Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Согласно теореме 38, в четырбхугольнике ъ'ъ четвбртый угол также лолжен быть прямым. Таким образом, вторая теорема Ле<кандра доказана. ф ! 1. Независимость акеяом конгруентяоетя Из предложений, касающихся независимости аксиом конгруентности, мы, как особо важное, докажем следующее: аксиома Ш, не может быть получена путбм логических умозаключений из остальных аксиом 1, П, П1<„4, 1Ч и' Ч. Причем точки, прямые и плоскости обыкновенной геометрии за элементы некоторой новой пространственной геометрии н определим откладывание углов так же, как в обыкновенной геометрии, хотя бы как это было изложено в ф 9; откладывание же отрезков мы определим иным способом. Пусть точки А, и А, в обыкновенной геометрии .имеют коорлинаты х„ у„ х, и хъ, у>, х,. За ллину отрезка .А,А мы примем положительное значение корня ) (х, — х,+у, — уъ)ъ+(у, — у,)',+(х, — х,)' н отрезки А,А> и А,'А' назовбм конгруентиыми, если они имеют в указанном смысле одинаковую ллину:-.
Непосредственно ясно, что в установленной таким образом геометрии пространства выполняются аксиомы 1, П, Ш, ъ „ !Ч, Ч (и, кроме того, теоремы 14, 15, 16, 19 и .21, которые были доказаны с помощью аксиомы Ш ). Чтобы показать, что аксиома Ш, в этой геометрии также выполняется, рассмотрим произвольную прямую и выберем на ней три точки А„ А„ А> гак, чтобы точка Аъ лежала между точками А, и А>. Пусть точки х, у, х пря- % 1!.
нвзлвисимость лксиом конгггаитности 105 мой а даны уравнениями х=М+).', у=ру+р), х =ъ!+ъ', » в которых Р является параметром, а Ъ, ), р, р, означают некоторые определбнные постоянные. Пусть 1„!ъ(с, с<), ! ((! ) являются значениями параметра, соответствующими точкам А„А>, А,. Тогда длины отрезков А,Ам А>А>, А,А> выражаются так: (1, — 1,) ()" () + й)'+ Ф+" «,— <<1<'<<-»»»<-»'ЕР », — »< 1<' «+»» <- »' -< — ' и, следовательно, сумма длин отрезков А,А> и А,А, равна длине отрезка А,А,.
Таким образом, в данной геометрии имеет место аксиома Ш,. Аксиома П1, для треугольников в этой геометрии не всегда выполняется. В качестве примера рассмотрим в плоскости а=О следующие четыре точки: точку О с координатами х=О, у = О, ъ А ъ ъ х=1, у=О, ъ В > ъ х= — 1, у=О, 1 ъ С ъ ъ !' 2 Отрезки ОА, ОВ и ОС имеют длину, равную единипе. В прямоугольных треугольниках АОС и СОВ (черт, 38~ мы, таким образом, имеем ~г < конгруентности: г<б ! ~С АОС= ~С СОВ, ОА= ОС, ОС= ОВ, а< ву! а<Ф ж(а< Однако, вопреки аксиоме Ш>, углы ~НОАС и Л~ОСВ не конгруентны. Вместе с тем, в этом примере не выполняется также и первая теорема о коигруентности, так !Об гл. м.
непРОтиВОРечиВОсть и незлвисимость АксиОм как длина отрезка АС равна 2 — = длина же от- 2 )« Г 2 резка ВС равна )г 2+ =. Для равнобедренных гре- 1' 2 угольников АОС и СОВ не имеет места также и теорема 11. Примером геометрии на плоскости, в которой выполняются все аксиомы, за исключением аксиомы Ш, служит следующая. Пусть в некоторой плоскости а все понятия, встречающиеся в аксиомах', исключая конгруектности отрезков, определены обычным способом; за длину же отрезка примеч длину его проекции (определенной обычныч образом) на плоскость р, образующую с плоскостью а острый угол. В 12. Независимость аксиом Непрерывности (иеярхямедовн геометрия) г(тобы показать независимость аксиомы Архимеда Ч„ мы должны построить геометрию, в которой выполнялись бы все аксиомы, за исключением аксиом Чн), которые не должны выполняться.
Для этой пели мы образуем область () (!) всех тех алгебраических функций переменной 1, которые получаются из ! с помощью применения пяти операций: сложения, вычитания, умножения, деления и операции ~)/!+ма(; при этом м означает некоторую функцию, которая уже была получена с помощью применения этих пяти оперений. Множество элементов Я(!), точно так же, как и множество элементов () в 8 9, — счетно. Все же пять операций однозначны и выполнимы в действительной области; поэтому область Я (!) содержит только однозначные действительные функции переменной А ») ?К.
Веронезе з своем глубоком нсслевовання «Основы геометрии» (О. Ч е г оп ез е, бгнпогяйе 4)ег С«еоте!г!е, переведено на неменквй язык А. 8с)герр'ом, (.е!рг!д, !894) также сделав попытку построить геометрию, которая была бы независима от зксвомы Аохнмела. б 12 нгзкяисимость Аксиом непзезывности !07 Пусть г — некоторая функция, принадлежащая области В(!); так как функпия с является алгебраической функцией переменной г, то она может обращаться в нуль только лля конечного числа значений ! и, следовательно, для доста- точно больших положительных значений ! функция с либо всб время положительна, либо все время отрицательна. Будем теперь рассматривать функции, принадлежащие области Я(!), как некоторого рода комплексные числа, причЕм последние мы будем понимать в смысле, который будет указан в следующем, 13- и параграфе; очевидно, что в определенной таким образом комплексной числовой системе имеют често все обычные Вычислительные правила [4з1, Далее, пусть а и Ь вЂ” два каких-то отличных друг от друга числа этой комплексной числовой системы.
Мы будем говорить, что а больше или меньше Ь (это обозначают так: а ) Ь или а к, Ь), в зависимости от того, будет ли разность с= а — Ь, рассматриваемая как функция переменной постоянно положительна или постоянно отрицательна для достаточно больших положительных значений 1, При таком соглапгеиии числа нашей комплексной числовой систеиы можно упорядочить по их величине, подобно тому, как это делают для действнтельных чисел; как легко видеть, для чисел нашей комплексной системы справелливы также те- оремы, согласно которым ' неравенство останется справед- ' ливым, если к обеич его частям прибавить одно и то же число или обе его части умножить на олно и то же по. ложительное число. Пусть и — некоторое произвольно выбранное, положительное целое число.
В таком случае для чисел а и ! области ()(!) наверное имеет место неравенство и с. 1, так как разность и — 1, рассматриваемая как функция переменной Г, для достаточно больших положительных значений 1, очевидно, всегда будет отрицательна. Эти факты мы выражаем следующими словами: числа 1 и ! области Ы(!), которые оба больше нуля, обладают тем свойством, что любое число, кратное первому из них, всегда меньше второго, С помощью комплексных чисел ноля Я(!) Мы теперь построим геометрию точно таким же образом, как это было 108 гл.
и. нвп»отивогвчивость и нязлнисимость лксиом сделано в 9 9, когда в основу построения было положено поле Я алгебраических <исел: мы будем рассматривать систему трях чисел (х,у, г) поля й(!) как точку, а отношение каких-либо четырях чисел (и!виги:г) поля ()(г), три нз которых и, п, тв одновременно не равны нулю,— как плоскость. Далее, пусть выполнение равенства их+ пу.+тэг+ г= 0 выражает, что точка (х, у, г) лежит на плоскости (и:тытв!г); примем, наконец, за прямую линию совокупность всех точек, лежащих в двух йлоскостях, у которых отношения и:и:т» различны.
Если мы теперь установим порядок следования элементов и правила откладывания отрезков и углов, как это было сделано в 9 9, то перед нами окажется яиеархимедова» геомеглрия, в которой, как показывают разобранные нами ранее свойства. комплексной числовой системы ()(1), выполняются все аксиомы, за исключением аксиомы непрерывности. Действительно, мы можем сколь угодно раз подряд отложить отрезок 1 на отрезке 1, не перешагнув при этом через конец отрезка й этот факт противоречит аксиоме Архимеда.
Независимость аксиомы полноты Чэ от всех предшествующих аксиом 1 — !чг, (у! обнаруживает первая установленная.в 9 9 геометрия, так как в этой геометрии аксиома Архимеда выполняется, Имеют принципиальное значение также неархимедовы и вместе с тем неевклидовы геометрии, и особо большой интерес представляет та роль, которую играет аксиома Архимеда при доказательстве теоремы Лежандра, Исследование, которое предпринял по моей инициативе М, Д э н «) относительно этого вопроса, привело к полному его выяснению.
В основе исследований Дэна лежат аксиомы 1 — 1!1, Только в конце работы Дэна аксиомы порядка 11 были представлены в более общем виде, чем в данном изложении, с целью включить в поле исследования также и ри- «) М. (у е Ь п, (!1е беяепагеэсйеп 5а1ге апег Фе рдпке!эапше пп (!ге!ес!г, МаФ. Апп. т. 55, 1900. 6 12 нвзлвисимость лксиом няпгггннностн 109 манову (эллиптическую) геометрию 1«э!. Эти аксиомы у Дэна сформулированы, примерно, так: Четыре точки А, В, С, 1) прямой всегда распадаются на две пары А, С и В, )9 так, что точки А, С разделяют точ- В !9 об атно.
Любые пять точек прямой можно обочкн. А С значить буквами А, В, С, О, Е так, чтобы точки. !9 были были разделены точкаии В,)9 н В,Е, точки А, разделены точками В, Е и С, Е и т. д. На основе этих аксиом 1 — И!, т. е. не пользуясь не- прерывностьЮ, М. Д э н доказывает далее обобщянную вторую теорему Лежандра (теорему 39): Если в каком-либо одлом треугольнике сумма углов больше, равна илц меньше двух пр ямых то это же имеет место относительно любого треугольника"). Д лее в цитированном месте доказывается следующее а 35); дополнение к первой теореме Лежандра (теорема 3 ); Если отбросить аксиому Архимеда, то нз предположения, что через одну точку можно провести бесчисленное множество пр ямых параллельных данной, отнюдь не вы текает что сумма углов в треугольнике $ н й меньше двух прямых, Более того, с одно стороны, существует геометрия (нележандрова геометрия), в которой через.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
