Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2, Результат двух конгруентных отобраругим, пред- жений, выполненных одно за другим ставляет собою также конгруентное отоб а- жение: ото ра- [Ь.„т,; ю,, + юрю~ ([Ьм т,; Л, + ю)ю,] (х+ юу) ) = =-[Ье+Ь„'г +т,; Л,+ юрв+ем яр+0" (Л,+ю)юю)1(х+юу). Для каждого конгруентного отображения существует обратное ему отображение: [ — 9, — т; — (Л+ юр) е юв О+ О'~ [ [Ь, т; Л+ юр) (х+ юу) ) = =х+юу, Это свойство является следствием свойств 1, 2, 4, 5. Кон груентное отображение обладает ассоциативным свойством, т.е.
если мы три конгруентных отображения обозначим через К„ К„, К„ а конгруентное отображение, получающееся нз К„К, согласно пункту 2, обозначим через КвК„то будет иметь место равенство к (к к,)=(кюк,) кг Кроме этих свойств укажем ещ6 следующие свойства конгруентного отображения: 3. Точка всегда снова переходит в точку нашей геометрии.
Пара чисел х', у', получающаяся прн конгруентиом отображении из пары чисел х,у, принадлежащих системе Т, также принадлежит этой системе. 4, Прямая переходит опять в прямую, причем порядок следования точек при этом сохраняется„ Легко получить соотношение [Ь, т; Л -(- юр) (х, + аул+ (и+ Ф е ) = хв+ 'Уо+ (д + 'г ) е' в котором из неравенства а+юр'чыО (так как показательная функпня в нуль не обращается) следует неравенство а'+ юр' Ф О. В качестве непосредетввиного слелствня отсюда находим, что две различные точки преобразуются всегда в различные точки.
5. Существует .одно,и только одно конгруентное отображение, переводящее данныйй .луч Й, в данный луч Й'. Пусть луч Й дан уравнением: х+ юу' = хе+ юуе+ (а + юр) е, а+ юр Чн О, е ь О, а Й' — уравнением: х'+ юу=х',+ уе'-[-(и'-(- юр) е', а'+ Ц'чь О, е'>О. Коигруентное отображение,[Ь,т; Л+юр1, переводящее луч Й в Й', должно прежде всего точку, из которой исходит луч Й, перевести в точку, нз которой исходит луч Й', т. е.
х'+юУ'=еюа+<ю"'юж(хе+ юУе)+Л+ю)ю ' (1)' палее, каждому положительному значению е должно соответствовать положительное значение е' так, ятобы хе+ юуе+ (а' + ю Р') е' = [9, т; Л + ')ю) ( Хо + юуе + (а + ю Г) г Юю 14 д гмльемм довлвлаиия ы и, таким образом, . (а.'+ ф') а' =еа+о+гм(на+)р) а (2) Обратно, всякое конгруентное отображение, уловлетворяющее, условиям. (1) н (2), переводит луч Ь в луч Ф'. Разделив последнев равенство на сопряженной ему, Мнимое равенство, мы получим а'+Ц' Полагая мы вайдам, что (с+, уг1) (9 — /г)) = Гв+ па = 1.
$ и г), будучи числами нз Т, представляют собою степенные ряды с параметром 1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Г, мы выводим нз этого равенства, что в ряды ; и г) параметр г' не входит с отрицательным показа. телек, так что нх можно представить в следующем виде: с=а+ 1', и= Ь+ и', гле а и Ь вЂ” обыкновенные действительные числа, а Ь' н бесконечно малые числа системы Т, а что имеют место соотиошсния аа+ Ь'=1, 2 (ас' + Ь й') + ~' + ' = О. ,Равенство (3) еаг<" о = с+ 19, в силу 'определения тригонсметрических функций, может быть Ореобразовайп так: соз 2 (9+ т) = соз 29 соа 2т — з)п 29 мп 2т = с = а+ с', я(й2(9+ т) =' в(п 29соз2т+соя 29з(п2т=п — ь+и', ( Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т а этих равенствах, мы найдем, что соз 29 = а, ейп 29 = Ь.
о глвхнства хглов. пви основании тгав-Пльникл 211 Отсюла, в силу соотношения аэ+ ЬЯ=-1, можно одно- значно определить действительное число, 9 с точностью до слагаеиого кратного и. Подставив значения соа29 =а, тип 29= Ь в (5), мы придем к соотношениам: соя 2т=! +а9'+ Ьп',, а)п 2т = ат)' — Ьч', а так как, в силу соотношения (4), сумма квадратов правых частей равна 1, то бесконечно малое число т определяется однозначно. Оно может быть вычислено на осно. ванин двух последних равенств с помощью прнравнивания коэффициентов при одинаковых степенях Г. Так как 9 определено только с точностью до слагае.
мого, кратного и, то множитель е'а бэб' определен только с точностью ло знака. Как легко заметить, только один из двух знаков даат в равенстве (2) для лоложнтельных значений а положительные же значения а'. Итак, действительное число 9 определяется с точностью до слагаемого, кратного 2п. Подставив эти значения 9 и т в равенства (1), мы определим однозначно числа х и р системы Т. Наконец, убеждаемся, что равенства (1) и (3), а следовательно, и найденные значении 9, т, 1, )г не зависят от способа представления лучей Ь и Ь'. 6. Для любых двух точек А, В существует конгруентное отображение, переводящее точку А в В и точку В в А. А именно, если точки А, В имеют соответственно координаты (х„у,) и (х„у,), то конгруентное отображение [и, О; х, +х, +г(у, +у,)1 и является искомым.
7. Если некоторое конгруентное отображение переводит луч Ь в луч Ь' и точку Р в т о ч к у Р', т о т о ч к и Р и Р' о д и н а к о в о р а с п оложены относительно лучей Ь и Ь'. Г!окажем сначала, что определители х,— х, Уа —,У, хз- хг Уа 'У' 14* 212 ДОВАВЛЕНИЕ Ы О РхвенстВе уГлОВ пРи ОснОВАнии ГРеуГольникА 218 имеют одинаковые знаки в том и только в том случав, когда точки (х,у,) и (х', у') одинаково располох«ены (см. стр. 203) относительно направленных прямых, определяемых соответственно точками (х„у1) (хю.ув) и (хг ув) (хв ув).
Прежде всего, из данного на-стр. 137 — 138 определения терминов «справа» и «слева» заключаем, что точки (х, ), в У»1 н (хв,у,) расположены различным 7»»,уу образом относительно направленных прямых, определяемых соответственно точками (х,, у,), (х,у,) и '(хо у,), (х„у,) (черт.
841. Соответствующие определители ' действительно отличаются своими 748' знаками. Теперь наше утверждение У»у» Че т. 84. ' следует полностью из того обр ° стоятельства, что опрелеление сто- рон прямой с помощью знака указанного определителя удовлетворяет изложенным на стр.
66 свойствам понятия «сторона». Свойство 7 булет поэтому доказано, если булет показано, что знак определителя хв х1 ув у1 хв — х1 ' ув у1 не меняется при конгруентном отображении. Но.вель этот определитель отличается .только положительным множителем бт мнимой части лроби (хв+ 'Ув) (х»+ ГУ1) (х, )- гув! — (х,.+ ту,) ' причдм непосредственно видно, что эта дроб др ь .Инвариантна относительно конгруентного отобран!ения. Введем следующие определению мы будем. говорить, что некоторый отрезок конгруентен лругому отрезку в том отоб и только в том случзе, когда существует конгруен ру нтное мы б ражение, переводящее первый отрезок во ат)врой, г удем считать конгруентным другому углу в том и только в том случае, когда сущестнует конгруентное ото.
бражение, переводящее один угол в другой. Мы покажем, что д а н н о е о п р еде л е н н е ко нгруентности отрезков и углов 'удовлетворяет аксиомам Ш, в, если только положенное в основу его конгруентное отображение обладает снойствамн ! — 7. Справелливость аксиомы' Ш, является непосредственным следствием свойства 5. Справелливость аксиомы Ш, доказывается следующим образом.
(!усть конгруентные отображения К, и К, переводят отрезки А'В' и А"В в отрезок АВ. Из свойств 1, 2, 4, 5, слелует, что конгруентному отображению К, соответстнует обратное ему конгруентное отображение Кв ' . Конгруентное отображение Ав ' К„существующее в силу свойства 2, переводит отрезок АЪ' в А»В". Аналогичным образом доказывается справедливость аксиомы И!в. Покажем теперь, что если отрезок .4В конгруентен отрезку .4'В', то конгруентное отображение К, которое переводит луч АВ в луч А'В', переводит также точку В в точку В'. Положим, что конгруентность отрезков АВ и А'В' получена с помощью конгруентного отображения К,. Если К, переводит точку А в А', то в силу свойства 4 конгруентное отображение КК; ' переводит луч А'В' в сзмого себя, а потому в силу свойстн 1 и 5 оно должно оыть тождественным отображением. Если же отображение К, переводит точку А н В', то мы воспользуемся отображением Кв, переводящим точку А в В и точку В в А; это отображение К, должно существовать в силу свойства 6.
Конгруентное,отображение К(К,К1 1) переводит луч А'Б' в самого себя, и, следовательно, есть тождественное отображение,' Из доказанного и из свойств 4 и 5 непосредственно следуе~ справедливость аксиомы !И„ я из доказанного и из свойстн 4, 5 н 7 непосредственно следует аксиома И!в. Наконец, справедливость аксиомы И! доказывается сдедующнм образом: если даны угол ~г,(а', Ь) и луч с, довлаление и то в силу свойства 5 существует одно и только одно конгруентное отображение К„переводящее а в с, а также одио и только одно отображенйе К„переводящее Ь в с [черт, 85~, Отображение К„как легко убелиться на основании свойства 4, рассмотрев конгруентное отображение 7( ', переводит луч Ь в луч Ь', отличный от с; аналогично, отображение Кв переводит луч а в луч а', также отличный от с.
Конгруентное отображение К,К1 переводит луч с в а', а луч Ь' в с, Из свойства 7 следует, что лучи а' и Ь' лежат по разные стороны луча с. Таким образом, первая часть аксиомы 1И4 выполнена. Вторая часть этой аксио3 мы является непосред- ственным следствием свойг ства 1. Справедливость аксиомы 1И, получается путям следующих рассуждений.
Черт. 85. Луч, исходящий из точки (0,0),— мы будем ея обозначать буквой 0 — всегда можно представить с помощью уравнения, имеющего внд: х+(У='епачбе е)0 этот луч получится из положительной полуоси х путям вращения [Ь, т; 01. Как легко показать, из двух лучей, исходящих нз точки 0 н расположенных в полуплоскости положительных у, тот луч лежит между другим лучом и положительной полуосью х, которому соответствует по модулю 2к меньшая сумма Ь+т. Положим теперь, что правая сторона Ь некоторого угла совпадает с положительной' полуосью' х; пуйь уравнение левой его стороны й будет х+(у=е'<а ' 1е; е) О. Во внутрь этого угла ведат исходящий из точки 0 луч л', В таком случае существует одно и только одно конгруентное отображение, которое переводит луч л в Ь', а именно о гаввнствв ьглов пги основании теяьгольникл 2(8 в ащение [Ь, т, 01 оно переводит луч й в луч и уравнение которого Х+(у=Еда+а ~' э"1Е; Е)0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
