Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Теоретико-множественная точка зрения, в противоположность аксиомам ! †!Ч групп, лежит здесь в самом фундаменте. Но и более безобидная, казалось бы, аксиома Архимеда тоже предполагает понятие о бесконечном множестве, В самом деле, мы берви какой-то отрезок А А, и какой- то отрезок В,ВР Мы начинаем затем строить на луче А,А, последовательно точки А, А„АЕ, Ам так, что А,А„АААА, ААА4,... конгруентны А,А,.
Мы утверждаем, что в построенной последовательности найдйтся такая точка А„, что отРезок АРА, пРеазойдэт ВЕВИ В каждом отдельном случае нам понадобится, таким образом, лишь конечное число точек А„А„..., А,. Но когда мы формулируем аксиому в общем виде, то мы должны охватить асе возможные случаи, а среди них будут встречаться случаи со сколь угодно большими номерами п. Следовательно, в общей формулировке аксиомы нам нельзя иметь в виду лишь часть последовательности АР, А„ А„ А„ .
, а приходится брать эту бесконечную последовательность целиком и утверждать, что в ней находятся точки А„ с требуемым свойством ААА„ ) В ВР Мы не сможем, таким образом, формулировать аксиому Арки- меда, не имен понятия о бесконечной последовательности. Возникает вопрос — в каком смысле существенно, что аксиомы ! †!Ч, в противоположность аксиомам Ч, не требуют теоретико-множественных понятий? Развивая геометрию на основе аксиом ! †!Ч, иы можем опираться на законы формальной логики, применяя их только к фактически рассматриваемым в доказательствах все~да конечным, вполне обозримым конструкциям. Все рассуждения, благодари этому, носят совершенно прозрачный характер, и у нас не возникает ни малейшего повода к каким-либо неясностям.
Напротив, принимая аксиомы Ч, мы выну4кдены существенным образом ииеть в поле зрения и бесконечные множества. И это вносит уже некоторую неясность принципиального характера: мы хотим обосновать геометрию, а между тем опираемся на теорию множеств, которая сама нуждается в обосновании, как и всякая математическая теория, Возникает необходимость расширить круг исследования, и во всяком случае та полная прозрачность, свойственная конечным конструкциям, теперь исчезает. Мы не ставим себе целью входить более глубоко в эти вопросы, но и сказанное выясняет принципиальный харак- зг п, к. Рдшевский 33 еосновьиия теометгии» Гильвеетх тер того ослояснения в основах геометрии, которое вносится аксиоиаии непрерывности Ч и Ч .
1 2. Крупнейшим досглижепием Гальбераа а обласгли логического анализа геометрии явилось пап раз гпо что оп обнаружил возможность развить геометрию ао всем существенном, не пользуясь апсиомами иепрернвиосгпи. Геометрию, лишенную аксиом непрерывности, иы будем называть неархимедовой геометрией. Именно ей преимущественно и посвящена книга Гильберта, как иы убедиися из послелующего обзора солержания ь), ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ КНИГИ.
ГЛАВЫ ТРЕТЬЯ И ЧЕТВЕРТАЯ: НЕАРХИМЕДОВА МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Первая глава содержит аксиоиатику, о которой ин уже говорили, а также ряд теореи, наиболее непосредственно вытекающих из аксиом. Необходимо обратить внимание читателя на всю важность овладения доказательствами этих теореи. Весьма нетрудно просмотреть и даже запомнить аксиомы гильбертовой систеиы, но это ничего не даст для иатематического развития, если не научиться фактически с этими аксиомами оперировать, т, е. строго логически доказывать теореиы на основании этик аксиом, Изложение Гильберта от излания к изланию изиенялось в сторону польшей доступности и полноты. Однако и теперь в нем ииеется большое количество пробелов в доказательствах, заполнить которые предоставляется читателю. Между тем, такое положение вещей сильно снижает педагогическую ценность книги, Дело не только в тои, что некоторые из опущенных доказательств достаточно трудны.
Еще более важно лругое: начинающий читатель, даже построив доказательство, вряд ли сможет вполне уверенно отдать себе отчйт, безукоризненно ли его доказательство с логической стороны, или в нйи где-нибудь проскользнуло ") Сам автор употребляет термин «неархямедова геометрия» обычно в несколько более узком смысле: в смысле такой гео.
иетрви, где аксиомы непрерывности не только не нспользуются, но и заведомо неверны. допущение, заимствованное из наглядного прелставления. Поэтому релактор и переволчик поставили себе целью восполнить пробелы изложения посредством примечаний, которые приложены в конце книги (стр. 403 — 488). В результате можно считать, что доступность изложения приближается теперь к уровню учебника для университетов. О второй главе сочинения Гильберта, которая посвящена логическии проблемам, возникающии в связи с аксиоматикой, иы скажеи несколько позже, а сейчас переходим от первой главы прямо к третьей и четвертой.
Уже те основные теоремы, которые доказываются в первой главе (теореиы 1 — 31), не зависят от аксиом непрерывности и относятся, такии образом, к неархимеловой геометрии. Так же обстоит пело в главах третьей и четвйртой. Однако по сравнению с первой главой злесь имеется весьма существенное осложнение. Целью третьей главы является введение поня~на о пропорциональности отрезков н, в частности, обоснование теории подобия в неархимедовой геометрии; в четвертой же главе строится неархимедова теоуия площадей, В обычном изложении эти задачи решаются путям привлечения в геометрию числа. А ниенна, каждой паре отрезков АВ, СО хорошо известныи способом относится действительное число, выражающее их отношение. Поделив один отрезок, наприиер АВ, на и равных частей, иы откладываем отрезок А — — последовательно до тех пор, пока не получии отрезка, п превосхолящего Ст'.».
Пусть это случится впервые, когда отрезок — отложен и+ 1 раз, Тогда можно доказать, АВ п что — при и оо стремится к определйнноиу пределу; т+! СЕ> этот прелел и называется отношением — . Мы андии, что это построение существенно предполагает аксиоиуАрхимеда:внеархииедовойгеометриивозможнотакое положение вещей, что сколько бы ин ни откладывали отрезок А —, мы никогда не превзойдем отрезка СО, а следовал ' тельно, не сможеи опрелелить и числа гп+1.
Возиожно 3 л. гнльеерт п. к. еашявскнй ,35 «основания ГБОмвтРии» Гнльвегта также, что, как бы велико и мы ни брали, — будет АВ и больше отрезка СО, так что т+! всегда равно 1, и в Сул качестве отношения йо придатся принять нуль, хотя отрезок СО не вырождается в точку. Таким образом, в неархимедовой геометрии мы не можем характеризовать отношение отрезков числом ио обычному способу. Тем самым мы теряем возможность говорить о пропорциональности отрезков в обычном смысле слова (равенство отношений), и теория подобия становится беспредметной.
Невозможным становится также и измерение. площадей, так как понятие об отношении плов«адей рушится по совершенно аналогичным причинам. Кроме того, выражение, например, площади треугольника полупроизведениеи основания на высоту теряет смысл уже потому, что у нас отсутствуют численные выражения для основания и высоты (в обычном изложении — это отношения отрезков основания н высоты к отрезку, принятому ва единицу длины). Гильберт обходит эту трудность весьма интересным и, главное, естественным и геометрнчныи методом.
Он обнаруживает, что и нет необходимости опираться в геометрии на понятие числа; что средствами самой геометрии можно создать исчисление (исчисление отрезков), которое предоставит нам те же удобства, что н арифметика действительных чисел. Прежде всего, в 3 13 это исчисление дается в абстракт. ном виде.
Рассматриваются некоторые объекты — Гиль- берт называет нх числами комплексной числовой системы. На эти объекты накладывается ряд требований, перечисленных в аксиомах. А именно, аксиомы 1 — 12 устанавливают для этих'обьектов' операции сложения и умножения (н обратные им) с обычныии свойствами. При этом, не нужно, конечно, операциям сложения и умножения пытаться придавать какой-либо наглядный, содержательный смысл. Сложение †э просто некоторый закон, по которому каждой паре объектов сопоставляется 'некоторый третий объект; умножение в это закон ана- логичного характера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
