Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если !' лежит внутри а, то ~С (1г, 1") ( а, а — = р, р ( бС (й, 1") Я. А так как сравнение величин обладает свойством тран- зитивности, то ~С (8,1") ( 3С (гг, 1"). С другой стороны, из наших предположений и из теоремы 14 следует, что < ( Ь, 1") =- а', а' = р ', р' : =~ (1г, !") Х (Ь, 1") = — Зс (А, !"). ") Ф. В а л е н в своей книге «Абстрактная геометрия» (ТЬ. У а Ь! е и, «АЬМгаше бенете!г!е», !.е(ршй, !905, стр, 242! замечает, что эту теорему доказал ещд Лежандр Однако Лежандр в своам доказательстве исходил нэ прелположения, что углы образуют непрерывную систему величин. Эта конгруентность противоречит соотношению эС (й, 1") (< (7г, 1'). В случае, когда 1» лежит внутри угла р, мы зналогичным образом приходим к противоречию.
Таким образом, теорема 2! доказана. е не, Угол ббльший своего смежного и, следовательно, ббльший прямого угла, называется гиуицм. Угол, меньши св й оего смежного н следовательно, меньший » прямого угла, называется осигрым. Основной теоремой, играющей большую роль уже у Евклида, является теорема о внешнем угле; из нез вытекает ряд важных следствий. ьник АВС Определение. Принадлежащие треугольнику углы ~, -,ь АВС ~ ВСА и ь, САВ называются углами этого лгреугольники; угл , ы смежные Ътим углам называются внешмими углами треугольника. ма 22 (Теорема о внешнем угле). Внешний угол треугольника больше каждого из д у Теорема ах не смежных с ним углов [этого~ треугольника, До к аз а тел ь ство.
Пусть угол эс САП является внешним углом треугольника АВС (черт. 231. Выберем точку О так, чтобы АО=:СВ. ф АСВ. Если бы Докажем сначала, что ~С САОо= бь . ' л бС САВ: — ~С АСВ, то, вследствие конгруентностн АС= — С АС = — СА и в силу аксиомы !И мы бы имели: «с АСО= чС САВ, В таком случае из теорем (4 и (9 следовало бы, что ~С АСО кон груентен углу, смежному с ~ АСВ. Тогда, согласно аксиоме Д(„ точка 1) должна была бы лежать на прямой СВ, что проти- Я Я воречит аксиоме ! Итак Черт. 23. ~С СА О нг'= ~С АСВ.
Не может также быть, чтобы ~.САП(~С АСВ; действительно (черт. 241, если бы ~ САО был меньше в точке С п и то откладывание внешнего угла Д. гнльг»рт Гл. и пять ггупп. аксиом является нспосредственным ~С САО) ~ АВС. Черт. 2б. Черт. 25. луче СА в,ту сторону, в которой лежит В, дало бы луч, проходящий внутри угла ~ АСВ„этот луч должен был бы пересечь отрезок АВ 1см. стр..
68! в некоторой точке В'. В таком случае в треугольнике АВ С внешний угол АСАР был, бы конгруентен углу бС АСВ', что, однако, как это было показано выше, не,возможно. Таким образом, д л д л остабтся одна только возможность ~С САП) ~. АСВ. То чно та к же полу чается, Черт. 24. что угол, вертикальный углу АССАР [черт, 24з~, больше угла ~ АВС, а вследствие конгруентности вертикальных углов и транзитивиости срзвнения величин углов, ' Таким образом, теорема полностью .доказана. Важными следствиями теоремы о внешнем угле являются следующие теоремы: Т е о р е м а 23, В каждом треугольнике против ббльшего углн лежит.ббльшзя сторона. Доказательство.
Отложим меньшую нз двух рассматриваемых сторон треугольника от общей вершины нз большей стороне 1черт. 251. Заключение .теоремы следует в таком случае из теорем 11 и 22, так как сравнение величии углов обладает транзитнвным свойством, Теорема 24. Треугольник с двумя равными углами должен быть равнобедренным. б б. слвдствия из хксном коигггвнтности 83 Это обращение теоремы 11 следствием теоремы 23 Из теоремы 22 легко получается дополнение ко второй теореме о конгруентности. Т еор ем а 25. Два треугольника АВС и А'В'С' конгруентны друг другу, если АВ:=А'В', ~СА=:=~, А', ~Савв~С'~"~, Т е о р е м а 26. Любой отрезок можно разделить пополам.
Доказательство. Отложим при отрезке АВ около его концов углы, конгруентные а и расположенные по разные стороны этого отрезка. На свободных сторонах этих углов отложим конгруентные отрезки: АС=ВО, Так как точки С и 0 лежат по разные стороны АВ, то отрезок СО пересекает прямую АВ в некоторой точке Е [черт. 26~. Предположение, что точка Е совпадает с точкой А или В противоречит теореме 22. Если предположить, что В ле- жит между А и Е ~черт. 26, справа1, то, в силу теоремы 22, ~ А ВР ( ~( ВЕО ( ~С ВАС а это противоречит построению. Точно та» же получается 'противоречие, если предположить, что точка А лежит между ВиЕ.
Таким образом, в силу теоремы 4, точка Е лежит на отрезке АВ. В таком случае углы ~АЕС и бС ВЕО, как вертикальные, конгруентны. б* ° 85 84 Гл. и пять ГРупп лксиом 8 7. четвяетля гггппл лксиом Итак, к треугольникам АЕС и ВЕО применима теорема 25, которая даат: АЕ = ЕВ. Непосредственным следствием теорем 11 и 26 является следующий факт, каждый угол можно разделить пополам, Понятие конгруентности можно распространить на любые фигуры.
Определение. Если точки А, В,С, О,...,К,Е, лежащие на прямой а, и точки Л', В', С', О',, К' | лежащие на прямой а, образуют такие два точечных ряда, что все соответствующие отрезки АВ и Л'В', АС и А'С', ВС и В'С',..., КЕ и К'Е конгруентны друг другу, то эти два ряда точек называЮт конгруентными друг другу; точки А и А', В и В',..., Е и Е называют прн этом соответствующими точками нонгруенглных лгочечных рядов.
Т е о р е м а 27. Если из двух конгруентиых точечных рядов А, В, , , К, Е и А', В', , К', О первый упорядочен так, что точка В лежит между А с одной стороны и С, О;..., К, Е с другой, точка С вЂ” между А, В с одной стороны и О,..., К, Е с другой и т. д., то точки А', В',..., К', Е должны быть упорядочены таким же образом, т, е. В' должно лежать между А' с одной стороны и С',О',..., К', Е с другой, С' — между А', В' с одной, О'. .. К,Е с другой и т.
д.(г11л О п р е д е л е н и е. Совокупность конечного числа точек называется фигурой; если все точки фмгуры лежат в одной плоскости, то фигура называется плоской. Две фигуры называются нонгруентными, если их точки можно попарно поставить в соответствие друг другу тзким образом, чтобы отрезки н углы, оказавшиеся при этом в соответствии, были друг другу конгруентны.
Конгруентные фигуры, как это видно из теорем 14 и 27, обладают следующими свойствами. Если в некоторой фигуре три точки лежат на одной прямой, то во всякой конгруентной ей фигуре соответствующие точки тоже лвжат на одной прямой, Расположение точек в соответственных плоскостях относительно соответственных прямых в конгруентных ф г ах одно и то же.
То же относится и для прямолинейных рядов соответствующих точек на соответству гц юг их прямых, Н ибо ее общая теорема о конгруентности на плоа л с г обскости и в пространстве формулируется следующим оразом: ! Теорема 28.Если (А,В,С,...,Е)и (А,В,С, „Е) суть две конгруентные плоские фигуры и точка Р находится в ится в плоскости первой из них, то в плоскости второй фигуры всегда найдатся точка Р' такая, что фигуры (А, В, С,..., Е, Р) и (А', В', С',..., Е, Р') будут также конгруентны, Если фигура (А, В, С, ..., Е) содержит хотя бы три точки не лежащие на одной прямой, то построение точки Р' может быть выполнено т о л ь к о о д н и м способом (гг~.
Теорема 29. Если фигуры (А,В,С,...,Е) и (А',В С',...,Е) конгруентны, то любой точке Р можно поставить в соответствие точку Р так, чтобы фигуры (А, В, С,..., 7., Р) и (А', В' С',..., Е, Р') оказались конгруентными. Если при этом фигура (А,В,С,...,Е) содержит хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то построение точки Р' может быть выполнено т о л ь к о одним способом.
Теорема 29 есть выражение того важного результата, что все факты коигруентности в пространстве и тем самым свойства движения в пространстве суть следствия пяти установленных выше аксиом коигруентности н а п р я м о й и н а п л о с к о с т и, рассматриваемых совместно с аксиомами групп ! и В(га~. $7. Четвертая группа аксиом: аксиома 'о параллельных Г!усть и есть некоторая плоскость, а — некоторая пря. мая в плоскости а, а А †'точка в этой же плоскости, лежащая вне прямой а, Проведем в плоскости и через точку А сначала прямую с, пересекающую прямую а, затем прямую Ь так, чтобы прямая с пересекала прямые а и Ь под равнымн соответственными углами.
В таком случае, как это легко 87' 86 ГЛ. !. ПЯТЬ ГРУПП АКСНОЬ! пятля ГРуппл лксиом заключить из теоремы о внешнем угле (теорема 22), п я- рямые а и Ь не имеют общей точки, т, е. в плоскости а через точку А, лежащую вне прямой а, всегда можно провести прямую, не пересекающую прямую а, Аксиома о параллельных гласит: 1Н (Аксиома Евклида), Оусть а — произвольная прямая, а А — точка, лвжащая вне вв; в я|аком случае в плоскости, определяемой лиямой а и точкой А, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекаюи|ей прямую а.
О п р е д е л е н и е. Из прелыдущего и на основании аксиоиы о параллельных мы знаем, что в плоскости, опре- деляемой прямой а и точкой А, существ) ет о д н а и то л ь к о о д н а прямая, проходящая через точку А и не пересекаю- щая прямой а; мы называем ез прямой, параллельной а, проходящей через точку А. Аксиома о параллельных !Н равносильна следующему требованию; Если две прямые а, и, лежащие в одной плоскости, не пересекают третью прямую, лежащую в той же плоскости, то они ие пересекаются также и между собою. Действительно, если бы прямые а, О имели общую точку А, то в той же плоскости возможны были бы лве прямые а, Ь, проходящие через точку А, которые не пересекали бы прямой с; это обстоятельство противоречит аксиоме о парал- лельных 1Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
