Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Координаты х, у точек произвольной прямой удовлетворяют уравнению между отрезками следующего вида: их+Ьу+с=О; в этом уравнении отрезки. а, Ь должны сваять обязательно слева ов координат х, у;.отрезки а, Ь одно- временно не могут обращавьгя в нуль, отрезок же с— произвольный. Обратно; всякое уравнение между отрезками указанного вида представляет прямую в рассматриваемой нами плоской геометрии. Доказательство. Абсцисса х любой точки Р оси г нли параллельной ей прямой не зависит от положения точки Р на этой прямой, т, е, такая прямая представима в зиле уравнения: Отрезку с соответствует отрезок с, такой, что с+с=О, и тем самым х+с =О, Это уравнение имеет требуе- Черт. 76.
мый вид. Пусть, далее, прямая 1 пересекает ось У в некоторой точке Я ~черт. 761. Из произвольной точки Р этой прямой проведем параллель к оси у, которая пересекает ось Х в точке О. Отрезок ОО= — х служит абсциссой точки Р. Параллель к 1, провелвнная через точку О, отсекает на оси 1' отрезок Ой. Согласно определению умножения отрезков, ОЕ = — ах, где а — отрезок, зависящий от положения прямой 1, но не от выбора точки Р на 1.
Пусть ордината Р есть у. Из обобщзнного определения суммы (стр. 153) и возможности построить сумму, исходя также от оси 01г (стр. 155], следует, что отрезок ОЯ есть сумма ах+у. Отрезок 08=с опрелеляется только положением прямой 1, Из равенства ах+у=с ! 1 Л. Гнльберт 162 й 29. постговнив пгостгхнстввиной гвометгии 166 гл.
ч. тхогамл двзьггх следует, что ах+у+ с = О, где с — снова является отрезком, который определяется равенством с+ с = О. Уравнение ах+у+ с = 0 имеет требуемый вид. Легко убедиться, что координаты точки, не лежащей нз прямой 1, не удовлетворяют этому уравнению.
Так же легко доказывается вторая часть теоремы 55. Действительно, пусть мы имеем уравнение между отрезками: а'х+ Ь'у+ с'=О, в котором хотя бы один из отрезков а' или Ь' не равен нулю. Если Ь' =- О, то умножим обе части этого равенства слева на отрезок а, определяемый соотношением аа' = 1; если же Ь' ч~ О, — то на отрезок Ь, определяемый соотношением ЬЬ' = 1.
Тогда, на основании правил исчисления отрезков, мы получим одно из найденных ранее уравнений прямой, и в рассматриваемой плоской геометрии мы легко можем построить прямую, удовлетворяющую этому уравнению. Подчеркнем еще, что при наших предположениях уравнение между отрезками вида ха+уЬ+ с = О, в котором множители а, д стоят справа от, координат х, у, вообще говоря, не представляет прямую, В 6 30 мы дадим очень важное применение теоремы 55. ф 28.
Совокупность отрезков, рассматриваемая как комплексная числовая система Мы уже упоминали, что в нашем новом обоснованном в ф 24 исчислении отрезков выполняются предложения 1 — 6 АЙ!3. Далее, в й 25 и 6 26 мы убедились с помощью теоремы Дезарга, что в этом исчислении отрезков имеют место вычислительные правила 7 — 11 ф 13; итак, все предло- женик о соединении и вычислительные правила, за исключением коммутативного закона . умножения, оказываются справедливыми.
Наконец, для того, чтобы сделать возможным упорядочение отрезков, установим следующее правило. Пусть А и  — какие-то отличные друг от друга точки прямой ОЕ; в соответйтвии с теоремой 5, из четырйх точек О, Е, А, В можно образовать последовательность, в которой точка Е находилась бы позади точки О [ь41, Если точка В в втой последовательности расположена позади точки А, то мы говорим, что отрезок а =ОА меньше отрезка Ь= ОВ, н обозначаем это так: а(Ь; если же, напротив, в этой последовательности точка А расположена позади точки В, то мы говорим, что огре. зок а = ОА больше отрезка Ь = ОВ, и обозначаем зто так: а) Ь. Легко убедиться, что вычислительные законы 13 — 16 6 13 будут теперь, в силу аксиом П, выполняться в нашем исчислении отрезков )ьь|. Итак, совокупность всех отличных друг от друга отрезков образует комплексную числодую систему, в которой имеют место законы 1 — 11, 13 — 16 й 13, т.
е. име|от место все правила, аа исдлючением коммутативиого закона умножения .и предложений непрерывности, В дальнейшем такую числовую систему мы будем называть числовой сисглемой Дезарси. ф 29. Построение геометрии пространства е помощью числовой системы Дезарга Пусть у нас имеется некоторая числовая система Дезарга Вч она позволяет построить пространственную геометрию, в которой выполняются все аксиомы! П )уь Чтобы уяснить себе это, примем систему каких-либо трех чисел (х, у, г) дезарговой )Ислрвой системы ь) за ))ь ГЛ. У. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА (1) (2) (3) их+ Му+таз+г= О у! =уз =уз. х, «хз «хз точку, а систему каких-либо четырех чисел (и!О!Ти!г) системы 1.з, у которой по крайней мере одно из трах первых чисел отлично от нуля, — за плоскость, Пусть при этом системы (изпзю:г) и (аи:асмааззаг), где а — любое отличное от нуля число области з!), представляют одну и ту же плоскость. Пусть, далее, справедливость равенства означает, что точка(х, у, г) лежит в плоскости (и!О!та!г) (зз~, Наконец, прямую мы определим как систему двух плоскостей (и': сг ! те' ! г') и (и": й !тзг' зг"), таких, что в области 1:) не найдется ни одного отличного от нуля числа, для которого одновременно имели бы место три равенства: аи' = и", а и' = О", апг = та".
)У(ы будем говорить, что точка (к, у, г) лежит на прямой )(и'зо'зтзгзг'), (и":О"зпг'зг")1, если она является общей точкой обеих плоскостей (и'зп'зти'зг') и (я":О" !та" !г ), Две прямые, содержащие одни и те же точки, считаются тождественнычи. Применив законы 1 -- 11 2 13, которые по предположению должны выполняться для чисел области О, мн без труда придан к заключению, что для только что построенного пространства все аксиомы групп ! и 1Ч» должны выполняться ~зт~. Для того чтобы аксиомы Д порядка также выполнялись, введем следующие условия. Пусть (хз, уз, х!), (хз, уз, хз), (хз, уз, хз) — какие-либо три точки прямой [(и'зп'!Ти'зг'), (и":О"зти"!г")~; мы будем говорить, что точка (хз, уз, гз) лежит между двумя другими точками„если выполняется по крайней ме- 4 29 постзоение ПРОстРАнстаенной ГеометРз!и ре одна нз следующих шести пар неравенств: х (хз(х, х, >ха>кз, у (уз(у у >уз>у а! ( Ез ( хз г! > Вз > хз.
Легко показать, что если имеет место одно из двух двойных неравенств (1), то, во-первых, либо у, =- у, =у„ либо должно выполняться одно из двух двойных неравенств (2) и, во-вторых, либо х! = Ез =- г„ либо должно выполняться одно из двух двойных неравенств (3). Действительно, умножив слева уравнення и'х, + сну!+та'хз+г'== О, и "х, + О"у! + та "а! + ! = О (!'= 1, 2, 3) на подходящим образои подобранные, отличные от нуля числа области з!) и сложив затем полученные равенства, мн получим систему уравнений вида и"'х, + тз"'уг+ г"' =- О (4) (!'=1, 2, 3).
Коэффициент О"' в этих равенствах наверно не может равняться нулю, так как в противоположном случае три числа х„х, х, были бы равны друг другу. Если и"' = — О, то Если же и"':фО, то из неравенств мн заключаем, что и"'х, «и"'хз «» и"'х„ и далее в силу равенств (4)' "'У, + г"' «- О"'Уз+ г"' ««О"'Уз+ г"' !бу ГЛ. Ч. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА ф 30, знАчение теОРемы дезАРГА Таким образом, е Ус)~е Ув)~е Ув ° Следовательно, так как е"' ~а О, Ус ))Ув =мув В каждом из этих двойных неравенств надо брать либо всюду верхние знаки, либо всюду нижние.
Приведйииые соображения убеждают иас в том, что в нашей геометрии выполняются линейные аксиомы порядка И,, Остаатся только показать, что в ией имеет место также и плоскостная. аксиома И Для этой пели положим, что нам данн плоскость (сс:е:нс:г) н лежащая иа ией прямая ((и:е:нс:г), (и".е".аГ:г')1, Мы полагаем, что все точки (х, у, г) плоскости (и:е:те:г), для которых выражение и'х+е'у+ +тв'г+г' меньше или больше нуля, лежат по олпу или, соответственно, по другую сторону от данной прямой. Теперь нужно доказать, что это определение имеет однозначный смысл н согласуется с определением, указанным иа стр, 63 — 64.
Доказательство этого не представляет затруднений. Таким образом, мы убедились, что все аксиомы 1, И, 1Ч» выполняются в той пространственной геометрии, которая указанным выше способом возникает из дезарговой числовой системы В. Так как теорема Дезарга является следствием аксиом 1, „И, 1Ч", то мы прихолим к следующему заключению: Для любой дезарговой числовой системы АС МОжао Указанным способом построить плоскую геометрию, в которой исчисление отрезков, введйнное в соответствии е $ 24, приводит как раз к числовой системе Аг,'вв1 и в которой выполняются аксио.ны 1, П, !Ч», В такой плоской геометрии всегда справедлива теорема Деза рга. Это предложение является обращением того вывода, к которому мы пришли в й 28 и который мы можем резюмировать так: В геонетрии на плоскости в которой кроме аксиом 1 И, 1Ч» имеет место енсе и теорема Яезарга, с-в можно ввести исчисление отрезков по способу, указанному в $ 24', влементы етого исчисления образуют при соопсветствующих соглосиениях об их упорядоченности дезаргову числовую систему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
