Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Через прямую и точку, не лежащую на ней, так же как через две различные прямые, имею1цие общую точку, всегда мо1кно провести плэскэсть и притом только одну [«1, ф 3. Вторая группа аксиом. Аксиомы порядка») Аксиомы этой группы определя1от понятие «между» и лелают возможным на основании этого понятия установить порядом точек на прямой, плоскости и в пространстве Точки прямой нахолятся в определйнных соотношениях друг с другом. Для описания этих соотношений большей чзстью пользуются словом «между». Аксиомы эги впервые подробно исследовал М. П а ш в своих «Лекяиях по новой геометрии» (М.
Р а в с Ь, «Чог!ев»пйеп ОЬег пе»еге Веэте!11е», Ье!рг!8, 1882). В частности, аксиома П принадлежит М. Пашу. П . Если точка В [черт. 1] [ь~ лежит между точ- 1' кой А и лючкой С, то А, В, С суть три различные точки прямой, и В лежит та«еже между С и А. Г Черт. !. 11,, для любых двух точек А и С [черт. 2) на прямой АС сущес1лвует по крайней мере одна л1очки В такая, что точка С лежит между Л и В л в Черт.
2. В . Среди любых трех точек прямой существуея1 не более одной гпо«1си, лежащей между двумя другими, Кроме этих аксиом порядка на прямой (линейных аксиом порядка), необхэдниз еще одна аксиома, относящаяся к порядку на плоскосл1и. О и р е д е л е н и е.
Мы рассматриваем на пряной а две точки А н В; систему двух точек А и В ыы называем отреэггом и будем ей обозначать через АВ или ВА. Точки, с лежащие иежду А и В, называ1отся «ночками отрезка АВ или точками, расположенными (лежащими) внуглри отрезка АВ; точки А и В называют- в ся «гонцами отрезка АВ. Все остальные точки прямой а называются точками, ле кащими вне Чер». 3. отрезка. В . Пусть А, В, С вЂ” глри л1очки, не лежищие на одной прямой, и а — прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну иэ точек А, В, С [черт.
3~; если лри этом прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она должна, пройти через одну иэ глочек отрезка АС или «ереэ одну иэ точек отрезка ВС. Гл. ь пять ГРупп АксиОм 4 В Черт. 6. Выражаясь наглядно, говорят. если прямая вхолит во внутрь треугольника, то она также выходит из треуголь ника. Тот факт что прямая а не может при этом пересечь в оба отрезка АС и ВС, может быть доказан ~ ~. ф 4.
Следствия из аксиом соединения и порядка Из аксиом групп 1 и П следуют теоремы: Теорема 3. Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна то~ка О, лежащая между А и С. Доказательство. Согласно аксиоме 1, вне прямой АС )черт. 41 существует некоторая точка Е, а в силу г с 0 л Черт. 4. Черт. 5. аксиомы Пв на прямой АЕ существует такая точка Е, что Е является точкой отрезка .4Е. В силу той же аксиомы и аксиомы П„на прямой ГС существует точка О, не лежащая на отрезке ЕС. Таким образом, на основании аксиомы П„ прямая ЕО должна пересечь отрезок А С в некоторой точке О.
Т е ор е и а 4. Среди трех точек А, В, С на одной и той же прямой всегда существует одна, лежащая между двумя другими. Доказа тельство в). Пусть А не лекит мевсду В и С и С не лежит между А и В. Проведем через точку О [черт. 5~, не лежащую на прямой АС, и точку В прямую и выберем — что можно слелать в силу аксиомы П,— на этой прямой точку О так, чтобы точка О лежала между *) Этодоказательствопринадлежит А, В в льду (А.
в' а14)). $ 4 следствия из Аксиом совдинвния и погялкв 61 В и О. Применив аксиому П4 к треугольнику ВСО и риной АО, мы получим, что прямые АО и СО пересекаются в некоторой точке Е, лежащей между С и О; таким же образом получа т б получается, что прямые СО и АО пересекаются в точке Е, лежащей между А и О, Если применить теперь аксиому П4 к треугольнику АЕО и прямой СЕ то окажется, что О лежит между А и Е, а применив ту же аксиому к треугольнику АЕС и прямой ВО, мы убедимся в том, что точка В ле кит между А и С. Теорема 5. Любые четыре точки на прямой можно обозначить буквами А, В, С, О так, чтобы точка, обозначенная буквой В, лежала как ме кду точками А и С, так г жду А и О, а точка, обозначенная буквой С, лекала и между и В О".
как между точками А и О, так и ме кду 4 и ). Доказательство, Пусть А, В, С, О суть четыре точки прямой л. Докажем сизчала следующее. 1, Если точка В лежит на отрезке АС, а точка С вЂ” на отрезке ВО, то точки В и С лежат и на отрезке АО (черт. 6~. Обозначим через Е некоторую точку, не лежа- ') Это предложение, отнесенное в первом (немецком! издании к аксиомам, было выведено Е.
Муром как следствие из остальных аксиом соединения н порядка (Е. Н, Мо осе, Тгапв. МА1Ь. Бос, 1902). См, также следующие относящиеся сюда работы В е6л е на (Ч е Ь! е и, Тгапв. Мв1Ь.Еос.,1904) и Ш в е- йце (5сЬ тге11х ег, Ащег!свп Тонгп., 1909). Сюда же примыкает исследование о независимости системы л н н е й н ы х аксиом порядка Е.
фон У н гни г тон а (Е. у. Н н П1)п Я1о и, «А пе4г ве1 о1 ров1н!в1ев 1ог Ье1мсеппевз к41Ь ргоо1 о! сотр1е1е 1пберепбепсе», Тгвпь Мвйь $ос., 1924, см. также Тгапв. Мами Еос., 19!7). Гл. и пять ГРупп аксиом 5 4 следствия из аксиом совдиняния и погадка 88 щую на прямой д, и выберем точку Е так, чтобы Е ле. жала между С и Е'; найти такие две точки мы можем в силу аксиом 1 и И,. Многократно используя аксиомы И, и И„мы найдвм, что отрезки АЕ и ВЕ пересекаются в некоторой точке О и, далее, что прямая СЕ пересекает отрезок 00 в некоторой точке Н !'], Таким образом, Н лежит на отрезке ОЬР', а Е, в силу аксиомы И„, лежит вне отрезка АО.
Поэтому, в силу аксиомы И„прямая ЕН пересекает отрезок АВ, т. е. С лежит на отрезке АВ !а]. Анало~ично этому доказывают, что точка В также лежит на этом отрезке. 2, Если точка В ле1кнт на отрезке АС, а точка С— на отрезке АВ, то точка С лежит также на отрезке ВО, а точка  — на отрезке АО. Выберем некоторую точку О, ле кащую вне прямой д, и еще олпу точку Е так, чтосы 0 лежала на отрезке ВЕ. В силу аксиом !а и И„прямая СЕ не пересекает ни отрезка АВ, ни отрезка ВО, и, следовательно, в силу аксиомы И„ она не пересекается также и с отрезком АО. Но так как точка С лежит на отрезке Ао, то прямая СЕ встречает отрезок 00 в некоторой точке Н.
Прямая ЕН пересекает отрезок ВО, опять-таки в силу аксиом И, и И '!э], Остающаяся часть утверждения 2 следует теперь из утверждения 1. Пусть теперь нам даны какие-либо четыре точки на прямой. Возьмвм какие-либо три из этих точек и обозначим буквой О ту из них, которая, в силу теоремы 4 и аксиомы И„лежит между двумя другими; эти же две точки обозначим буквами Р и 77; иаконеп, последнюю из четырех заданных точек обозначим через Л. В таком случае оказывается, опять-таки в силу теоремы 4 и аксиомы И„ что точка Л может занимать одно из следующих пити положений: 77 лежит межлу Р и В, Р лежит между 77 и Л, 3 лежит между Р и 77 и в то же время: или 0 лежит между Р и о, или В лежит между Р и или Р лежит между Я и Л. В случае олного из четырйх первых положений применимо утверждение 2, в случае последнего положения применимо утвержление 1 !ы].
Таким образом, теорема 5 доказана. Т е о р е м а 6 (обобщение теоремы 5). Как бы ни было расположено конечное число точек на прямой, их можно обозначить буквами А, В, С, О, Е, ..., К !черт, 7] так, чтобы точка, обозначенная буквой В, лежала межлу точ- Черт. 7. кой А с одной стороны и точками С, О, Е, , К .с другой, далее С вЂ” между А и В с одной стороны н 77, Е, ..., К с лругой, 0-между А, В, С с одной стороны и Е, , К с лругой и т.
д, Кроме этого обозначения существует ещй только обратный способ обозлачения К,, Е, О, С, В, А, облалающий тем же свойством !ы]. Теорем а 7. Между любыми двумя точками прямой существует бесчисленное множество точек Ра]. Теорема 8. Каждая прямая а, лежащая в плоскости а, разбивает точки плоскости а, не лежащие на этой прямой, на лве области, обладающие следуЮщим свойством: каждая точка А одной из областей вместе с каждой точкой В лру- Я гой области определюот Черт. 8. отрезок АВ, внутри которого лежит одна точка прямой а, а любые две точки А и А' одной и той же области определяют отрезок, не содержащий ни олной из точек прямой а !та].
Оп релел ение. Мы булем говорить, что точки А и А' !черт. 8] лекат в алое!Госгли а ло одну и глу агсе сгло- Гл. 1, пять ГРупп АксиОм рону от прямой а и что точки А и В лежат в плоскости а по разные стороны от прямой а. Определение. Пусть на прямой а заданы четыре точки А, А', О, В <[черт. 9~ так, что точка О лежит между А и В, но не лежит межлу А н А'; в таком случае чы будем говорить, что точки А, А' лежат на пря.ной а ло одну и ту же сторону от точки О и что точки А, В лежат на прямой а по разные стороны от точка О. Совокупность всех точек прямой а, ле. Л А в Ю Черт. 9. жзщих по одну и ту же сторону от точки О, называется также полупрямой или лучом, исходящим из точки О.
Таким образом, каждая точка прямой лепит ей на два луча [><~. О и р е д е л е н и е. Система отрезков АВ, ВС, СО...,,Кг называется ломаной, соединяющей точки А и г.; зта ломаная обозначается короче так: АВСО... К>'.. Точки, лежащие внутри отрезков АВ, ВС, СО, ..., К<'., а, равно и точки А, В, С, О, ..., К, г'. называются точками ломаной. Если точки А, В, С, О, ..., К, В все находятся в одн>й плоскости и кроме того точка г'. совпадает с точкой А, то такая ломаная называется многоугольником и обозначается так: многоугольник АВСО...К. Отрезки АВ, ВС, СО, ..., КА называются сторонами многоугольяика, а точки А, В, С, О, ..., К вЂ” вершинами многоугольника.
Многоугольники, имеющие 3, 4, ..., и вершин, называются треугольникали, чев>ыреугольниками,..., и-уголь- пиками, О и р е д е л е н и е. Если все вершины многоугольника различны, ни одна из вершин многоугольника не лежит нз его стороне и никакая пара его сторон не имеет общей внутренней точки, то многоугольник называется простым.
ф 4. следствия из АНСиОм СОЕДИНеНИЯ И ПОРЯДКА 65 С помощью теоремы 8 мы приходим теперь без особых трудностей к следующей теореме: Теорема 9. Всякий простой многоугольник, лежащий в плоскости а, разбивает точки плоскости а, не принадлежащие мн<>гоугольннку, иа две области — внутреннюю и внеигнюю, — обладающие следующими свойствами: если А есть точна внутренней области (внутренняя точка), а  — точка внешней области (в н е ш н я я т о ч к а), то всякая ломаная, лежащая в плоскости а и соединяющая точки А и В, имеет по крайней мере одну общую точку с многоугольником; если же А и А' суть две внутренние точки многоугольника, а В и В' — его внешние точки, то, наоборот, всегда существуют в плоскости а ломаные, соединяющие точку А с А' и точку В с В' и не имеющие никаких общих точек с многоугольником.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
