Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 28
Текст из файла (страница 28)
$30. Значение теоремы Дезарга Если в какой-либо плоской геометрии выполняются аксиомы 1, „И, !Ч» н, кроме того, справедлива теорема Дезарга, то, согласно последним теоремам, в втой геометрии можно ввести исчисление отрезков, которое подчинялось бы правилам 1 в 11, 13 в 16 6 13. Мн . рассматриваем, далее, совокупность этих отрезков как комплексную числовую систему и строим иа основании этой системы пространственную геометрию, как это изсюжено в 3 29, в которой выполняются все аксиомы 1, И, !Ч».
Если мы будем в этой пространственной геометрии рассматривать только точки (х, у, О) и только прямые, иа которых лежат только такие точки, то мы придлм к некоторой плоской геометрии. Если же мн обратим внимание на выведенную нами в ф 27 теорему 55, то станет ясным, что только что полученная плоская геометрия совпалает с плоской геометрией, заданной нами вначале, т, е.
что элементы обеих геометрий можно поставить во взаимно олнозначное соответствие, сохранив прн этом отношения принадлежности, существующие межлу элементами, и их ПОРЯЛОК [ВВ1, Таким образом, мы получаем следующую теорему, которун> следует рассматривать как конечную пель исследований этой главы: Теорема 56, Пусть в некоторой плоской геометрии выполняются аксиомы 1,, П, 1Ч»; в таком случае справедливость теоремы Дезарга является необходимым и достаточным условием для того, чтобы зту плоскую геометрию можно было рассматривать ссак часть проеслранственной геометрисс, в которой выполняются все алсиомы 1, И,!Н». 188 ГЛ. У.
ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА Г Л А В ига Ж Ю С Т А, Я Таким образом, теорема Дезарга аля плоской геометрии может быть в известном смысле слова названа результатом исключения пространственных аксиом. Полученные результаты дают нам возможность также доказать, что каждую пространственную геометрию, в которой выполняются все аксиомы 1, !1, !Чя, можно всегда рассматривать как часть некоторой «геометрии произвольно большого гнсла измерений»; при этом под многомерной геометрией надо понимать такую совокупность точек, прямых, плоскостей и дзльнейшнх элементов, для которой выполняются соответствующим образом расширенные аксиомы соедннення н порядка, а также аксиома параллельности.
ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ ф 31. Две теоремы о доказуемости теоремы Паекадя ак уже было отмечено, теорему Дезарга (тео- ~Щ рему 53) можно доказать, исходя- нз аксиом 1, П, !У", т. е. существенно пользуясь иростран- ~4~ ственннми аксиомами, но не прибегая к помощи аксиом конгруентности. В ф 23 я показал, что если лаже допустигь пользование аксиомами непрерывности, то и тогда доказательство теоремы Дезарга невозможно без пространственных зксном группы 1 н без зксном конгруентности. В $ !4 теорема Паскаля (теорема 40), а в ф 22 теорема Дезарга были доказаны на основании аксиом 1, И- — Пг, т. е. без пространственных аксиом, но прн существенном использовании аксиом конгруентности Является вопрос, нельзя лн доказать также и теорему П а с к а л я, опираясь на пространственные аксиомы соединения, но не используя аксиом конгруентнос т и.
Наше исследование покажет, что теорема Паскаля в этом отношении существенно отличается от теоремы Дезарга, а именно, принятие аксиомы Архимеда нлн исключение ей иМеет решающее значение для вопроса о справедливости этой теоремы. Так как в этой главе аксиомы конгруентностн вообще ие предполагаются установленными„то аксиома Архнмела должна быть изложена в ней в следующей редакции; Ч1» (аксиома Архимеда для исчисления отрезков).
1«усть даны иа прял«ой 3 отрезок а и две точки » н В. 8 таком случае всегда можно найти некоторое 170 ГЛ. Уц ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ й 31. Умножения в Агхнмедовой числовой систвмв 171 количество аочек А„АЯ,..., А, ь А„шаких, чтобы точка В лежала между точками А и А„, а отрезки АА„А,А„..., А» 4 А„были бы риеки отрезку а е смысле исчиеленал отрезков, которое ееодитсл, на основании аксиом 1, !1, !т!» и теоремы Аезарга, как зто было сделано е 6 24 [44]. Главнейшие результаты нашего исследования мы сформулируем в виде следующих двух теорем: Теорема 57. Теорема Паскаля (теорема 40) доказуема на основании аксиом 1, 11, !Чч, 1!;', а. е.
при условии исключения аксиолг конгруенвности и иринял4ия аксиомы Архимеда. Теорема 58. Теорему Паскаля(теорема 40) невозможноо доказать на основании аксиом 1, !1, !Чн, а.е. яри условии исключения как аксиом конгруенвносви, аак и аксиомы Архимеда. На основании общей теоремы 56, в формулировке зтих двух теорем аксиомы !4 могут быть заменены требованием, чтобы в плоской геометрии имела место теорема Дезарга (теорема 53). $32. Коммутатнвный закон умножения в архимедовой числовой системе Доказательство теорем 57 и 58 существенно основывается на некоторых определбнных взаимоотношениях, существующих между вычислительными правилами и основными положениями арифметики, знакомство с которыми представляет интерес само по себе.
Мы утверждаем справедливость следующих двух теорем: Т е о р е м а 59. В архимедовой числовой системе коммутавиеный закон умножения является необходимым следствием остальных законов; зто значит, чво если числовая система обладаеа свойствами 1 — 11, 13 — 17, перечисленными е 6 13, ао отсюда необходи о следует, что е ней имеет листа и формула 12.
Доказательство. Заметим сначала следующее. Если а — любое число из нашей числовой системы и и=1+1+... +1 — положительное целое рациональное число, то для а и и всегда имеет место коммутативный закон; действительно, ел=а(1+1+...+1) = а ° 1+а 1+... +а.1=— =.а+а+...+ а и точно так же на==(1-[-1+... +1) а=1 а+1 ° а+... +1 ° а=- = + +" +. !!релположим теперь, что, вопреки нашему утверждению, в нашей числовой системе существует два числа а, Ь, для которых коммутативный закон умножения неверен. В таком случае мы, как легко заметить, имеем право сделать сле- ду4ощне допущения: аг О, Ь' ьО, аЬ вЂ” Ьа»0 ['Я1, Согласно требованию 5 6 13, существует число с( >0), удовлетворяк4щее равенству: (а + Ь+ 1) с = аЬ вЂ” Ьа.
Далее, выберем число й, удовлетворяющее олновременно трбм неравенствам й >О, й(1, й(с; наконец, обозначим буквами и4 и я два целых рациональ- ных неотрицательных числа, для которых ай(а-- (т+ 1)й пй( Ь ~(я+ 1) й. Существование таких чисел т и и является непосредст- венныч следствием предложения Архимеда (предложения !7 б !3). В силу замечания, сделанного в начале этого доказательства, мы в результате умножения последних неравенств получаем; аЬ =-.
аийг+(т+ я+ 1) 4!г, Ьа ) тнаи; вычитая полученные неравенства, найдбм, что ад — Ьа ( (т + я + 1) йг. ГЛ. Чп ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ Однако так как тй(а, пй(Ь, й(1, го (т+ п+ 1] й(а+ Ь+ 1, т. е. аЬ вЂ” Ьа((а+ Ь+ 1) й, и, следовательно, авилу того, что й (с, аЬ вЂ” Ьа ( (а+ Ь+ 1) с. Это же последнее неравенство противоречит опрелеле- нию числа г, и, следовательно, теорема 59 доказана, й 33, Коммутативный закон умножения в неархимедовой числовой системе Т е о р е м а 60.
Для иеархимедовой числовой системы коммУтативный закон УмножениЯ не Явлг не т сЯ необходимым следствием остальных законов счезпа; зто значит, что существуепг числовая сисгпема, обладающая перечислениыми в 6 13 свойсп2вами 1 — 11,13 — 16, — являющаяся, согласно 6 23, дезарговой числовой системой,— в которой коммутативиый закон умножения (12) и е имеет места. Доказательство. Пусть | — параметр, а Т вЂ” любое выражение с конечным или бесконечным числом членов Вида: 7 =г со+ г Гль! +г ял+2+ яльо где го(~СО), г„гг,... могут быть любыми рациональными < числами, а я — любым целым рациональным числом= О.
> К области таких выражений Т прибавим число О. Два выраженин вида Т называются равными, если н них Все соответствующие числа и, го, г„г„... попарно равны друг другу. Далее, пусть я — другой параметр, а Ь' любое выражение с конечным или бесконечным числом членов вида: Я=я"'То+ я "'То+вы "г Т, +..., где через То (~=0), Т„Т„... обозначены выражения вила Т.
й ЗЗ. УмножБние В неАРхимвдозой числОВОЙ систвме ПЗ < а т — любое целое рациональное число = О. Совокупность > всех выражений Вида Я, к которой добавлено щсло О, мы будем рассматривать как комплексную числовую систему Я(я, 7), в которой мы установим слелующие вычислительные правила. Ь(ы будем производить вычисления с парачетрами я н Г по правилам 7 †1 6 13, а Вместо правила 12 будем Всегда применять формулу гя.= — 2яд Легко убедиться, что это утювие пе приводит к противоречию. Если Я' и Ял суть какие-то два выражения вида 53 У=ляьлТВ+я 'ьгТ, + я 'ьгТг+ Я' = ям" То+ ят"+'7;+ я "+'То+ то с помощью их почленного сложения можно, очевидно, образовать новое выражение У+3", которое снова имеет вид 3 и опрелеляется однозначно; выражение У + 8" называется суммой чисел, прелставлеиных аыраженинми Я' и 8'. С помощью обычного формального почленного умножения выражений 8', 8" мы приходим далее к выражению вида; -(-(я "То я '+ То+я '+'Тгя "+'То+я 'ьгТгя~"7~)-( ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
