Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 19
Текст из файла (страница 19)
одну точку можно провести бесчисленное множествоо прямых, параллельных данной, и в которой вся же имеют место теоремы римановой (эллиптической) геометрии; с другой стороны, существует геометрия (полу- евклидова геометрия), в которой через точку проходит бесчисленное множество ямых параллельных данной, и в которой ') доказательство этой теоремы дали затем также Ф. Ш у р (Р.
3 сппг, Ма1п. Апп. т. 55) н 'И ел ьи са ев (Н)е!ш э1е ч, Ма!!г. Апп. т. 64); у последнего следует особо отметить очень короткий вывод, приводящий к доказательству средней части этой теоремы. См. также Р. Ясй пг, бгвп61айеп бег Оеоюе!г!е, ).ерг~й впг! Вег1гп, !909, $6. ф 110 Гл. гг. ИепРотивоРечивость и незАВисимОсть АксиОИ всэ же имеют место теоремы евклидовой геометрии, Из предположения же, что параллельных прямых не существует, неизменно следует, что сумма углов в треугольнике больше двух прямых. Отмечу, наконец, что если принят ь аксиому Архимеда, то аксиому о параллельных можно заменить требованием, чтобы сумма углов в треугольнике равнялась двум прямым.
Г Л..А З А Т Р .Е Т Ъ Я УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ $ !3, Комплексные числовые системы") начале этой главы мы хотим сделать несколько предварительных кратких разъяснений о комплексных числовых системах. Эти разъяснения дадут нам в дальнейшем возможность упростить изложение. Действительные числа образуют в своей совокупности систему вещей, обладающую следующими свойствами: Предложения о соединении (1 — 6): 1.
Иэ числа а и числа Ь получается посредством «с ложе е ни я» вполне определвнное число с. Это обозначают так: а+Ь=с нли с=а+Ь. 2. Для двух данных чисел а и Ь всегда существует одно и только одно число к, а также одно и только олно число у такие, что а+ х = Ь и, соответственно, у+а = Ь. 3. Существует огпю вполне определйнное число — мы называем его нулэм (О) — такое, что лля любого и одновременно а+ О = а и О + а = а. 4. Из числа а и числа Ь получается ещэ некоторым лругим образом — с помощью «у и нож ения» — вполне ") См.
также мой доклад: «БЕЬег бег ЕЕЫЬееггП», зайгевЬе- г1ЕЫ бег ()еигвсйеп Ма!Ьепга11йег-Неге(пгйипй, т. 8, !900. (Лобавлеине Н! к втой книге> 112 ГЛ. 111. УЧЕНИЕ О ПРОПОРПИЯХ ф 13. комплгксные числовыя системы 118 определенное число с. Это обозначают так: аЬ=с или с=аЬ. 6. Если а и Ь суть два любых заданных числа, причем й не О, то всегда существуют одно н только одно число х, а также одно и только одно числоу — такие, что ах=Ь и, соответственно, уа=Ь. 6.
Существует одно вполне определвнное число — мы называем его единипей (1) — такое, что для любого а одновременно а 1=а и 1 а=а. Вычислительные правила (7 — 12)1 Для любых чисел а, 'Ь, с имеют место следующие вычислительные законы: 7. а+(Ь+с)=(а+ Ь)+с. 8.а+Ь =Ь+и. 9, а (Ьс) = (иЬ) с. 10. а(Ь+с) =аЬ+ас. 11. (а+ Ь) с =ас+ Ьс. 12. аЬ = Ьа. Предложения о порядке (13 — 16): 13.
Если а и Ь вЂ” два любых отличных друг от друга числа, то одно и только одно из них (скажем, а) больше другого; это последнее называется меньшим числом. Обозначают зто так: а)Ь и Ь(а. Для любого числа а утверждение а)а ложно. 14. Если а) Ь и Ь)с, то а)с. 1б. Если а >Ь, то всегда также а+с)Ь+с.
16. Если а) Ь и с)0, то всегда также ас) Ьс. П релложения о непрерывности (!7 — !8). 17. (Предложение Архи меда.) Пусть и)0 и Ь) 0 — два произвольно выбранных числа; в таком случае а можно прибавить к самому себе столь большое число раз, что образовавшаяся сумма окажется больше Ь. Последнее можно записать так: а + а + ... + и ) Ь. 18. (Предложение о полноте.) Невозможно к системе чисел присоединить другую систему вещей, отличных от чисел, так, чтобы в системе, образовавшейся в результате их объединения, выполнялись бы все пред. локения 1 — !7 и вместе с тем сохранялись бы соотношения, существовавшие между числами.
Короче: числа образук1т систему вещей, которая при сохранении всех соотношений и всех приведзниых предло1кений не допускает никакого расширения. Система вещей, обладающая только частью свойств 1 — 18, называется комплексной числовой сиспеелсой. Комплексная числовая система называется ирхиивдовой или неархилгсдовой, смотря по тому, удовлетворяет ли она требованию 17 нли нет. Некоторые из указанных свойств 1 — 18 суть следствия остальных, Возникает задача— исследовать логическую связь между втими свойствами е), В главе шестой в Я 32 и Я 33 мы исследуем два такого рода вопроса, так как они имеют геометрическое значение. Здесь мы отметим только, что требование 17 во всяком случае не является логическим следствием предыдущих свойств; так, например, рассмотренная нами в ф 12 комплексная числовая система Я (1) обладает всеми свойствами 1 — 16, но не удовлетворяет требованию 17. В остальном относительно предложений о непрерывности (17 — 18) справедливы замечания, аналогичные тем, которые мы сделали в ф 8 относительно геометрических аксиом непрерывности.
") Ср. мой доклад, на который уже были ссылки раньше. д. Гильаере 1!4 гл. 111. Учение О пРЬИОРцнйх $14. Доказательство теоремы Паскаля В этой и следующей главах мы кладям в основу наших исследований плоскостные аксиомы всех групп, за исключением аксиом непрерывности, т, е. аксиомы 1,, н 11 — !'ч1. В настоящей, третьей главе мы намерены обосновать учение Евклида о пропорциях с помощью перечисленных аксиом, т. е. обосновать это учение в плоскости и независимо от аксиомы Архимеда. С этой целью мы предварительно докажем одно предложение, которое представляет собо1о частный случай теоремы Паскаля нз теории коннчеснпх сечйний, Это предложение в дальнейшем я буду для краткости называть теоремой Паскаля; состоит оно в следующем.
Теорема 40"). (Т е о р е м а Паскаля) Пусть на каждой из двух пересекаюи)ихся прямых даны по три топни — А, В, С и, е' соответственно, А', В', С', — отли ч ни е от то яки пересечения этих 3' прямых [черт, 30]; если при этом окажется, чп1о СВ' параллельно ВС и что СА' параллельно АС', то ВА' будет парал- Ю лельно АВ'. Черт. 39. Для доказательс т в а этой теоремы мы введвм следующее обозначение.
Так как в прямоугольном треугольнике катет а, очевидно, однозначно определяется гипотенузой с и уг- ') Ф. Ш у р опубликовал интересное доказательство теоремы Паскаля, основанное на плоскостных н пространственных аксиомах 1 — 111 (см. Ма1Ь. Апп. т. 51, см. также П е Ь и, Ма1Ь. Апп. т. 53).
И. И ель мс леву удалось, опираясь на результаты Г. Гессенберга 10. ИеввепЬегя, Ма1Ь. Апп. т., 61), доказать теорему Паскаля, исходя нз аксиом 1 — 1!1, относя. 1инхся только к плоскости 1Д Н) е1ш в1е ч, «Хеие Вейгдпйвпя бев еЬепеп 4)еоте111е, Майе Апп.
т. 64). См. также добавление 1П в втой книге. 4 14. доказательство теОРемы паскаля 115 лом а между а н с [черт. 401, то для краткости половкнм а=ас. Таким образом, символ ас означает вполне определанный отрезок всякий раз, когда с является заданным отрезком, а а — заданным острым углом.'Точно так же, при любом заданном отрезке а и любом заданном остром угле и равенство а=ас всегда однозначно определяет огре. зок с, Пусть теперь с — любой отре. Черт.
40. зок и а, р — два любых острых угла; мы утверждаем, что имеет место конгруентность отрезков арс = [)ас н что, таким образом, символы а и р допускают перестановку. Чтобы доказать это утверждение, возьмвм отрезок с = АВ и отложим при точке А с обеих сторон этого отрезка углы а и р [черт. 411. Затем из точки В на лругие стороны этих углов опустим перпендикуляры ВС и ВВ, соединим точку С с ЕР и, наконец, з опустим из точки А на Сй перпендикуляр АЕ. г Так как углы ~ АСВ и чС А,ОВ прямые, то четыре точки А, В, С, В лежат на одной окружности, а потому углы 3~ АСвв и Черт. 4!. 5С АВв), как вписанные„ опирающиеся на одну и ту же хорду АО, конгруентны [вв~. Далее, с одной стороны, угол 5С АСС!со.
ставляет вместе с ~ САЕ прямой, с другой стороны, 5С АВ0 вместе с ~СВАО также составляет прямой; следовательно, углы .1;» САЕ и ~ВАО друг другу конгруентны, т. е. иве ~. СА Е = 5, 11б гл. Пь учение о пгопогпиях и потому эТ )ха = л )ь1 Ь. т),'р.'с: — т')х) с' »)х 1' с = '/)4хс'. нлн я)г') Ь' = — «') )х'а )и'т Ь' =)4ь'я'а. или и отсюда что »Ь' = — т'а. (6) ) г' == ),'Ь, йг' = — р'а.
(4) (5) «С ОАЕ= д, Теперь мы непосредственно получаем отрезков. конгруентность рс = — АО, аг= — АС 1 арг= а(АО)— = АЕ, бас в = р(АС)=Ад, откуда следует доказынаемая конгруентность. ф ур, которой говорится я теореме ))ернемся к фиг е, о аскаля, и обозначим точку пересече и б ния обеих прямых буквой О, отрезки ОА, ОВ, ОС, ОА', ОВ', ОС', СВ', ВС', АС, СА', ВА', АВ' соответственно буквами а, Ь, с, а', Ь', г', а 42], Далее, опустим из точки О перпенликуляры а на г', лг", л; пусть перЧе т.
4». ер . пендикуляр, опущенный а 1, обра уст прямыми об аз ' острые углы ),', 1, а перпеидикуляры нат ил р уют с теми же прямыми острые углы р.' ' и ы ', р. и, соот- слн мы теперь выразим эти трн перпендикуляра ранее указанным способом через гипотенузы н прилежащие углы в соответствующих прямоугольных т еугольниках, то мы и и ных треотрезков: р дйм к следующим конгруентностям )ь ='Ас, (1) ра': — р'с, (2) ти': — т'Ь. (3) Так как, илгпа , согласно условию теоремы, 7 паралле лько точки на араллельно т», то перпендикуляры, оп О на 1 н лг, совпадают соответственно с перпендикулярами, опущенными на 1 и т», н, таким образом, мы б- мы у- й 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
