Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е. с помощью одних только плоскостных аксиом и не используя аксиомы Архимела. Чтобы убедиться в этом, нам необходимо ввести понятие меры плошали. ф 20. Мера площади треугольников н многоугольников О и р е д е л е н и я. В геометрии плоскости прямая АВ делит не лежащие на ней точки на две области. Одну из этих областей мы назовем лежащей справа от исходящего из точки А луча АВ, иначе, от «направленного оглрезка АВ» и слева от исходшцего из точки В луча ВА, иначе, слева от «направленного отрезка ВА»; другую область мы на- «) В самом деле, в дополнения П будет построена геометрия, в которой будут выполняться вге принятые нами сейчас за основу аксиомы 1 — 1Ч, за нсключеияем аксиомы !1!а (зта последняя аксиома будет заменена другой, более слабой). В этой геометт рин теорема 48, а также утверждение «целое больше своей части» ие будут верны.
Ср. стр. 2««. 169 166 ф 20. меРА плоЩАДи гл. Ис учение О площАдях ИА плоскости зовем лежащей слева от луча АВ и справа от луча ВА. По отношению к двум направленным отрезкам АВ и АС справа лежит одна н та же область, если точки В и С лежат на одном и том же исходящем из точки А луче, н наоборот, Если для некоторого луча й; исходящего из точки О, правая область уже определена, и луч Ь, исходящий нз точки О, пролегает по этой области, то мы будем называть областью, лежащей слева от й, ту область, которая содержит луч ю Легко убедиться в том, что таким образом, исходя из определенного луча АВ, можно однозначно установить на плоскости правые и левые стороны относительно калкдо го луча или соответственно относительно каждого направленного отрезка [ьл].' Точки внутри (стр.
65) некоторого треугольника АВС лежат либо слева от сторон АВ, ВС, СА, либо слева от сторон СВ, ВА, АС. В первом случае мы говорим, что АВС (илн ВСА или САВ) является положительным направлением обхода, а СВА (нли ВАС или АСВ)— отрицательным направленигм обхода треугольника; во втором случае мы говорим, что СВА есть Черт. 60. положительное, а АВС вЂ” отрицательное направление обхода треугольника. О и р е д е л е н и е, Проведем в треугольнике АВС со сторонами а, д, с две высоты й,=А.О и йь=ВЕ [черт. 60].
Из подобия треугольников ВСЕ и АСО, в силу теоремы 41, следует пропорция и: ль — д! йл, ал =Ьй. Таким образом, в каждом треугольнике произведение основания на соответствующую ей высоту не зависит от того, какая из сторон треугольника принята за его основание.
Итак, полевина произведения основания на высоту является характеристическим для треугольника АВС отрезком а. Пусть, например, в треугольнике АВС направление обхода АВС положительно и о л о ж и т е л ь н ы й отрезок а мы будем называть (в соответствии с определением на стр, 12!) лерой плогцади треугольника АВС при обходе его в положительном направлении, и будем обозначать символом [АВС]; отрицательный отрезок -а мы будем называть ме- л рой площади при обходе треугольника АВС в отрицательном направлении и будем обозначать символом [СВА].
В таком случае имеет место тео- Л релла: Черт, 61. Теорема 49. Если точка О лежит вне треугольника АВС [черт. 61], то для меры площади треугольника имеет место соотношение: [АВС] =[ОАВ] + [ОВС]+ [ОСА]. До к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что отрезки АО и ВС пересекаются в некоторой точке О. Тогда, с помощью дистрибутивного закона, имеющего место в нашем исчислении отрезков, нз определения меры площади следуют соотношения: [ОАВ] = (ООВ] -лг-~[ОАВ], [ОВС] = — [ОСВ] = — [ОСО) — [ООВ), [ОСА] = [ОСО] + [САО].
Сложим эти отрезки; если при этом воспользоваться одним из предложений, перечисленных на стр. 12! [ььл], то получится: [ОАВ]+~ ОВС) + [ОСА] = [ОАВ]+ [САО]; отсюда же, опять-таки в силу дистрибутивного закона, [ОАВ]+ [ОВС]+ [ОСА] = [АВС]. Остальные предположения, которые можно сделать относительно положения точки О, приводят аналогичным образом к заключению теоремы 49, 141 $20.
МЕРЛ ПЛОПЕХДИ 140 гл. гу. учение О плошлаях нл плоскости Черт. 62. Теорема 50. Если треугольник АВС каким бы тони было образом разложен на конечное число треугольников д ы то мера площади треугольника АВС, при его обходе в положительном направлении, равна сумме мер площади всех Ф треугольников йы взятых в положительном йаправлении обхода. в.,Я [1 Доказательство. х гг [! Пусть АВС вЂ” положительное 1 направление обхода треуголь- / 1 ника АВС [черт.
621, и пусть ОŠ— отрезок, лежащий внуд трн треугольника АВС и служащий границей двух треугольников ОЕР и ОЕО на- В шего разложения. Пусть ОЕГ будет положительным направлением обхода треугольника ОЕР; тогда ОЕО будет положительным направлением обхода треугольника ОЕО. Возьмвм теперь некоторую точку О вне треугольника АВС; тогда, в силу теоремы 49, будут иметь место соотношения; '[ОЕР~ — — ~[ООЕ1 + [ОЕР1 + [ОРО1, [ОЕО[= [ООЕ~+ [ОЕО~+ [ООО) = =[ОаЕ~ — [ООЕ|-[- [ООО~.
При сложении этих двух равенств в правой части выпадет мера площади [ООЕ~. Выразим таким же образом, по теореме 49, меры площади всех треугольников Ь с положительным направлением обхода и просуммируем все получающиеся таким образом равенства. Тогда для к а ж до г о отрезка ОЕ, лежащего внутри треугольника АВС, в правой части равенства выпадет мера площади [ООЕ1. Обозначим точки, используемые при разложении треугольника АВС и лежащие на его сторонах в порядке их следования, так: А, Ап ..., Аь В, Вп ..., В, С, Сп ..., С„; сумму же мер плогщади всех треугольников Ь, взятых в положительном направлении обхода, обозначим коротко через ~ч»,'. В таком случае при сложении всех равенств, как легко убедиться, получается: ч; = [ОАА,1+...
-[- [ОА,В1-[- +[ОВВ,1+...+[ОВ С1+ + [ОСС,~ +... + [ОС„А] = = [ОАВ~+ [ОВС~+ [ОСА~; следовательно, в силу теоремы 49: "~, '= [АВС~. Определение, Назовем мерой площади [Р| простого многоугольника с положительным направлением обхода сумму мер площади всех треугольников с положительным направлением обхода, на которые распадается данный многоугольник при некотором определенном разложении.
Пользуясь рассуждением, аналогичным тому, которое мы прнменилн в ф 18 при доказательстве теоремы 43, можно на основании теоремы 50 доказать, что мера пло~цади [Р1 не зависит от способа разложения многоугольника на треугольники и поэтому однозначно определяется самим многоугольником [ег[.
В силу теоремы 50, из этого определения мы заключаем что равновеликие по разложению многоугольники имеют равные меры площади. (Здесь, как и в дальнейшем, под мерой плонцади надо понимать ту меру площади, которая получается при обходе многоугольника в положительном направлении) [еа~. Далее, если Р и Я суть два равновеликих по дополнению многоугольника, то, согласно определению, должны существовать такие попарно равновеликие по разложению многоугольники Р', (7; . .; Р", .(Г', что многоугольник Р + Р' + ... + Р", составленный из Р, Р', , Р', равновелик по разложению многоугольнику ((+ (7 + ...
+ (T, составленному из О, (7, ,(7. Из равенств [Р [-Р'+...+Р"~=[а+(7+" +(Л [Р'1 = [((3 [Р 1= [О"3 142 5 21, гхвновеликость и мвгл площади 148 гл. !ч. эчвнив о площадях нл плоскости мы заключаем, что [Р1 Щ т. е. что равновеликие по дополнению ми ог оугольники имеют равные меры площади. $ 21.
Равновелнкость по дополнению н мера площади В 9 20 мы нашли, что равновеликие по дополнению многоугольники всегда имеют одинаковую меру площади. Из этого факта непосредственно следует доказательство теоремы 48. Действительно, обозначим равные основания обоих треугольников буквой и, а их высоты †буква й и и'! тогда из предположения о равновеликости обоих треугольников по дополнению следует, что эти треугольники имеют также равные меры площади, т. е.
что 2 ь 1 1 2 или, после деления обеих частей равенства на — д: 2 й = )г'. Тем самым теорема 48 доказана, Теперь можно также доказать теорему, обратную теореме, доказанной в 9 20, Действительно, пусть Р и Π— два многоугольника с одинаковой мерой площади.
Основываясь на теореие 47, построим два прямоугольных треугольника 5 и Е, обладающих следующими свойствами: каждый из них имеет катет, равный 1; треугольник а равновелик по дополнению многоугольнику Р, а треугольник Š— многоугольнику О. Из теоремы, доказанной в конце 9 20, следует, что иеры площади 5 и Р одинаковы и что меры площади Е и О также одинаковы. Из равенства мер площадей многоугольников Р и О следует, что треугольники 5 и Е должны также иметь равные меры площади.
Так как у этих прямоугольных треугольников катеты, равные 1, совпадают по своей величине, то другие нх катеты должны также быть равны. т. е. треугольники 5 и Е конгруентиы, а потому, в силу теоремы 43, многоугольники Р и О равновелики по дополнению. Результаты, полученные в этом и предыдущем пара графах, мы объединим в следующую теорему: Теорема 51.
Два равновеликих по дополнению многоугольника имеют всегда одинаковую меру площади, и два многоугольника с одинаковой мерой площади всегда равновелики по дополнению. В частности, у двух равновеликих по дополнению пряиоугольников, имеющих общу!о сторону, другие стороны равны. Отсюда следует также теорема: Т е о р е и а 52, Если прямоугольник с помощью прямых разбить на некоторое число треугольников и если хотя бы один из этих треугольников опустить, то оставшимися треугольниками невозможно заполнить прямоугольник. Эта теорема была принята Дедал ьтом "» и О.
Штольцем "") за аксиому, а Ф. Ш у р о м еав) и В. Килли н гоп""а") доказана с помощью аксиомы Архимеда. Предыдущее изложение показывает, что эта теорема совершенно не зависит от аксиомы Архимеда. Для доказательства теорем 48, 50, 51 мы существенно использовали введенное нами в 9 15 третьей главы исчисление отрезков; это последнее существенно опирается на теорему Паскаля !теорема 40), или, точнее говоря, на частный случай этой теоремы (стр. 117); таким образом, оказывается, что теорема Паскаля служит важнейшим краеугольным камнем в учении о площадях.
Легко также убедиться в том, что, обратно, из теорем 46 и 48 следует теорема Паскаля. Действительно, из параллельности прямых СВ' и С'В !черт, 63~ следует по теореме 46, что треугольники ОВВ' и ОСС' равновелики по дополнению; аналогично, из параллельности прямых СА' и АС' следует, что треугольники ОАА' и ОСС равноь) 1) е 2о11, Рппс!Рй йейа еднаяйапга й! Ройяоп) ргесейий йа а1свш спйс! аийа !еопа йейа ечвча!епва весте!г!са.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
