Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 21
Текст из файла (страница 21)
49. дующим спосо.бом, который мне кажется более простым, чем все другие, известные до сих пор. На одной из сторон прямого угла откладывают от его вершины О отрезки и=ОА и Ь=ОВ, а на другой стороне того же угла — единичный отрезок! =ОС (черт. 49). ') Сравнить с зтнм также методы обоснованна учения опропорциях, которые были даны Р.
К не вером (А. Кпеаег, АгсЫУ !Вг Май. ши1 РЬуа., К. !!1, т. 2) и И. Молле руном (!. Мо1! е гн р, Ма!Ь. Апп. т. 56, а также «8!Нб!е«отегбеп р!апе йеоаеййа АКаюаепн КорепЛайеп, 1903) н в которых равенства между пропорцннми были уже установлены. Ф. Ш у р (!«. Б с Ь а г, 2щ Ргорог!!опеп!еЬге, Май. Апп. т, 57) замечает, что уже К упффер (Кар !!ег, $1!Еппй«Ьег.
бег 5)а(нг!Огасйегйеае!1- «свай хн Вогра(, 1893) правильно доказал справедливость коммутативиого закона умножения. Всб же надо признать, что дальнейв«ее обогнзваиие учения о пропорциях, данное Купффером, недостаточно. 124 Гл. <!!. учхнив о пгопоециях 125 э 16. Окружность, проведенная через точки А, В, С, пересечет еще вторую сторону угла в точке О. Точку О легко найти, не прибегая к циркулю [<а), а основываясь только на аксиомах конгруентности; лля этого достаточно из центра окружности опустить на ОС перпенликуляр и относительно него построить зеркальное отражение точки С, Вслелствне равенства углвв ~.
ОСА и ~ ОВО мы, согласно определению произведения лвух отрезков (стр. 121), имеем: ОО= аЬ; в силу же равенства углов 3СООА и ~ОВС по тому х<е определению 00= Ьа. аЬ= Ьа локазыеаеп<, что рассмотренный на стр, 117 — 118 частный случай теоремы Паскали верен лля сторон прямого угла, а отсюда, согласно сказанному на е<ь' ! стр. 122 — 123, следует ассоциативный закон умножения: е< а(Ьс) =(аЬ) с.
Наконец, в нашем исчислении отрезков верен такя<е и листрибутивный (распрелели те льный) закон: ь ! с ь Черт. зО. а(Ь+ с) =аЬ+ ас. Для его доказательства построим о~резки аЬ, ас и а(Ь+с) и проведем через конец отрезка с (см. чертеж (50)) прямую, параллельную другой стороне прямого угла. Конгруентность обоих заштрихованных прямоугольных треугольников и применение теоремы о равенстве противоположных сторон В силу замечания, сделанного на стр. 122, вытекающий отсюла переместительный закон умножения параллелограмма приводят нас к я<елаемому доказательству, Если Ь и с — любые два отрезка, то всегда существует отрезок а такой, что с=аЬ; этот отрезок а мы назовем с ч а с т и ы м от леления с на Ь н булем обозначать так: — .
а ф 16. Пропорция и теоремы о подобии С помощью изложенного исчисления отрезков мо!кио дать слелующее строго обоснованное учение Е в к ли да о пропорциях, не опираясь на аксиому ь<рхимеда. Определение. Если а, Ь, а', Ь' — какие-то четыре отрезка, то под проперцией а ! Ь = а'. Ь' мы булем понимать не что иное, как равенство отрезков аЬ' =- Ьа'. О п р е д е л е и и е. Два треуголш<ика называются лодобныьси, если у них соответственные углы конгруентны, Теорема 41.
Если а, Ь и а', Ь' суть соответственные стороны в двух подобных треугольниках, то имеет место про ь порция: е а: Ь = а'. Ь'. е е Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала тот частный Черт. 5!. случай, при котором углы, заключйнные между сторонами а, Ь и а', Ь', прямые, и положим, что оба треугольника перенесены в один и тот же прямой угол.
Здесь отложим от вершины ка одной из сторон угла отрезок, равный 1 (черт. 51), и проведем через конец э~ого отрезка прямую, параллельную обеим гнпотенузам, эта прямая отсечвт на второй стороне угла отрезок е; согласно нашему оиределеии<о произведение отрезков, Ь =ел, Ь'=ел' !21 126 ГЛ. !11. УЧЕНИЕ О ПГОПОЛ1ИЯХ и тем самым аЬ'=- Ьа', а: Ь = а'! Ь'. т, е. а: Ь= а'1Ь'. аь:г=иь1г )Ь«1Г=Ь«1г' и,:г= и:г' 1Ь 1г= Ь:г', и, следовательно, Ь'аг' = Ь'га', а'Ьг' = !!'гЬ'.
а: Ь = а". Ь'. Вернемся теперь к общему случаю, В кажлои из подобных треугольников построим точку пересечения трах его биссектрис 8 и, соответственно, О [черт. 521, суще. ствование которой лагко доказать на основании теоре- мы 25, В каждом из тре>толь- ЕГ ников из найденных точек опу- Ь стич перпендикуляры — соэтвет. Г Ф ственно г и г' — на его сторэгь ны. Образовавшиеся при эточ от- Г резки обозначим соответственно буквами: с« '!ерт. 52. аь, а« Ьа Ьа са~ сь. ранее показанный частный случай нашей теоремы приводит нас к пропорциям: На основании листрибутивного закона мы заключаем отсюда, что а: г = а', г', Ь: г = Ь".
г' Из этих равенств, так как умножение полчиняется кочмутативному закону, получаетса, что Из теоремы 41 легко вывести основную теорему учения о пропорциях, которая гласит: э !!, уеьвнения пгяыых и плоскостей Теорем з 42. Есги дее параллельные прямые отсекают на сторонах некоторого угла отрезки соответственно а, Ь и а', Ь', то имеет место пропорция: Обратно, если четыре отрезка а, Ь, а', Ь' удое«етеоряют этой пропорции, и одна игра оглреэков а, а' откладывается на одной стороне угла, а другая ларив Ь, Ь' — ня другой, то прямые, соединяющие концы отрезков а, Ь и концы отрезков а', Ь', пграллельны [«ь~, ф 17.
Уравнения прямых н плоекоетей К рассматривавшейся до сих пор системе отрезков мы присоединим другую такую же систему отрезков. А именно, в силу аксиом порядка на прямой можно различать «положительноеь и «отрицааельноеь направления. Отрезок АВ, который мы ло сих пор обозначали буквой а, мы будем только тогда прололжать обозначать через а, когда точка В лежит с полэжительной сторэны от точки А, в противоположном же случае мы его буден обозначать через — а, Всякую точку мы булем обозначать как отрезок О, Про отрезок а говорят, что он «поеожитеаень, з также что он больше нуля, и обозначают это так: а)0! про отрезок — а говорят, что он «оГприцааеленъ — мень.ие нуля,— и обозначают это так: — а«, О.
В этом расширенном исчислении отрезков имеют место все вычислительные правила 1 — 16 лля лействительных чисел, перечисленных в Я 13. Мы подчеркнем следующие положения. Всегда а 1 = 1 а = а и а 0 =- О а = О. Если аЬ=О, то либо а=О, либэ Ь=О. Если а) Ь и с)0, то всегла ас)Ьс. Далее, если Аи А„А„..., А„и А„суть п точек на прямой, то сумиа отрезков А,А«, А«А«,..., А„,А„, А„А, Равна 0 [ьь!. Возьиеи в плоскости а две вззимно перпенликуляриые прямые, проходящие через некоторую точку О, примем их й 17 уРАВнения НРямых и плоскостей !29 128 ГЛ. Нн ЬЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ за неподвижные координатные оси и оглшким на зтих прямых от точки О произвольные отрезки х, у, затем из концов отрезков х,у восстании перпендикуляры и обозначим их точку пересечения буквой Р !черт, 531. Отрезки х, у назовем координаглижи точки Р. Каждая точка плоскости а однозначно определяется своими координатами х,у, которые могут быть по- Г ложительныии или отри- У ь цательными отрезками или О.
Пусть 7 — некоторая прямая в плоскости а, Черт. 83. проходящая через точку О и через некоторую точку С с координатами а, Ь. Пусть, далее,х, у суть координаты некоторой точки Р, лежащей на А Тогда из теоремы 42 мы легко находим или Ьх — иу =0 как уравнение прямой А Если прчмая Р параллельна ! и отсекает на оси х отрезок с, то уравнение втой прямой получается из уравнения прямой 7 путем замены в нем отрезка х отрезком х — с; таким образом, искомое уравнение имеет вид: Ьх — Ьу — Ьг =- О. В силу вышеизложенного мы легко можем заключить, не опираясь при атом на аксиому Архимеда, что каждую прямую на пЛоскости можно представить с помощью линейного уравнения между координатами х, у, и обратно, что каждое такое линейное уравнение представляет прямую, причем коэффициенты зтого уравнения представляют собою отрезки, принадлежащие данной геометрии Аналогичные результаты для пространственной геомерни получаются так же легко.
Дальнейшее построение геометрии теперь может быть осуществлено с помощью методов, которые обычно применяют в аналитической геометрии. До сих пор в настоящей, третьей главе мы нигде не пользовались аксиомой Архимеда; предположив же, что вта аксиома имеет место, можно каждой точке прямой, произвольно взятой в пространстве, сопоставить действительные числа следующим образом. Возьмем на прямой две произвольные точки и поставим им в соответствие числа 0 и 1; далее, разделим пополам отрезок 01, определанный втими точками, и отнесйм най! денной середине отрезка число †, ; далее, середине. от! г! резка 0 †,, отнесем число — и т. дл после л-кратного при- 4 менения етого привма мы придвм к точке, которой мы ! 1 отнесвм число —.
Отложим теперь отрезок 0 — отточкиО 2п ' 2" т раз подряд как в сторону точки 1, так и в противоположную сторону, и отнесем полученным таким образом ььь Iьь точкам числа — и — †. Из аксиомы Архимеда легко 2А 2" заключить, что на основе такого соответствия можно однозначно сопоставить действительное число каждой точке прямой, причйм соответствие будет обладать следующим свойством: если А, В, С в какие-то три точки на прямой, а а, р, Т вЂ” соответствующие действительные числа, и притом точка В лежит между точками А и С, то числа а, р, Т удовлетворяют одному из двух неравенств: а(~ с Т или а) ~3)Т. Из изложенного в 9 9 второй главы ясно, что там для каждого числа, принадлежащего алгебраическому числовому нолю 11, должна существовать на прямой точка, которой отнесено вто число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
