Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Будет ли также и каждому действительному числу (может быть и не входящему в 11) соответствовать точка на прямой или нет — зто зависит от того, будет ли в рассматриваемой геометрии иметь место аксиома полноты Н, или нет. Напротив, если в какой-либо геометрии принимают только аксиому Архимеда, то всегда можно сне!ему точек, 9 д. Гнльаьрт 18б гл. иь ьчвния о пгопогциях " Ср. замечания в конце ф 8.
прямых и плоскостей так пополнить си рр анно н а л ьными> влементами, что каждой без исключения системе трах действительных чисел, удовлетворяющих уравнению произвольно взятой прямой, в построенной нами геометрии соответствует точка на этой прямой. Пут6м введения соответствующих определений можно добиться того, чтобы в расширенной геометрии все аксиомы! — Ч выполнялись. Эта расширенная геометрия (полученная путам добавления иррациональных элементов) есть не что иное, как обыкновенная аналитическая геометрия декарта в пространстве, в котором нмеег место также и аксиома полноты Ч> ").
Г.е>..ль 23 А Ч'.Е Т В .й> Р Т А Я' УЧЕНИЕ О ПЛОШАЛЯХ НА ПЛОСКОСТИ $18. Многоугольники, равновеликие по разложению и по дополнению основу наших исследований в настоящей, четвертой главе мы положим те же аксиомы, что и в третьей главе, а именно — линейные и плоскостные аксиомы всех групп, за исключением аксиом непрерывности, т. е. аксиом 1, > и И вЂ” !Ч. Изложенное в третьей главе учение о пропорциях и введенное там же исчисление отрезков дают нам возможность обосновать учение Евклида о площадях с помощью ухззанных аксиом, т.
е, с помощью аксиом, оглносяиеихся только ь. плоскости, и притом независимо от аксиом непрерывности. Так как, согласно исследованиям третьй главы, учение о пропорциях существенно опирается на теорему Паскаля (теорема 40), то то же относится и к учению о площадях; я считаю это обоснование учения о площалях одним нз самых замечательных приложений теоремы Паскаля в элементарной геометрии.
Оп р е деление. Если две точки какого-либо простого многоугольника Р соединить кзкой угодно ломаной, проходящей целикои внутри этого многоугольника и не имеющей двойных точек, то получается два новых простых многоугольника Р, и Р„ все внутренние точки которых лежат внутри многоугольника Р; в этом случае мы будем говорить, что Р распадается на Р, и Р„или что Р в> Черт. 54. Черт, 55. !32 ГЛ. Щ.
УЧЕННЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ ра зло же н на Р, и Р„или что Р, и Р, составляют вместе Р !Е11. О п р е д е л е н и е. Два простых многоугольника называются равновеликими ло разложению, если они могут быть разложены на конечное число попарно конгруентных треугольников.
Оп реле,те ни е, Два простых многоугольника Р и се называются равновеликими ао дополнению, если к ним можно присоединить конечное число таких равновеликих по разложению многоугольников Р', Я', Р", О';,,; Р"' Ц"', что оба составленных таким образом многоугольника Р+Р'+Р" +...+Р"' и Я+ Я'+ ! г'+...+ Я"' будут равновелики по разложению !черт, 541. Из этих определений сразу вытекает, что от объединения равновеликих по разложению многоугольников образуются снова многоугольники, р а в и о в е л н к и е и о р азл оже н ию; если же от равновеликих по разложению многоугольников отнять равновеликие по разложению, то получатся многоугольники, равновеликие по дополнению.
Далее, справедливы следующие теоремы. Теорема 43. Если лва многоугольника Р, и Р, равновелики по разложению третьему многоугольнику Р„то они и между собою равновелики по разложению, Если два многоугольника порознь равновелики по дополнению третьему, то они между собой равновелики по дополнению. Доказательство, Согласно условию, как для многоугольника Р„так и для многоугольника Р, существует такое разложение на треугольники, что каждому из этих разложений соответствует разложение многоугольника Р, на я 18. Иногоугольинки, РАВнОВеликие по РАзлОжению 133 конгруеитные треугольники !черт. 55!, Рассматривая одновременно оба эти разложения многоугольника Р„мы видим, что, вообще говоря, каждый треугольник одного разложения разложен на многоугольники отрезками, принадлежа- щими другому разложению.
Прибавим к этому разложению отрезки так, чтобы каждый полученный таким образом многоугольник сам также распался на треугольники, и разобьем соответствующим образом треугольники в разложениях многоугольников Р, н Р;! тогда оба многоугольника распадутся, очевидно, на одинаковое количество попарно конгруентных треугольников, и-потому они, согласно определению, равновелики по разложению. Доказательство второй теоремы 45 не представляет за-, труднений !ЕТ1.
Понятия: лрямоуголвник, Основание и высота аараллелограмма, основание и высота треугольника мы опредечяем обы ~ным образом Черт. 56 Черт. 58. и в=-а. 134 гл, пп ячвния о площлдях ил плоскости ф 19. Параллелограммы я треугольники е равными основаниями и высотами Известное доказательство Евклида, иллюстрируемое чертежом [561, приводит нас к зеореме: Теорема 44.
Два параллелограмма с равными основаниями н равными высотами равновелики по дополнению. Далее имеет место следующее известное предложение: Т еоре ма 45. Любой треугольник АВС равновелик по разложению некоторому определенному параллелограмму, имеющему такое же основание и высоту, равную половине высоты треугольника. До каза тельство [черт, 571. Разделим пополам сторону АС точкой В, а сторону ВС точкой Е и затем продолжим отрезок ВЕ посредством конгруентного ему отрезка до точки Е. Тогда треугольники ОСЕ и ГВЕ будут конгруеитны и, следовательно, треугольник АВС и и параллелограмм .АВЕК будут равновелики по разложению.
Из теорем 44 и 45, принимая во внимау С Г ние теорему 43, мы получаем следующее: Тео рема 46. Два треугольника с равными основаниями и равными высотами равновелики по дополнению. Известно, что легко доказать (это пока- Черт 57. зывает чертеж [581) рави овеликость по р а з по ж'си и ю двух параллелограммов, а следовательно, в силу теорем 43 и 45, и двух треугольников с равными основаниями и равными высотами. Заметим, однако, что это доказательство нввозможно бвз применения аксиомы Архимеда; действительно, в каждой неархимедовой геометрии (см,, например, главу 11, 9 !2) 9 !9. пхглллвлогглнмы и тгяггольиики 135 можно задать два треугольника, имеющих равные основания и равные высоты и, следовательно, согласно теореме 46, равновеликих по дополнению, но все же пер авновеликих по разложению. Ииенно, пусть в неко- г г' торой иеархимедовой геометрии на луче отложе- У,' ны два отрезка АВ = в / и АО=а [черт.
59( га- Х',' ких, что ни для какого г В' пелого числа л не выполнвется соотношение Восставим из коннов отрезка АО два перпендикуляра АС и ВС' длиною в. Треугольники АВС' и АВС', согласно теореме 46, равновелики по дополнению. Из теоремы 23 следует, что сумма двух сторон треугольника больше третьей, причем сумму отрезков надо здесь попил~ать в том смысле, который был указан в исчислении отрезков, введйнном в 'главе Ш. Итак, ВС(в+в =2в. Далее, не пользуясь непрерывностью, можно доказать следующее предложение: отрезок, пеликом лежащий вну. с три треугольника, иеньше большей стороны этого треугольника[ы~. Тем самым доказано, что любой отрезок, лежащий внутри треугольника АВС, меньше 2е.
Черт. 59. Положим теперь, что существу ет разложение треугольников АВС и АВС' на конечное число, например на я, попарно конгруентных друг другу треугольников. Каждая из сторон частичного треугольника, входящего в разложение треугольника АВС, либо лежит внутри этого треугольника, либо иа одной из его сторон, а 136 гл. ш. учение о площадях нА плоскости Е 20, мегА площАди потому она меньше 2е, Периметр каждого треугольника, таким образом, меньше бв, а следовательно, сумма периметров всех таких треугольников меньше 6й е, Разложение треугольников АВС и АВС должно дать одну и ту же сумму периметров гастичных многоугольников. Поэтому сумма периметров треугольников, вошедших в разложение треугольника АВС', также должна быть меньше 6й е.
Между тем, в эту сумму, наверное, входит целиком сторона АС', т, е. должно иметь место неравенство АС ( 6й е; в таком случае, в силу теоремы 23, неравенство а( 6й.е и подавно должно иметь место. Однако это последнее соотношение противоречит предположению относительно отрезков е и а. Итак, предположение о возможности разложении треугольников АВС и АВС на попарно конгруентные частичные треугольники приволит нас к противоречию, Важные теоремы элементарной геометрии относительно равновеликости треугольников по дополнению, а также теорема Пифагора легко выводятся из только что указанных теорем, Упомянем еще теорему; Теорема 47.
Для любого треугольника (а, значит, и для любого простого многоугольника) можно всегда построить равновеликий ему по пополнению прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен 1, Это утверждение в своей части, касающейся треугольников, легко вывести из теорем 46, 42 и 43 Р«1. Утверждение же относительно многоугольников доказывается следующим образом. Разложим данный простой многоугольник на треугольники и определим для этих последних равновеликие им по дополнению прямоугольные треугольники, у каждого из которых один катет равен 1.
Если рассматривать в этих треугольниках катеты, равные 1, как высоты, то, опять с помощью теорем 43 и 46, можно об.ьединить эти треугольники (см. стр 132), чем наше утверх<дение и будет доказано [аа~. При дальнейшем проведении теории площадей мы встречаем, одна ко, олпу существенную трудность. А именно, предыду цие исследования оставляют нерешбнныи вопрос о том, не равновелики ли все многоугольники по дополнению. Если бы это было так, то все установленные нами до сих пор теоремы ничего бы не выражали и не имели бы никакого значения. С этим связан вопрос о том, должны ли у двух прямоугольников, равновеликих по дополнению и имеющих одну общую сторону, другие стороны также соответственно равняться друг другу. Как показывает более летальное исследование, при ответе на этот вопрос необходимо опереться на теорему, обратную теореме 46.
Эта обратная теорема гласит так: Теорема 48, Если два равновеликих по дополнению треугольника имеют равные основанин, то высоты их также равны. Эта основная теорема 48 находится в первой книге «Начал» Евклида, где она фигурирует, как теорема 39-я; однако при доказательстве втой теоремы Евклид ссылается на общее положение учения о величинах; «)(а1 т6 олог тэб )Аароо; йе«,"оз еаггэ» (целое больше своей части). Это доказательство сводится к введению новой геометрической аксиомы относительно равновеликости по лополнениюа). Удается, олнако, доказать теорему 48'и тем самым обосновать учение о площади, не вводя подобной новой аксиомы,— тем путем, который мы здесь наметили, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
