикуляра, опущенного нз точки О на ОВ: Л= сов С+ 1еп зш С сов С, Далее, с помощью конгруентного отображения « — г — -и+ «)»ч —, — 1. — созС е 3 » получим, что ~~Я = е-' гйп С соз С, а так как Ой =а-', то мы, с другой стороны, для меры плошади треугольника ОЯЙ получаем значение е-» е»сов»»!в» 2 ,которое наверное меньше,,чем сов г в!и г В то время, как понятие .меры площади без аксиомы П! о конгруентностн треугольнмков в ее,широкой трактовке теряет свой смысл, понятие «многоугольники, равновеликие ло разложению» и «многоугольники, равноведанае ло дополнению» определяется в точности так, как это было сделано.
в 2 18, Опять-таки так же, как в 2 19, доказывается теорема 48 о том, что два треугольника с равными основаниями и равными высотамй равновелики по дополнению Далее, убеждаемся, что и. на основании узкой трактовки аксиомы И!ь на любом отрезке можно построить квадрат, т. е. четырехугольник с равными углами, каждый 222. ДРВАВЛЕНИЕ И О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 228 из которых составляет —,, и с равньии сторонами, В нашей геоиетрии ииеет также место и теореиа.Пифагора, согласно которой два квадрата, построенные на катетах прямоугольного треугольника, вместе равновелики по пополнению квадрату, настроенному на гипотенузе этого треугольника. Действительнс) легко убелиться, что в евклидовои доказательстве теоремы Пифагора используется только конгруентность одинаково расположенных треугольников и, следовательно, "что это доказательство опирается на аксиому о конгруентности треугольников только в ее узкой е г ' трактовке.
— — и, -.'ф»пф-и *и- в' угольникам ООР и Оф7 (черт. 87], Черт. 89. мы с помощью теоремы 43 находим, что квадраты, построенные на отрезках ОР и О)с, равновелики по дополнению, хотя эти отрезки, как мы убедились, не рави ы д р у г д р у г у ! черт. 89]. Связь этого обстоятельства с теоремой 52 совершенно ясна, и мы,видим отсюда, что основная теорема Евклида, согласно которой два равновеликих треугольника с равными основаниями всегда имеют равные высоты, в нашей геометриии тоже несправедлива. И действительно, упомянутая теорема (теорема 48) была доказана в ч 21 прн помощи существенного использования понятия «мера площади». Итак, наша геометрия убеждает нас в слелующем: Невозможно обосновать учение Евклида о площадях с помощью аксиомы о конгруенаносаи треугольникоВ в ей узхой аракаоюсе, даже если предположить, что ученме о пропорциях справедливо.
В нашей геометрии не выполняется хорошо известное соотношение между гипотенузой и катетами прямоуголь- ного треугольника †соотношен, которое в обычной геометрии выводится из теоремы Пифагора; поэтому я позволю себе назвать нашу геометрию непифагоровой геометрагй. Сделаеи свалку важнейших результатов, следующих из нашей непнфагоровой, геоиетрии: Если мы примем аксиому о конгруенаности треугольников е ев более узком смысле, а из аксиом непрерывности будем считааь справедливой только аксиому соседства,, то ок жется, чао теорема о равенстве углоз при основании равкобедренного треугольника не может быть доказано. даже если предположить данным учение о пропорциях., Точно аак же не следуеа отсюда учение Евклида о площадях; также теорема о аом, что сумма двух сторон треугольника больше третьей, и третья аеорема о равенстве треугольников не являются,необходимыми следе»пенями из сделанных нами предположений.
Мы хотим построить ещй другую не пифагорову г е о м е т р и ю, отличающуюся от ранее расмотренной нами геометрии тем, что в ней аксиома. Архимеда у, выполняется, но аксиома соседства т» не выполняется. В основу этой геометрии иы положим подиножество 9 действительных чисел, которое состоит из всех действительных чисел, получающихся из чисел ! и )А=!я! путвм применения конечного шсла раз операций: сложения м, + м,„вычитания м, — м, умножения ю, и„ деления м,:м,(если только м» Ф О) н возвелення в степень м» '! при этом м, и мх означают числа, полученные уже с помощью пяти указанных операций из чисел 1 и р„ Чтобы получить число м из чисел ! и у., надо эти пять операций прйменить соответственно п„ п„ ..., и, раз.
Числа м области и' могут затем перечисляться с помощью возрастающей суммы и,+и,+... +и, Иа основе этрй, числовой систеиы мы построим геометрию плоскости с помощыО таких же соглашений, с по. мощью которых мы построили на стр. 206 †2 первую непифагорову геометрию на основе числовой системы Т; мы убедимся потом в том,,что при естественном определении ДОВАВЛЕНИЕ Ы порядка в нашей геометрии в ней выполняются как все законы счйта 1 — 16 3 13, так и аксиомы !1 з, !1, !Ч.
Каждому числу м области !), Расширенной путам приобщения к иену числа сю, соответствует .бесчисленное множество чисел 9, удовлетворяющих уравнению Ь= агс)ям. Совокупность всех чисел Ь, получающихся с помощью этого уравнения, образует некоторую область В, не совпадающую с И, ио так же, как и !1, счетную. В основу дальнейших наших рассуждений мы положии какой-нибудь способ перечисления чисел области В.
В процессе перечисления существует первое число, не равное произведению рационального числа и числа и; обозначим его через 9» . Первое число из области В, которое нельзя представить в виде Ь = Гп+ Г»9 где Г и г, — некоторые рациональные числа, мы обозначим, если оно Вообще существует, через 9»н Продолжая так же поступать дальше, мы обозначим через 9 первое чи»аат сло Ь области 8, которое нельзя представить в виде 9 = Гп+Г,Ь» +Г,Ь» +... +г Ь„, если только такое 9 вообще существует.
Таким образом, определена последовзтельность 9», Ььм Ь ,..., которая наверное имеет один член, а, может быть, имеет таковых бесконечное множество: Кая1лое число 9 области 4) может быть теперь однозначным образ о м прелставлено в виде Ь=гп+Г,Ь, +г,Ь, +... +Г„Ь», где 9, 9,..., 9 и.суть л первых членов только что »ь ОНРЕДЕЛЕННОй'ПОСЛЕДОаатЕЛЬНОСтн, а Г, Г„га,..., Ä— некоторые рациональные числа. Так же, как и в первой непифагоровой геометрии )см. стр. 212), мы Определим и здесь конгруентность отрезков и углов с помощью конг руен тн ого отображения.
О РАВенстВе уГлОВ при ОсноВАнии треуГОльникА 2ю Под конгруентным отображением мы здесь будэм понимать любое преобразование вила: х' + 1у' =. 2" е» (х + 1у) + ). + 1)», где 9 †некотор число области В, Г, — рациональное и число, входящее В вышеуказанное представление числа Ьт, ) и )г — любые числа области 1!. Эти конгруентные отображения, как легко проверить, образуют группу. Действительно, легко проверить, что они обладают указанными на стр. 208 свойствами 1 и 2. Свойство 3 следует из того факта, что числа 1 ге э 2', соз Ь =- — =, з1п 9= =.
1' Г+ гят Э Г' 1+ 1ят Ь принадлежат области Й. Свойство 5 получается следующим образом. Доказательство сводится к однозначному с точностью до слагаемого, кратного 2п )ср. стр. 209 — 210), определению числа 9 из области В, удовлетворяющего уравнению а'+ Г! 2' е'» =— а+Г! з Разделив инимую часть числа, стоящего в этом равенстве справа, на его действительную часть, получии: аэ' — )а' '+ И" Этим уравнением число Ь числовой системы й определяется с точностью до слагаемого, кратного и. Определение его с точностью до слагаемого, кратного 2п, производится так же, как это было сделано в первой непифагоровой геометрии !см.
стр. 211). Доказательства свойств 4, 6 и 7 производятся тоже, как в первой непифагоровой геометрии. Таким образом, из доказанных семи свойств конгруентного отображения следует на основании общего аоказательства, данного на стр, 213, что аксиомы 1!1, а в нашей геометрии выполняются, Справедливость аксиомы Н1, можно, 1б Д. Гальварт ЛОВАВЛЕНИР Ы очевидно, показать аналогично тому, как это было сделано в первой непифагоровой геометрии. Из этих определений порядка и конгруентности следует справедливость аксиомы Архимеда Чн так как область (а является частью области всех действйтельных чисел, То, что аксиома соседства, напротйв того, в нашей геометрии не выполняется, доказывается следующим образом.
Для каждого треугольника можно найти конгруентный ему треугольник ОАВ с вершинами О =(О, 0), А =(а, 0), В=(р, 7), где а и 7 суть положительные числа. Поэтоиу лостаточно показать, что в каждом таком треугольнике находится отрезок, длина которого была бы, например, равна 1. Луч ОВ, независимо от того, равно ли р нулю или нет, можно представить с помощью уравнения: г арсаев т х+(У=в Ь.з, ДлЯ данных чисел Р„бвн агс(Д вЂ” ) О навеРное можт ио найти два целых числа а и К удовлетворюощих нера- венству 0(2ь и+гтбь (агс1Я ), т Из тождества  — 1 1'1.+ 1ка В ь2 1НВ (2) Следует, что †, а следовательно, в силу теоремы о тан- генсе суммы, а еь+ гайь, где з есть положительный параметр, принадлежащий области ().
Так как числа ау и (а — р)+7 положительны, то мы можем найти целое, не обязательно положительное число г„удовлетворяющее неравенству )Р— 1+т' О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬН икА 227 суть числа области В. Из неравенства (2) следует, что луч х+(у=е'в г, з) 0 проходит внутри угла бС АОВ. Свободный конец С от- 1 расположенного на этом луче и начинающегося в точке О, можно представить в виде к+(у=2' в'в. Точки О и С расположены по одну сторону прямой АВ '(черт. й так как, . 001, , в силу неравенства (1), определители (г — ' т 'р — а Т ~ > 2Р)р — а) — 2 7+аТ вЂ” ! 2" совЬ вЂ” а 2' жп8) оба положительны. ак м .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
