Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так же легко получается и обратное утверж- дение, что аксиома о параллельных следует из указанного требования. Аксиома о параллельных !Н есть плоскостная аь- сиома. Введение аксиомы о параллельных значительно упро. щает основания геометрии и облег чает ей по- строение. Именно, если мы к аксиомам конгруентности присоеди- ним аксиому о параллельных, то легко придем к известным предложениям: Теорема 30, Если две пара|тельные прямые пересе- каются третьей прямой, то образующиеся при этом соответ- ственные и накрест лежащие углы конгруентны, и обратно, из конгруентности соответственных и.
накрест лежащих углов следует параллельность прямых. Т е о р е м а 31. Сумма углов треугольника равна двум прямым л . Определение, Пусть М есть некоторая точка в плоскости а; совокупность всех точек А, лежащих в плоскости а, для которых отрезки МА конгруентны друг другу, называется ок жность ся окружностью; точка М называется центром окружности. С помощью аксиом групп!П и!Н из этого определения легко вывести знакомые теоремы об о ру ок жности, в частностй теорему о том, что, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, теорему о конгруентности всех углов, вписанных в окружность и опирающихся на одну и ту же хорду, теорему об углах вписанного четырехугольника $8.
Питая группа аксиом: акеаомы непрерывноетп Н, (Аксиома измерения или аксиома Архимеда. п|огда на прямой АВ существует конечное число то- А А А...А, таких, что отрезки АА„А,Аг, чвк А А, ..., А А конгруентны оп|резку' Сгу и я|о|на л а' ''' л-1 л лежит между А и А„(черт, 271. л 'в, в.,в л, и п и, | л Черт. 27.
На(Аксиома линейной полноты). То|ни пряной образуют сися|ему, которая при сохранении линвйного порядка (п|еорема 6), первой аксиомы о конгруентности и аксиомы Архимеда (т. е. аксиом 1, г, !1,. „,) допускает никакого расширения, т. е. к это с с й' с и с т е м е ) Относительно обратного вопроса — насколько зта теорема может заменить собою аксиому о параллельных, — см. Ри ,— см,п ямечанне в канне гл. 11. В 18. Гл.
!. пять ГРупп АксиОм з 8. пятая ГРуппА Аксиом точек невозможно прибавить ещй точки так, чтобы в системе, образованной первоначаль- ными и добавленными точками, выполнялись все приведйнные аксиомы. Сохранение всех аксиом, о котором идйт речь в этой аксиоме, надо понимать так: посл е расширения все аксиомы должны сохранить свой первоначал ьныИ смысл, т. е. соотношения между точками, существовавшие до расшире- ния, а именно, первоначальный порядок и первоначальная конгруентность отрезков, после расширения нигде не должны быть нарушены; например, точка А, лежавшая перед расширением между точками В и С, должна и после рас- ширения лежать между В и С1 отрезки, которые до рзс- ширения были друг другу конгруентны, должны остзться конгруентными и после расширения. Выполнимость аксиомы полноты сущест- венно обусловлена тем, что в ней среди ,аксиом, сохранение которых требуется, на- ходится аксиом з Архимеда, Действительно, можно показать следующее: к системе точек на прямоИ дл > лля которой выпОлняются зксномы 1, „П и Ш„всегда можно добзвить ещй точки таким образом, чтобы в системе, о разованной первоначальными и добавленными точками, также выполнялись упомянутые аксиомы; это значит, что аксиома полноты, в которой требуется сохранение всех ука- занных аксиом, за исключением аксиомы Архимеда, или соответствующей ей аксиомы, заключает в себе противо- речие, Обе аксиомы непрерывности являются лил«Изыми акси- омами [»4~ Существенно, что из аксиомы линейной пол- н о т ы вытекзют следующие более общие предложения.
Теорема 32 (Теорема полноты")), Элементы геометрии (т, е. точки, прямые и плоскости) образуют си- стему, которая при сохранении аксиом соединения и порядка, ») В предыдуших изданиях эга теорема рассматривалась как аксиома, Указание того. что достаточна аксиома линейной полноты, было сделано П, Бернайсом (Р. В е г и а у «). первоИ аксиомы конгруентности и аксиомы Архимеда не допускает никакого расширения за счет новых точек, прямых и плоскостей; при сохранении же вс е х аксиом элементы геометрии и подавно образуют систему, не допускающую подобного расширения. Слова «расширение» и «сохранение» надо при этом понимать тзк же, как и в аксиоме 41». Д о к а з а т е л ь с т в о, Элементы, которые существовали до расширения, мы будем называть стары и и элементами, а те элементы, которые добавились при расширении, — н овы м и.
Добавление новых элементов влечзт за собою добавление новой точки И, Согласно аксиоме 1а, существуют четыре старые точки А, В, С, О, не лежащие в одной плоскости. Обозначения можно при этом выбрать так, чтобы точки А, В, А) не лежали на одной прямой„Плоскости АВА4 и АС1) не совпадают друг с другом и кроме общей точки А имеют, согласно аксиоме 1», ещй и общую точку Е. Точка Е ие лежит на прямоИ АВ, так как в противном случае точка В лежала бы в плоскости АС):). Если Е является новой точкой, то в старой, плоскости АСО лежит новзя точка Е; если же Е является старой точкой, то новая точка М ленсит в старой плоскости АВЕ.
Во всяком случае, таким образом, оказывается, что какая-то новая точка лежит в какой-либо старой плоскости. Черт. 28. В старой плоскости существует старый треугольник ЕОН4 а на отрезке ЕО старая точка 1 '(черт, 281. Соединим новую точку Е с точкой А Тогда, согласно аксиоме П, прямая П. пересекает либо прямую ГН, либо прямую бй в точке К, если только новая точка Е не лежит на 91 Гл. 1. пять ГРупп лксном 9 8, пятля ггуппл лксиом прямой гн. Вели К есть новая точка, то новая точка А' лежит на старой прямой РН или сгН; если же К есть старая точка, тоновая точка Е лежит на старой прямой 1'А'. Следовательно, все три предположения противоречат аксиоме о линейной полноте, Таким образом, надо отказаться от прибавления новой точки в старой плоскости и, тем самым, вообще от добавления новых элементов.
Теорему о полноте можно формулировать еще более резко; сохранения некоторых из упомянутых в ней аксиом не требуется. Однако для справедливости этой теоремы является, например, существенным, чтобы в ней среди аксиом, сохранение которых требуется, была аксиома 1и Действительно, можно показать следующее: к системе элементов, в которой выполняются аксиомы 1 — 7, всегда можно добавить ец!0 точки, прямые и плоскости так, чтобы в системе, образованной старыми и новыми элеме1пами, выполнялись указанные аксиомы, исключая аксиомы 1,: иными. словами, теорема полноты, в,условии которой от. сутствовала бы аксиома 1, илн равносильная ей аксиома, заключала бы в себе противоречие[за~. Теорема полноты не является следствием а к с и о м ы А р х и м е да.
Действительно, одна только аксиома Архимеда, рассматриваемая совместно с аксиомами 1 — 1У, недостаточна, чтобы по;газать, что наша геометриз тождественна с обычной декартовой аналитической геометрией (см. 9 9 и 9 12). 'Г(апротив, присоединение аксиомы полноты — хотя в самой формулировке этой аксиомы ничего не говорится о понятии сходимости, — лайт возможность доказать существование границы множества, светает.
ствующей сечению Дедекинда, и теорему Больцано о существовании точки сгущения (предельной точки), чем и доказывается тождественность нашей геометрии с геометрией Декарта, С помшцью предыдущего исследования требование непрерывности разложено на две существенно различные составные части, а именно: на аксиому Архимеда, на которую возлагается задача подготовить требования непрерывности, и на аксиому полноты,.которая слчжнт а а-.
кл1очительным звеном во всей системе аксиом"). Во всех дальнейших исследованиях мы будем существенно опираться только на аксиому Архимеда, не требуя, вообще говоря, выполнения аксиомы полноты, ") См. также замечания в конце 9 17, а также мой доклад о понятии числа, напечатанный здесь в качестве добавления У1, (Этот доклад был опубликован в Вег!сЫе бег Вен1зспеп Ма!Ьеша!!Кег-Уеге1п!Хнпй, 1900.) Исследование о равенстве углов прн основании равйобедренного треугольника приводит нас к двум дальнейшим аксиомам непрерывности; см. добавление 1! к втой кинге, стр. 202, а также мою статью «1/еЬег деп За1х гоп бег С!е1еЬЬе!! бег Вазичанхе! Пп 91е!сйзспепхййеп ()ге!есйм Ргогее01пйз о( 1ЬеЕопйоп Ма!Ьета!!са! 8оае1у, г.
ХХХУ, 1903. 93 Г Л. А .Б А В Т 0 Р А Я' $9. непготнвогячивость лксиом НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И ВЗАИМНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ 9 9. Непротиворечивость аксиом ксиомы пяти групп, установленных в первоИ главе, не противоречат друг другу, т. е. с помощью логических умозаключениИ из ннх нельзя вывести положения, которое противоречило бы какой-либо одной из них, Чтобы убедиться в этом, мы образуем из деИствительных чисел систему вещей, в которой будут выполняться все аксиомы пяти групп, Рассмотрим сначала поле Я, образованное алгебраическими числами, которые получаются, если исходить из 1 н конечное число раз применять четыре арифметических действия — сложение, вычитание, умножение, деление — и пятую операцию: ()/1+ма(, где ы означает число, ранее полученное при помощи указанных пяти операций.
Мы рассматриваем пару чисел (х, у) поля Я как точку, а отношение (и:тита) трвх чисел поля Я, если только и и ч/ оба не равны нулю, как прямую; далее, пусть равенство их+пу — , 'и/=-0 означает, что точка (х,у) лежит на прямой (и:и:и/); тогда, как легко видеть, аксиомы 1,, н 11/ оказываются выполненными ['а~. Числа, принадлехгащие полю Я, деИ- ствительны; принимая во внимание, что этн числа могут быть упорядочены по своей величине, мы легко можем так установить отношения порядка для наших точек и прямых, чтобы выполнялись также и все аксиомы группы 1! (аксиомы порядка). Действительно, пусть (х„у,), (х„у,), (х, у ),... суть какие-то точки на некоторой прямой; а з будем считать, что они располагаются именно в этой последовательности на прямоИ, если числа хо х„х,;...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
