Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Путпь мы имеем задачу на ееоме>лрическое построение такого рода, что при ее аналитическом решении координаты искомых точек могут быть получены из координат заданных точек с помощью рациональных операций и извлечения квадратного корня', пусть п — наименьшее количество квадратных корней, которое оказывается при этом дос>паточным для вычисления координат точек; для того, чтобы рассматриваемая задача могла быть решена только с помощью проведения прямых и откладывания отрезков, необходимо и дос>папючно, чтобы эта геоме>прическая задача при привлечении бесконечно-удалйнных элементов имела ров о 2" действительных решений и притом для в с е х положений заданных точек, т. е. для всех значений встреча>ощихся в координатах заданных точек произвольных параметров.
На основании рассуждений, приведвнных в начале этого параграфа, ясна необходимость установленного критерия. Утверждение, что этот критерий также и достаточен, вытекает из следующей арифметической теоремы: Теорема 66. Пусть функция 7'(ри...,р„) получается из параметров р,,..., р„при помощи рациональных операций и извлечения квадратного корня. Если эта функция для к аж до й действительной системы значений параметров представляет в п о л н е действительное число, то она принадлежит полю ()(Я), которое получается из р„..., р„пулам четырйх арифметических действий и извлечейия квадритного корня из суммы квадратов двух чисел.
Прежде всего, сделаем следующее замечание: ограничение, заключающееся в том, что квадратный корень извлекается из суммы, состоящей т о л ь к о и з д в у х квадратов, можно устранить. Действительно, формулы (Г Г> показывают, что извлечение квадратного корня из суммы любого числа квадратов всегда можно свести к повторному извлечению квадратного корня из суммы лвух квадратов, Соответственно этому, достаточно, рассматривая поля, которые при построении функции 7'(ри..., р„) возникают одно за другим пут6м последовательного приобщения входящих в эту функцию квалратных корней, доказать, что подкоренное выражение в каждом из этих квадратных корней в предшествующем поле представляет собою сумму квадратов. При доказательстве этого положения мы будем опираться на следующую алгебраическую теорему: Т е ор е м а 67. Каждая рациональная функция р(Р> "., р„) с рациональными коэффициентами, которая ни при каких действительных значениях параметров не принимает отрицательного значения, может быть представлена в виде суммы квадратов рациональных 188 Гл.
ч!и Гвомвтгическив постговния функций переменных р„..., р„с рациональными коэффициентами "). Этой теореме мы дадим следующую формулировку: Теорема 68. В поле, порождаемом 1,р„...,р„, всякан ншсогда (т. е. ни при какой системе действительных значений переменных) не отрицательная функция является, суммой квадратов. Пусть функция 7'(ри..., р„), обладает свойствами, указанными в теореме 66. Распространим последнее утверждение на поля, получающиеся при последовательном приобщении тех квадратных корней, которые нужны для построения функции 7'.
Для этих полей каждая нигде не отрицательная функция, для которой сопряжбнные функции также нигде не отрицательны, может быть представлена как сумма квадратов функций соответствующего поля. Доказательство мы будем вести по методу математической индукции. Рассмотрим поле, которое получается из )г путЕм приобщения одного квадратного корня. Выражение, стоящее под этим квадратным корнем, представляет собою некоторую рациональную функцию у',(р„..., р„), Пусть уэ (р„..., р„) — функция из получейного путам расширения поля (Й, )Я), которая вместе с сопряженными ей функциями нигде не принимает отрицательных значений и не обращается тождественно в нуль.
Эта функция уэ имеет вид а + Ь)Я, где а и Ь, равно как и Уи суть рациональные функции. Из сделанных относительно 7" предположений следует, что сумма у и произведение ф функций а + Ь1' у, и а — Ь )Я нигде не могут принимать отрицательных значений. Функции у =- 2а, ф = аэ — Ьэ Ум ь) Для одного переменного эта проблема была впервые разработана мною. Э.
Л а н д а у выполнил доказательство этой теоремы для случая одной переменной, использовав при этом очень простые в элементарные вспомогательные методы (см. Е. 1. а и й а о, Ма(Ь. Апо., т. 57, 1903). Не так давно полное показательство этой теоремы было дано А ртн нам (см. Ат11п, НатЬэгйет АЬЬзоб1ьойеп, т. 5, 1927). $37. кгитвгий выполнимости постговний сверх того, рациональны, а потому они представимы, согласно теореме 68, как суммы квадратов функций из поля гг'. Кроме того, у не может обращаться в нуль тождественно.
Из авнения ур р,— йу,+ф=о, которому должна удовлетворять функция у„мы находим: Следовательно, в силу сказанного раньше относительно функций у и ф, функция Уэ может быть представлена как сумма квадратов функций, взятых из поля Я,)'Я. Результат, полученный таким образом для поля Я, )Я), соответствует теореме 68, справедливой для поля гс. Используя только что применбнный приам при дальнейгних расширениях, мы придан, наконец„ к выводу, что в каждом из полей, к которым мы приходим прн построении функции у; каждая функция, нигде не отрицательная вместе со своими сопряженными, представляет собою сумму квадратов функций, взятых из соответствующего поля.
Рассмотрим какой-нибудь квадратный корень, встречающийся в у. Он, вместе с сопряженными ему функциями, должен быть во всяком случае действительным; поэтому подкоренное выражение, вместе с выражениями, ему сопряженными, в том поле, из которого оно взято, должно быть нигде не отрицательной функцией; следовательно, это подкоренное выражение представимо в этом поле в виде суммы квадратов. Тем самым теорема 66 доказана; критерий, данный в теореме 65, таким образом, достаточен. Примером применения теоремы 65 могут служить правильные многоугольники, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. В этом случае произвольный параметр р не встречается, а выражения, подлежащие построению, все представляют собою алгебраические числа.
Как легко видеть, в данном случае критерий теореиы 65 выполняется (эь1, и, следовательно, такие правильные многоугольники могут быть построгиы также с помощью 190 ЗА КЛИ ЧЕН И Е гл. чы. гвомвтгичвокив поствовния одного только проведения прямых и откладывания отрезков, Этот результат может быть получен и непосредственно из теории деления окружности. Что касается других задач на построение, известных из элементарной геометрии, то мы отметим здесь только, что с помощью линейки и эталона длины решается проблема Мальфатти[а'~, но не решается задача Аполлония!аа) о касании окружностей ь), *) Относительно других геометрических построений с помощью линейки и эталона см. М.
г е1«!Ь!ив, «ОЬет е!ешеп!агеотебйасйе Копя!гия!!опеп», 1панйига!«йааег!а!!оп, Ошйпйеп, 899. астоящая работа представляет собою критическое иссле- Н' лозанне основ геометрии; в этом исследовании нами руководил принцип разбирать каждый представившийся вопрос так, чтобы при этом исследовать, можно ли получить на него ответ на предначертанном заранее пути при помощи определанных ограниченных вспомогательных средств. Этот принцип содержит, как мне кажется, общее и естественное положение; действительно, когда мы при наших математических исследованиях встречаемся с некоторой проблемой или предполагаем справедливость некоторой теоремы, то наше стремление к познанию бывает удовлетворено лишь после того, как нам удастся полностью решить проблему и строго доказать теорему, или после того, как нами полностью осознается невозможность такого решения (или доказательства) и тем самым становится очевидным, что все такие попытки неминуемо обречены на неудачу, Поэтому-то в новой математике вопрос о не возможн о с т и определенных решений или неразрешимости некоторых задач играет выдающуюся роль, и стреиление ответить на подобного рода вопрос часто служило толчком для открытия новых и плодотворных областей исследования.
Напомним только о доказательстве Абеля невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, далее, о выяснении недоказуемости аксиомы о параллельных и, наконец, о теореиах Эрни та и Линдеман на — о невозможности построить числа е и и алгебраическим пуан, Тот принцип, в силу которого следует повсюду выяснять условия возможности доказательства, теснейшим образом связан также с требованием «чистоты» методов доказательства — требованием, энергично выдвигаемым многими 192 зАключение математиками Это требование, в сущности, есть не что иное, как субъективное выражение принципа, которому мы здесь следовали.
В настоящем геометрическом исследовании мы всьзду стремились установить, какие аксиомы, предположения или вспомогательные средства необходимы для доказательства некоторой истины элементарной геометрии„' после этого, в каждом данном случае остается взвесить, какой метод доказательства следует предпочесть исходя из принятой только что точки зрения. Д.ГИЛЬ Б БРТ АОВА ВЛЯ НИЯ "ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТР Ш:" ДОБАВЛЕНИЕ У О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ" ) (Из письма Ф. Клейну. Перепечатано из Май. Апп., т, 46.) Если за элементы принять точки, прямые и плоскости, то для обоснования геометрии могут служить следующие аксиомы: !.
Аксиомы, указывающие на связь этих элементов друг с другом; в этой формулировке эти аксиомы гласят: Любые две точки А и В определяют прямую и.— Любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость а. — Если две точки А, В пря- мой а лежат в плоскости а, то прямая а целиком ле- жит в плоскости а. — Если две плоскости а, р имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В. — На каждой прямой имеются по крайней мере две точки; на каждой плоскости имеются «о крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой; в пространстве имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
ь) Относительно более общей постановка этого вопроса см, мой доклад, сделанный на Иитернапнональном математическом конгрессе в Париже а 1900 году: <Ма1йегпайасйе РгоЫещеъ, Об!Епйет Ь)ас)чг., )ч) 4, 1900, а также О. Нате!, 1папйпга!- О!жег!а!1оп, Оо!!!ппеп, 1901 н его же статью: «ОеЬег йе Оео- ще!т1еп, !и йепеп йе Оетайеп йе Кягвеэ!еп э|пй», Ма!Ь. Апп., т. 57, !903, !Зь 196 ДОВЬВЛВНИВ 1 о пгямой клк кевтчьйшвм глсстоянии 197 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
