Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ХХХУ. справа от той прямой, которая другой стороной угла определяется как по своему положению, так н по своему направлению; левая же сторона угла лежит слева от прямой, которая другой стороной угла определяется как по своему положенюо, так и по направлению. О правых сторонах двух углов мы будем говорить, что они одинаково расположены относительно этих углов; то же самое относится и к левым сторонам, Аксиома о конгруентности треугольников в более узкой трактовке читается так: Ше.
Если в туеугольниках АВСи А'В'С' имеют место конгруентнос гни АВ =.:.= А'В', АС= А'С' и ~ ВАС: —. бц В'А'С', то для этих треугольников справедлива также конгруентность ~ АВС =" ~С А'В'С', при условии, что АВ и .4'В' суть одинаково расположенные стороны углов~ ВАС и х В'А'С'. Из более широкой трактовки П! этой аксиомы и второй части аксиомы П!4 непосрелственно слелует теорема об углах 'при основании равнобедренного треугольника (теорема 11, стр.
71), Обратно, можно показать аксиому в ей широкой трактовке Ш с помощью принятых нами здесь аксиом ь 1, П, П!, „!Пз, теоремы об углах при основании равйобедренного треугольника и лвух следующих аксиом: П! . Если углы «С(й', й') и бС(й",й") порознь конгруентнй углу »С (й, й), то они конгруентны также друг другу. Утверждение, содержащееся в этой аксиоме, было доказано на стр. 77 в качестве теоремы 19 с помощью широкой трактовки аксиомы Шь о конгруентности треугольников 1П,. Если два луча с и а!, исходяшпе из вершины Угле 4 (е, Ь), лежат внутри этого угла, то угол »:(а, Ь) не конгруентен углу ~(с,«1).
204 ДОВАВЛЕНИЕ и О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРН ОСНОВАНИН ТРЕУГОЛЬ никА 205 Доказательство аксиомы П!, с помощью перечисленных аксиом и теоремы об углах прй основании равнобедренного треугольника мы здесь опускаем л). 1Ч. Аксиому о параллельных, которую можно здесь взять в ей более слабой формулировке (Ч (стр, 86). Ч. Следующие аксиомы непрерывности: Аксиома Архимеда Ч, (стр. 87). (Аксиомой полноты Чг, сформулированной на стр. 87, мы здесь не будем пользоваться.) Чг, (Аксиома соседства.) Для всякпгп произвольно заданного отрезка АВ всегда существует треугольник, внутри кптпрпгп нельзя найти отрезка, кпнгруекткпго АВ. Эту аксиому можно доказать с помощью более широ, кой трактовки аксиомы 1П о конгруентности треугольников.
Доказательство опирается на следующую теорему, вытекающую из теорем 11 и 23: сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны. Имеет место следующее положение, докззательство которого мы здесь опускаем: )та основании всех вввдйнных нами здесь аксиом 1 — Ч можно доказать теорему и кокгрувнаяпсти углов при основании равкпбвдрвккпго трвугпльника (теорема 11), а евм самым доказать аксиому П( и конгруенткости треугольников в ев более широкой трактовка, Является вопрос, можно ли доказать аксипму о кокгрувнткпсеи треугольников в ей широкой арактпвкг, основываясь на узкой трактовка этой аксиомы, кп не прйбвгая при этом к аксиомам нвпрерывности Ч, Дальнейшее исследование покажет, что нельзя опускать ни аксиому Архимеда, даже если првдпплагать справедливость предложений теории пропорций, ни аксиому соседства.
Геометрии, которые я в дальнейшем буду строить с этой целью, проливают, как мне кажется, новый свет на логическую связь между теоремой о равнобелренном треугольнике и другими теоремами элементарной геометрии на ь) Тот факт. что при этом доказательстве более нзирокую аксиому В. Ц а б е л н (%. 2 а Ь е !), которой я пользозалсг раньше, достаточно заменить аксиомой П1ь заметил П. Б е р н а й с (Р. В е т п а у э). плоскости, особенно на связь между этой тео емой и учер нием о плозгадн. Пусть ! — параметр, а а — некоторое выражение, со- держащее конечное или бесконечное число членов вида: а=а !э+аз(л г+аг(лэг+..., (+~0), аг,...
могут быть любыми дейелое ациоиаль- ствительными ельными числами а и — произвольное целое р ное число = 0)г Совокупность всех выражений этого вила -"- (= а, к которой добавлен ещй О, мы уд р ( б ем ассматривать как комплексную (в смысле $ 13) числовую систему Т, для ко торой мы установил или следуюн!ие правила: числа системы есл бы складывают вычитают, умножают д и елят так как если ы 1 они были обыкновенные абсолютно сх д щ о я неся степенные ряды, расположенные по возрастающ им степеням перемен- ного Получающиеся таким образом суммы, разности, произвеления ч и частные являются опять-таки выраж т ыТ. мым числами комплексной числовой системы вида а и тем самым Мы будем говорить, что число а или, смог тому, является ли первый коэффициент аэ в соответствую- ш р ем выражении для а ч ислам отрицательным или положив кие-либо два числа комплексной тельным.
Пусть а и у — как числовой системы Т, мы гов р о нм что ас' 8 или что а)р, смотря по тому, будет л —, р) О. что при этих определениях правил — 6 „1 няя;-напротив того, аксиома Архимеда, правило 17 5 $3, ются; -на р т ак, как бы ве- з наше й системе Т не вмполвиегсн, так к А всй лико ни ыло д б ействительное положительное. число ., же Агс, 1; итак, наша комплексная числовая система яв- ляется неархимедовой системой, Если т есть выражение вида т — а (л+ аз(лэз+ и (лэг+ в котором аэ~-~- па„г,...
( ~'- 0), а а,... суть действительные числа, а число и, являющеес ееся показателем наинизшей степени, в которой параметр 1 вхолит в выражение т, больше нуля, то мы будем т называть бесконечно малым числом ком- плвкскпй системы Т. 206 ДОВАВЛЕНИВ П Любой степенноИ рял вила !(!(Т) = с +с,т+ с те+..., е котором с, с, с,... ь, „я,... могут быть любыми лействитель. ными числами, а т— — бесконечно малое число системы Т, является опять-так и числом системы Т; этот ряд можно ас- положить по возрастающим степеням параметра 1, причам ные числа и коэффициентами в этом ряду булут служить ей нть ле'ствительла, получающиеся путйм конечного числа а ф тических ей д стзий из коэффициентов данного ряда и яда, определяющего число т, яда и ряда, Пусть, далее а н р с т числа системы Т.
Число суть два произвольно выбранные в котором 1 — мнимая единица, т. е. (ч= —.— — 1, мы б называть мнимым ца, т. е. 1 = —. — — 1, мы будем числом относительно комплексной системы Т, и пусть равенство а+ !Я с=а'+ф' ГЯ с=а +(6 означает, , е', ' есконечно малого Опрелелим функции Рйпт созт е', е' б числа т их степенными рядами. Тогда значения этих ф нк- ций опять-таки будут числам сис Т и темы или же мнимыми функ- числами относительно системы Т. Если 9 — бое ' ли — лю лействичисло, то функции з!и (9 + т), соя (9+ т), е' !а"'>, равенств; е'зь('+'!' мы можем определить в системе Т с помощью з1п (9+ т) = 51п 9 соз т + соз 9 Рйп т, соя(9+ т) = соз 9 соя т — я1п 9 з!их, е'(аь'! = е'а е'", е!ьь(1+ !1Р— е~е!(а+~1 ношения. Из этих определений получаются хорош о известные соот- '(9+с)+ з!На(9-)- ) =.1 соз(9+т) + !'В(п(9+т) -- е (а+ ! Теперь, с помощью комплексноИ числовой системы Т, построим плоскую геометрию следующим образом.
Будем считать па ру чисел (х, у) комплексной числовой системы Т точкой а отношение - б каких-ли о трзх чисел О РАВенстВе уГлОВ НРИ ОснОВАнии тРеугольникА 207 (и;о:ш), из которых и и О оба одновременно ие равны нулю, — прямой; далее, пусть выполнение равенства их+ Ну+те=0 выражает, что точка (х,у) лежит на прямой (и(о1п!). Плоская геометрия, построенная указанным способом на основе числовой системы, в которой имеют место правила ! — 16 6 13, как об этом было уже упомянуто в й 9, удовлетворяет аксиомам 1,, и !У.
Легко убедиться, что прямую можно задать ей точкой (хе,уь) н отношением лвух чисел а, р, из которых по крайней иере одно отлично от нуля. Уравнение х+ су = х, + !у, + (а+ гр)е, (а+ !(( ~ О), ~х — х, у положителен или отрицателен. Можно убедиться, что данное тем самым определение стороны по отношению к прямой не зависит от выбора точек (х„у,) и (х,уя) на прямой и согласуется с опрелелением сторонй, данным на стр, 64, В основу определений конгруентностн мы положим преобразование вида. х'+ !у' = е'"+(1+0'(х+ су)+! + !р; в котором е есть некоторое число системы Т, означает, что точка (х,у) принадлежит упомянутой прямой.
Упорядочим точки на прямоИ соответственно величине параметра е, Луч заданной прямой, исхолящий нз точки (х, ! ), определяется з таком случзе дополнительным условием: е УО или е(0 Если двум точкам А и В прямой соответствуют значения параметров е и е (Ре ), то отрезок АВ определяется уравнением прямой и дополнительным условием е,~ а~ е . В таком случае аксиомы !!1, также выполняются; чтобы убелиться, далее, что аксиома порядка 1!с также выполняется, введвм следующее определение: мы будем говорить, что точка (хм у,) лежит по одну или по другую сторону от прямоИ, определяемой точками (х„у,) н (хя, у ), в зависимости от того, будет лн знак определителя 208 довлвление юю о глввнстве гглов пги основании тгвггольникл З)Ь кратко мы его будем записывать так: х' + юу' = [9, т; Л+ ю)ю) (х+ юу), в котором 9 — произвольно выбранное действительное число, т — бесконечно малое число системы Т а Л и темы Т, Преобразование этого вида мы будем б ажение и н к называть нонгруенюлным олюобраеюеением.
Конгруентное от- о- ражение, прн котором Л=Ь=О, называется поворотом около точки (О, О). Свк овокупность таких конгруентных отображений об а- зет г пп у ру у, т, е. эта совокупность обладает следуюеии о ра- щими свойствами: 1. С уществует конгруентное отображе- ние, оставляющее все точки на месте: [О,О;О)(х+юу)=х+юу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
