Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 26
Текст из файла (страница 26)
а = ОА = ОА', Ь = ОВ = — ОВ', Пусть причем, в соответствии с нашим условием, АА' и ВВ' параллельны единичной прямой [черт, 71(. Мы теперь построим точки А" и В", проведя А'А" и В'В" параллельно ОА и затем АВ" и ВА" параллельно ОА'; как легко видеть, наше утверждение сводится к тому, что соединяющая прямая А'В" параллельна АА'. В правильности этого утверждения мы убеждаемся из теоремы Дезарга (теорема 53) следующим образом. Обозначим точку пересечения прямых АВ' и А'А' буквой Р, а точку пересечения прямых ВА' и В'В" †букв О; тогда в треуголь- с ~.с-зы Черт. 71. никах АА'Г и ВВ'О соответствующие стороны будут параллельны. С помощью теореиы Дезарга мы заключаем отсюда, что три точки О, Р, О лежат на одной прямой.
Вследствие этого обстоятельства треугольники ОАА' и ОВ'А" расположены так, что прямые, соединяюгцие соответствующие вершины, проходят через одну и ту же точку Г. Так как, кроме того, две пары соответствующих сторон, а именно ОА, ОВ" и ОА', ОА" параллельны, то, согласно второй части теоремы Дезарга (теорема 53), третья пара сторон АА', В"А" также параллельна. Из этого доказательства следует, вместе с тем, что безразлично, из какой из двух фиксированных прнмых исходить при построении суммы двух отрезков. Далее справедлив ассоциативный закон сложения: а+(Ь+с)=(а+ Ь)+с, Гл.
ч. Теогямл дезаегл Пусть на прямой ОЕ даны отрезки а=ОА, Ь=ОВ, с=ОС.' На основании обобщзнного правила сложения, указанного в предыдущем параграфе, суммы а+ Ь = 00, Ь+ с = ОВ', (а+ Ь)+ с = 00' можно построить следующим образом [черт, 72]. Выберем на прямой ОЕ' произвольную точку О и соединим сй с точками А и В. Прямая, проведзнная через точку О параллельно ОА, пересекает прямые, проведзнныс через точки В и С параллельно ОО, в точках, которые мы обозначим соответственно через Р и О'.
Прямая ОА пересекается с прямой, проведенной через точку Р параллель- но АО, в упомянутой уже /" раньше точке О, а с прямой, проведзнной через точку О' параллельно ..и ВР,— в также уже упо- мянутой у нас точке В'; ю' т 7 ь ь г ь а ик- прямая ОА пересекается с прямой, проведенной Черт. 72. через точку й' парал- лельно ОО, в точке О', также нам уже встречавшейся. Наконеп„сумма а+(Ь+с) получится после того, как мы проведем сначала через точку В' прямую, параллельную ОО, которая перессчйтся с прямой ОО' в некоторой точке Р', з затем через точку Р проведем прямую, параллельную АО. Следовательно, вопрос сводится к доказательству того, что црямые.
0'Р' и АО параллельны. Обозначим точку пересечения прямых.ВР и 00 буквой Н, а' точку пересечения прямых В'Р и 0'О' — буквой Н'. Тогда в треугольниках ВОН и В'О'Н' соответствующие стороны параллельны; далее, так как прямые ВВ' и 1Ю' параллельны, то, также по.теореме Дсзарга, прямая НЧ' параллельна этим двум прямым.
Поэтому мы можем применить к треугачьникам ОРН и О'Р'Н' вторую часть теоремы Дезарга и убедиться в том, что прямые 0'Р и ОР параллельны между собой, а следовательно, н параллельны АО, $ 26, кмножение в новом исчислвнии отеязков 157 ф 26. Ассоциативный закон умножения я двв диетрибутявных закона в новом исчислении отрезков При принятых нами соглашениях умножение отрезков подчиннется а с с о и и а т и в н о м у закону; а(Ьс) =(аЬ) с.
Зададим на одной из двух фиксированных прямых, проходящих через точку 0 [черт. 73], отрезки 1=0А, Ь=ОС, с=ОА', а на второй — отрезки а=Об и Ь=ОВ. Согласно правилу в з 24, для построения отрезков Ьс=ОВ' и Ьс=ОС, аЬ = ОО, (аЬ) с = ОО' проведем прямые: А'В' параллельно АВ, В'С' параллельно ВС, СО параллельно ЛО и А'О' параллельно АО. Л~егко заметить, что наше утверждение сводится к тому, что СО и СО' также дс Ю' должны быть параллельны. Обозначим точки пересечения прямых АО и ВС буквой Р; а точку пересечении прямых А'О' и В'С' — бук- в l сс л си' Й с' вой Р'.
В треугольниках АВР и А'В'Р' Черт. 73. соответствующИе стороны параллельны; следовательно, по теореме Дечзрга три точки О, Р, Р' лежат на одной прямой. Благодаря этому. мы можем к треугольникам СОР и С'О Р' применить вторую часть теоремы Дезарга и убедиться, таким образом, что прямые СО и С'О' действительно пйраллсльны. 158 5 зб. гмножение в новом исчислении отгезков 1бй гл. ч.
теогемл дезлггл Наконец, докажем на основании теоремы Дезарга, что в нашем исчислении отрезков имеют место два дистрибутивных закона: а(Ь+ с) = ад+ ас и (Ь + с) а = да+ са. Для доказательства первого дистрибутивного закона, а (Ь+ с) = ад + ас, положим, что на первой нз двух фиксированных прямых заданы отрезки [черт 74) 1=ОЕ, Ь=ОВ, С=ОС, а на второй прямой — отрезок а= ОА.
Прямые, проведйнные параллельно ЕА из точек В и С, пересекают прямую ал С л ОА в точках, которые мы соответственно обозначим через О и Р. Следовательно, в силу правила умножения (з 24), ОО = ай, ОР =- ас. В соответствии с обобщенным законом сложения в 2 24, мы получим сумму ОН= — Ь-+ с следующим образом: через точку С проведем прямую, параллельную ОО, через точку Π— прямую, параллельную ОС, через точку пересечения 0 проведзнных только что двух прямых — прямую, параллельную ВО; эта последняя пересечет прямую ОС в упомянутой уже точке Н, а прямую ОΠ— в некоторой точке К. Так как ОН= = Ь + с, то, в силу правила умножения отрезков, ОК=а(Ь+ с). Так как фиксированные прямые ОЕ, ОЕ' при построении суммы можно менять ролями (согласно доказанному иа стр.
155), то сумму ас+ад на основании обобщенного закона сложения можно построить слелующим образом: проведйм из какой-либо точки прямой ОЕ, например, нз точки С, прямую СО, параллельную ОО, через точку Π— прямую 00, параллельную ОС, и, наконец, через точку 0 — -прямую ОК, параллельную СР. Итак, ОК=ас+ад; отсюда, в силу справедливости коммутативного (в') закона для сложения, следует первый дистрибутивный закон. Наконец, чтобы доказать в т арой листрибутивный закон, положим, что на первой из двух закрепленных прямых даны СЛГ' 7 отрезки (черт. 75~: зал 1=ОЕ, а=ОА, лг а на второй: М Ь=ОВ, С=ОС.
Р Е l а Черт. 75. Прямые АВ', параллельная ЕВ, и АС', параллельная ЕС, определяют отрезки ОВ'= Ьа, ОС' = са. Строим на фиксированной прямой ОВ отрезки ОР= — 5+ с, ОР' = да+са, по обобщенному правилу сложения, следующим образом. Проводим через точку С прямую, параллельную ОЕ, н через точку Š— прямую, парзллельную ОС. Эти прямые пересекутся в некоторой точке О, через которую мы проведем прямую, параллельную ЕВ; последняя пересечзтся с прямой ОА в упомянутой ранее точке Е Проведем, далее, через точку А прнмую, параллельную ОС', и через С вЂ” прямую, параллельную ОА. Эти последние пересекутся в некоторой точке О*, через которую проводим параллель к АВ', эта параллель пересечется с ОА в упомянутой уже точке Г.
166 гл. ч. теорема двзлргл 6 27, янлзнения прямых в новом исчислении отрезков 161 Из закона умножения отрезков вытекает, что второй дистрибутивный закон будет доказан, если будет показано, что прямые АР' и ЕР параллельны. В треугольниках ЕСО и АС'О' соответствующие сто. роны параллельны, Следовательно, три точки О, О, О' лежат, согласно теореме Дезарга, на одной прямой. Поэтому, применив вторую часть теоремы Дезарга к треугольникам ЕОГ и АО'Р', мы убедимся, что прямые АГ' и ЕР параллельны. В 27.
Уравнения прямых в новом яечяеленяя отрезков С $ 24 по $ 26 мы вводили исчисление отрезков с помощью установленных в $.24 аксиом, предполагая справедливость теоремы Дезарга лля. плоскости. В этом исчислении оФрезков имеют место установленные в 2 13 предложения о соединении, коммутативный закон сложе ния, ассоциативные законы сложения и умножения, а также два дистрибутивных закона. В том, что коммутатнвный закон умногкения не должен обязательно выполняться, мы убедимся в 2 33.
В этом параграфе мы хотим показать, каким образом можно дать аналитическое представление точек и прямых, основываясь на этом исчислении отрезков. Определение. Две фиксированные нами на плоскости прямые, прохолящие через точку О, мы будем называть осями Х и 1' и будем задавать лрбую точку Р на плоскости посредством отрезков х, у, которые отсекаются на оси Х и, соответственно, г' прямыми, проходящими через точку Р параллельно этим осям. Эти отрезки х, у мы будем называть ноординатами точки Р. На основании нового исчисления отрезков мы, с помо. щью теоремы Дезарга, приходим к следующему заключению: Т- е о р е и а 55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
