Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Заметим, что только что обнаруженные факты можно без,труда вывести и непосредственно из теоремы 42 учения о пропорциях нли из теоремы 61, $23. Недоказуемость теоремы Дезиргд в плоекоети без аксиом конгруентноети Рассмотрим теперь вопрос о том, можно лн доказать теорему Дезарга в геометрии на плоскости,' не пользуясь аксиомами конгруентности. Мы приходим к следующим результатам, Т е о р е м а 54.
Суисествует геомеп/рия плоскости, для лоторой выполняю>пся аксиомы 1, з, П, Ш, !Чь, Н, >и. е. для которой вьтолняются все аксиомьи, касающиеся прямой и плослотт>, исключая аксиома о конгруентнотпи 1П», и для которой и/еооема геворга (теорема 53) всв же не имее и места. Тео)>ела Дезарга, стало быть, не может быть получена, как следствие только перечисленных аксиом; для ее' доказательства необходимы либо пространственные аксиомы, либо аксиоми Ш,, о>пносяи/аяся к конгруентности треугольников.
Доказательство«!. Изменим Ь обычной декартовой гео1>егрии на плоскости, в возможности Кптпрой мы уже убедились в 9 9 главы П, определения прямых и углов >те„р,е l к следу/ощим образом. Примем не- / которую прямую в декартовой ь ' геометрии' за ось и будем на этой оси различать пол>жи- СЬ тельное и отрицательное направления, а таки е положительную и отрицзтельную полуплоскости относительно оси, е«ч>«ч. Ф Примем за прямую в нашей новой геометрии [черт. 65~ ось и Черт. 65. всякую параллельную ей в декартовой геометрии прямую, затем — всякую прямую декартовой геометрии, луч которой, лежащий в положительной полупло- ') В этом месте, взамен использованной в предыдущих изданиях перзон «нсдезарговой геометрии»,',будет дана несколько' более простая «недезаргова геометрия», цостроеннан впервые М ух ь тон ом.
См. р. и М он!1о п, «Л п>вр!е поп-йезз>йнез|аи р)апе Ягошей>у», Т>зпз Ма(Ь. 3ос., 1902. Гл. ч. теогемл дезАРГА й 24. нсчислвннв отгвзков на основа тяогвмы 161 скости, образует прямой или тупой угол с положительным направлением оси, и, наконец, — каждую систему двух лучей И, И декартовой геометрии, обладающую следующими свойствами: точка, из которой исходят лучи И и И, лежит на оси; луч И, лежащий в положительной полуплоскостн, образует с положительным направлением оси острый угол а, а продолжение й' луча И, проходящего в отрицательной полуплоскости, образует с положительным направлением оси такой угол р, что в декартовой геометрии имеет место соотношение — = 2. 18 э Порядок точек и длины отрезков на прямых, в том числе и на тех, которые представляют собою в декартовой геометрии систему двух лучей, определяются очевидным образом, как обычно.
Как легко убедиться, в определбнной таким образом геометрии имеют место аксиомы 1, И, Ш,„з, 1Ч» [з!!. Например, можно непосредственно заметить, что прямые, проходящие через одну точку, однократно покрывают плоскость. Кроме того, в втой геометрии имеют место также и аксиомы Ч. Все углы, не имеющие н н од н о й стороны, исходящей из точки на оси, идущей в положительной полу- плоскости и образующей / / с положительным направ- г / / / пением оси острый угол, измеряются так, как втп / обычно делается в декартовой геометрии[аз). Вели же, напротив, хотя бы одна из сторон угла м представляет собою луч И, обладающий только что Черт. 66. указанными свойствами, то за величину угла ы в новой геометрии мы примем величину того угла ы' в денартовой геометрии, стороной которого вместо луча И служит луч И' [см.
черт. 65). дтот способ определения для двух пар смежных углов поясняет чертбж [66!». В силу нашего определения углов выполняется аксиома И! . В частности, для каждого угла 6С (1,и) имеет место соотношение: «С (1, /л) = ~ (лг,!). Но, как непосредственно можно видеть из чертежа [67! и как легко подтвердить вычислениями, в н о в о й и л оской геометрии теорема Дезарга несправедлива Кроме того,такжз легко показать на чертеже, что и теорема Паскаля в этой геометрии неверна, Построенная, здесь «недезаргова» геометрия на плоскости является в то же время Черт.
67. примером геометрии на плоскости, в которой име!от место аксиомы 1, „ И, Ш, %э, 'т' и которая всб же не может быть рассматриваема как часть пространственной геометрии ь), ф 24. Введение исчисления отрезков без помощи аксиомы коигруеитиоети иаоеиове теоремы Дезаргаэ») Чтобы полностью выявить назначение теоремы Дезарга (теорема 53), мы положим в основу исследования плоскую геометрию, а которой выполня!отся аксиомы 1, , И, Г»!", ь) Дальнейшие интересные примеры яедезаргозой геометрии дает Мор манн, См.
Н. Мо птах а пи, «Рез1зсЬНВ Г/ат!б Н!!Ьегбь Вегйп 1922, стр. 181. *") Гессенберг в своей работе(0. Н е зле пЬе г я, «()еЬеге!пеп яеоте1г!зсвеп Ка!Кз!», Ас1а ша1!ь т. 29, 1904) дает вывод исчисления отрезков, по йхее примыкающей к проектизной геометрии. Некоторые части этого вывода получаются легче, если пРедварительно разработать учение о сложении векторов на плоскости на основании теоремы Дезарга. См. Н б ! б е г, «81гескепгесвпнпй нпб рго)екйте Оеошегг!е», Ье!рх. Вег., !9!!.
гл. ю твогвмл двзлггл т. е. линеййые и плоскостные аксиомы, за исключением аксиом конгруентности н непрерывности "), и введэм в этой геометрии новое исчисление огрезков, .не зависящее от аксиом конгруен тиос ти, следующим образом: Выберем на плоскости две фиксированные прямые, пересекающиеся в точке О [черт. 68], и в дальнейшем будем производить вычисления только с такими отрезками, у которых начало находится в точке О, а конец — в произвольной точке на одной нз двух фиксированных прямых, Самую точку О мы обозначаем как отрезок О н записываем это так: ОО=О или О = ОО.
с ю с «( с «* Пусть Е и Е' — неко- , Черт. 68, торые определенные точки на фиксированных прямых, проходящих через точку О. Каждый из отрезков ОЕ н ОЕ' мы обозначаем как отрезок 1 и записываем это так: ОЕ=ОЕ'=1 илн 1 =ОЕ=ОЕ' Прямую ЕЕ' коротко назовем единичной прямой. Если А и А' — две точки, лежащие соответственно на прямых ОЕ и ОЕ', и если при атом соединяющая их прямая АЛ' параллельна ЕЕ', то мы будем говорить, что отрезки ОА и ОА' равны, и обозначать это так: ОА = ОА' или ОА'=ОА. Для того чтобы определить сумму отрезков а=ОА и Ь =ОВ, лежащих на ОЕ, построим отрезок АА' параллельно Единичной прямой ЕЕ' и проведем далее из 'А' прямую, параллельную ОЕ, н из  — прямую, параллельную ОЕ.
«) Можно' ввести новое исчисление отрезков также н без аксиомы о параллельных 1Ч*. $24. исчисления отгвзков нл основе твогвмы 153 Эти'две прямые пересекаются в точке А'. гтаконец, через точку А' проведдм прямую, параллельную единичной прямой ЕЕ', она пересечет фиксированные прямые ОЕ и ОЕ' соответственно в точках С и С'. Отрезок с = ОС= ОС' мы назовем суаслсод отрезка а= ОЛ и отрезка Ь вЂ” ОВ и обозначим так: с=а+Ь или а+Ь=с. Прежде, чем итти дальше, докажем, что в случае справедливости теоремы Дезарга (теорема 53) сумма двух отрезков может быть получена н более общим способом: точ- а Х ка С, которая определяет сум- Ф му а+Ь на той прямой, на которой лежат точки А н В, не зависит от выбора положен- с д л с ной в основу единичной прямой Р ЕЕ', т.
е, мы получим ту же точ- Черт. 69. ку С н с помощью следующего построения. Выберем на прямой ОА' какую-нибудь точку А' )черт. 69) и проведйм через точку В параллель к ОЛ' и через точку А' — параллель к ОВ, Эти две прямые пересекутся в некоторой точке А", Прямая, проведенная через точку А' параллельно АЛ', пересечвт ОА в точке С, которая определяет сумму а + Ь. Для доказательства предположим, что как точки А' и А", так и точки А' и А" получены указанным способом н что на прямой ОА точка С определена так, что СА" параллельна АА'. В таком случае нам надо доказать, что СА' параллельна АА'.
Треугольники АА'А' и СА"А" располозкены так, что прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, параллельны; так как, кроме 'того, две пары соответствующих сторон, а именно А'А' и А"А", а также АА' н СА", параллельны, то, согласно вто. рой части теоремы Дезарга, третьи стороны АА' и СА' должны быть тоже параллельны. 154 Гл. т. теогемА двзлРГА $25. сложкние в новом исчислений отгязков 155 Для определения произведения отрезка и = ОА на отрезок Ь = ОВ мы воспользуемся построением, указанным в 2 15, но только роль сторон прямого угла в данном случае будут играть фиксированные прямые ОЕ и ОЕ'.
Таким образои, это построение сводитсн к следующему 1черт 70~: на прямой ОЕ' определяют точку А' так, чтобы АА' была парап«ет лельна единичной прямой ЕЕ', точку Е сое4с" диняют с точкой А' и через точку В прово- вФ' дят прямую, параллельл е ную ЕА'1 эта последняя пересечЕт фиксирован- Черт. 70. ную прямую ОЕ' а некоторой точке С'; отрезок с=ОС' мы назовем ироизведеииезс отрезка а =ОА на отрезок Ь=ОВ и будем это обозначать так: с =иЬ или аЬ =- с. й 25. Коммутативиый и ассоциативный законы сло- жения в иовом исчислении отрезков Как легко убедиться, все предложения о соединении, установленные в $ 13, верны для нашего нового исчисления отрезков; мы исследуем теперь, какие из указанных там вычислительных правил останутся верными, если мы за основу возьмем плоскую геометрию, в которой выполняются аксиомы [, „11, )ч» и в которой, кроме того, иие ет место теорема Дезарга, Прежде всего докажем, что для определвнного в й 24 сложения отрезков имеет место к о м и у т а т и а н ы й закон: а+Ь=Ь+а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
