Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 20
Текст из файла (страница 20)
доказательство теогвмы паскаля 1Л Применим к обеим частям конгруентности (3) символ 1'р.. Заметив, что, согласно ранее доказанному, этн символы обладают переместительным свойством, мы получим: Применим теперь к левой части этой конгруентности конгруентность (2), а к правой части — конгруентность (4); мы получим: Далее, применим к левой части конгруентность (1), а к правой — конгруентносгь (5), Тогда Основываясь на свойствах наших символов (см, стр, 115), из последней конгруентности заключаем, что р.'»Ь'= р.'~ а Рассмотрим теперь перпендикуляр, опущенный из точки О на л, и опустим на него перпендикуляры из точек А и В'. Конгруентность (6) показывает, что основания этих двух перпендикуляров должны совпасть (4'], т.
е, что прямая л» = АВ' перпендикулярна к перпендикуляру, опущенному на л, и тем самым параллельна л. Итак, теорема Паскаля доказана. Для обоснования учения о пропорпиях мы будем в дальнейшем пользоваться только тем частным случаем теоремы Паскаля, при котором имеет место конгруентность отрезков ОС= — ОА', а, следовательно, и конгруеитногть ОА =-ОС', ГЛ. и!. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ 119 и при котором точки А, В, С лежат на одном и том же луче, исходящем из точки О.
В этом случае доказательство ведйтся особенно просто, а именно следующим образом: Отложим на луче ОА' от точки О отрезок ОВ до точки 0' [черт. 43]; таким образом, прямая В0' окажется параллельной прямым СА' и АС. Вследствие конгруентности треугольников ОС'В и ОА0' <ПОСВ=:~ ОА0'. (1() Так как, согласно условию, прямые СВ' и ВС' параллельны, то ~. ОС'В: — ~. ОВ'С. (2 1') Из (1)) и (2)) следует, что ~ОА0'= ~ ОВ'С.
Черт. 43. На основании свойств окружности, вокруг четырехугольника ЛС0'В' можно описать окружность и, следовательно, в силу известной теоремы, ~. 00'С =: ~ ' ОА В'. (3() С другой стороны, вследствие конгруентности треугольников 00'С и ОВЛ', ~ 00'С=— ~ ОВА'! из (3 () и (4)) следует: ~ О А В' = ~. ОВА'. (4 (') Эта последняя конгруентность показывает, что прямые АВ' и ВА' параллельны, что и утверждаешься теоремой Паскаля. Если даны прямая, точка вне еа и угол, то, очевидно, можно с помо!цью построения этого угла и проведения параллельной прямой найти прямую, которая проходила бы через данную точку и пересекала бы дащ!ую прямую Из (4') и (Зч) следУет, что ~- ОЛ0 = ~ ОВ С.
!4. доказательство теогемы паскаля под данным угло . р м. П инимая во в внимание это обстоятелье п именить дл для доказательства ство, мы можем, након ц, р ы более общем случае теоремы Паскаля в о ному сообщению со ° простой при м, й ам, которым я обязан одном точк В (че т 44] прямую которая 0' б~ым~ааю б пересекая луч ОЛ' в некоторой точке этим лучом угол, конгруентный углу «С О т.
е. Р Г ~ ОСА'— = ~С 00'В, (1") l 1 В таком случае, согла- ! но известной теореме, сно ка вокруг четырвхугольника ! СВ0'А' можно описать окружность. Вследств же конгруентности впи- А санных углов, опирающ их- а ся на одну и ту же хорду, Черт. 44. ~ ОВЛ'= :~ 00'С. (2") СА' н АС' по условию параллелюн1, то Так как прямые ' н 3« ОСА'= ~. ОАС'. ( ) Из( )н 1" (3') следует конгруентиостак ЗС 00'В— : ЗС ОАС', вок г четырахуголы!Ика ВЛ0'С' также можно к .
О , основании теоремы об уг- ного в окружность, получается к жность. Отсюда, на осн лах четырехугольника, вписанного в о (4 а что ~ ОА0'= —. ЗС ОС'В. ловню СВ' параллельна С' то Йалее, так как по услов ~С ОВ'С = зг ОС'В 1гб гл. пп хчзние о пнопогциях 121 5 15. исчисление отгезков Последняя конгруентность показывает, что вокруг четырехугольника САО'В' также можно описать окружность, а потому ~С ОАВ':= ~ ОО'С (6») Из (2«) и (6») вытекает, что ~С ОВА'=: ЗС ОАВ'. Эта конгруентность показывает, что прямые ВА' и АВ параллельны, как это и утвержлает теорема Паскаля. Если точка ЕУ совпадает с одной из точек А', В', С и ом порядке, то илн если точки А, В, С расположены в ином поря ке, в доказательство надо внести изменении, которые у о ые устанавливаются без труда "), ф 15.
Исчисление отрезков ца основании теоремы Паскаля Т абт н еорема Паскаля, докааанная в предыдущем параг ф, да т нзм возможность ввести в геометрию исчисление л ние от- резков, в котором сохраа — — ч Ь— — — ч — ' ияются без изменения все правила вычислений с действительными числами. Черт. 45. Вместо слова «конгру- ентны» и значка—: , мы в исчислении отрезков будем пользоваться словом «равны» и значком = , Пусть А, В, С суть три точки на прямой, и пусть В лежит между А и С; мы будем говорить, что с=АС есть сумма двух отрезков а=,4В и Ь=ВС (зейт. 45~, и положим с= а+ Ь.
Мы будем говорить, что отрезки а и Ь меньше с, и обозначим это так; а(с, Ь(с; «1 Заслуживает также ннт«р««а примен«ние, которое имеет теорема о пересечении трах высот треугольника в одной точке в обосновании теоремы Паскаля,а также н учения о пропорци см. о этом также статью Р. 5 с 5 ц г, Майк Лпп. т. 57 н б циях; 3. М о11ет н р, «51нб(ег отег беп р1апе йеош«1«1« Л(«в(пожег», Корепйайеп, 1ЮЗ. про отрезок с мы будем говорить, что он больше отрезков а и Ь, и будем записывать это так: с)а, с)Ь.
Из линейных аксиом конгруентности Ш,, легко заключить, что для только что определйнного сложения отрезков имеют место законы ассоциативный (сочетательный: ) а+(Ь+с)=(а+Ь) +с и ком нута тинный (перемести тельный): а+5=5+а, Ь Черт. 46. Докажем, что для только что опрелелйнцого умножения отрезков имеет место к о м м у т а т и в н ы й закон аЬ= Ьа. С этой целью построим сначала по ранее устаношлеиному способу отрезок аЬ, Далее, отлоя«ил~ на первой стороне прямого угла отрезок а, а на второй его сторопе— Для того, чтобы геометрически определить произведение отрезка а на отрезок Ь, воспользуемся следующим построением. Прежде всего, выберем произвольный отрезок, который останется неизменным в процессе всего рассуждения, и обозначим его через 1.
От- « ложнм теперь на одной стороне прямого угла от его вершины О отрезок 1 '(черт, 461, а затем отложим от той же вершины О отрезок Ь; после этого на другой стороне угла отложим отрезок а. Соединим далее концы отрезков ! и а прямой и провелйм прямую параллельно этой прямой через конец отрезка Ь. Пусть эта прямая отсечет на другой с~ароне угла отрезок с; этот отрезок с мы назовбм луоизеедемаел« отрезка а на отрезок Ь и булем обозначать его так: с =- аЬ. Р23 122 ГЛ. П!. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ 15. исчисление ОТРезкоя отрезок Ь, соединим прямой конец отрезка 1 с ионном отрезка Ь, отложенного на второй стороне угла, и про- ведбм прямую, параллельную только что построенной, через конец отрезка и, отложенного на первой стороне угла (черт. 47); эта последняя отсечбт на второй стороне угла отрезок Ьи. В действительности, как показывает чертеж 147), этот отреаа зок Ьи совпадает с отрезком иЬ р силу теоремы Паскаля (теорема 40), если использовать параллельность вспомогательных пунктирных линий («т), Как легко заметить, обратное утверждение также верно: из допущения, что в нашем исчислении от- резков справедлив коммутативный закон, вытекает указан- ный на стр.
117 — 118 частный случай теоремы Паскаля для ~аких фигур, в которых лучи ОА и ОА' образуют прямой угол. Докажем теперь, что умножение отрезков подчиняется а с с оциативному закоа'ае и (Ьс) = (иЬ) с. е а / е Черт. 47, Для этого отложим а на одной из сторон прямого угла [черт, 48) от его вершины О отрезки 1 и Ь, а на другой его стороне, опять-таки от вершины О, отлом<им отрезки и и с. Затем построим отрезки е(=- иЬ и е = сЬ и отложим эти отрезки г( и е на первой стороне угла от точки О. Если мы построим теперь еще отрезки ие и ег(, е г е е е Черт. 48. то из чертежа 148), снова в силу теоремы Паскаля, явствует, что концы этих отрезков должны совпасть, т. е.
что ие=ег( или и(сЬ)=е(иЬ). Отсюда, на основании коммутатнвн>го закона, получается: и(Ьс) =(иЬ) с «). Из изложенного видно, что для доказатЪльства справедливости коммутативного и ассоциативного законов улгножения мы испольэовали только тот частный случай теоремы Паскаля, который нам удалось доказать (на стр. 117 — 118, 9 14) особенно просто, приме- е ннв лишь один раз теорему об углах вписанного четырбхугольника, Резюмируя всб сказанное, мы приходим к обоснованию умно- Е а е жения в исчислении отрезков сле- Черт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
