Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 16
Текст из файла (страница 16)
или числа у„у„уа...,, взятые в этой последовательности, либо постоянно убывают, либо постоянно возрастают; далее, чтобы убедиться в выполнении аксиомы 11, достаточно установить, что все точки (х,у), для которых их+ау+па меньше нуля, лежат по одну сторону от прямой (и:и:и/), а все точки (х, у), для которых их+пу+ш больше нуля,— по другую сторону от этой прямой.
Легко убедиться в том, что это правило согласуется с предыдущим условием, определяющим последовательность точек на пря/ху / '/ моИ '(ат1. Отклалывание отрезков и углов выполняется известными Г/аз/ уже из аналитической геомет- /ха/ рии способами. Преобразование вида В/Иа/ Е//Ф х'=х+и, у =у-(-д давт параллельный перенос отрезков и углов, а преобразо- вание — зеркальное отображение относительно прямоИ- у= О. Обозначим, далее, точку (О, О) буквой О, точку (1, О)— буквой Е и произвольную точку (а, д) — буквой. С (черт. 29~.
Тогда произвольная точка (х, у) посредством вращения во- круг точки О на угол чС СОЕ переходит в точку (х', у'), где а х'= х — у, 1' а'+ 6/ 'г/ аа+ 6' 6 а 94 Гл и. непРОтиВОРечиВОсть и незлВисимость лксиом 9 9. непРОтнВОРечиВОсть лггсиом > а>к Так как число )~ от+ Ьу= Ь 1/ 1+ [-) также при- '(ЬУ' надлежит полю(), то при наших предположениях выполняются аксиомы конгруентиости !!1, , и очевидно, что аксиома о конгруентности трзугольнйкоз Ш, и аксиома Архимеда Ч, при этом также выполнюотся. Что же касается аксиомы полноты, то она места не имеет ['з], Каждое противоречие, которое могло бы получиться из линейных и плоскостных аксиом 1 †!Ч, Ч„ доли!но было бы тем самым проявиться в арифметике йоля Ян), Если мы в предыдущем изложении поле () заменим полем.
в се х действительных чисел, то мы получим обычную декартову геометрию на плоскости. В том, что в этой последней кроме аксиом 1, „ !1, П!,.1Ч и Ч, выполняется также и аксиома полноты,,можно убедиться следующим образом. В декартовой геометрии из одних только определений порядка и конгруентности отрезков следует, что любой отрезок можно разделить на произвольное число и конгруентных друг другу отрезков и что если отрезок АВ меньше отрезка АС, то и л-я часть отрезка АВ меньше и-й части отрезка АС.
Положим теперь, что существует прямая л; на которой, вопреки аксиоме полноты, можно добавить еще точки к построенной нами геометрии, не нарушая при этом на прямой Л' аксиом 1, „!1, !!1, ЧР Пусть одна из добавленных точек будет )Ч. Точка Л> разбивает прямую л' на два луча, каждый из которых, согласно аксиоме Архимеда, содержит также точки, существовавшие до добавления новых точек; этн последние мы будем называть стары ии точками. Итак, точка >Ч делит старые точки прямой у на два луча. Положим, что прямая л' представлена в пара- «) Относительно вопроса о непротиворечивости аксиом арифметики смотря мой доклад о понятии числа: «Вег1СЫе пег ))еи!«с)>ел Ма1)>еп>а1!Нег-Уеге!и!Еипя», !900 (вошел в качестве дополнения У! в эту кангу), а также мой доклад «Математические проблемы» на интернациональном математическом конгоессе в 1900 г., особенно проблему Ка 2 (00Шпйег Нас)>г!СЫеп, йоо).
метрическом виде: х= ш!+п; У= Ф+0, причйм параметр 1 еще до добавления новых точек принимал уже все действительные значе >ия, Тогда разбиение, производимое точкой И, определяет дедекиндово сечение и в области этих значений параметра. Как известно, для дедекиндова сечения имеет место следующее: или первый из определяемых им классов имеет последний элемент, или второй из определяемых им классов имеет первый элемент. Пусть на прямой и этому элементу соответствует точка А. В таком случае между А и )Ч нет ни одной старой точки. С другой стороны, существует такая старая точка В, что >Ч лежит между А и В. Далее, в силу аксиомы Архимеда, можно выбрать таким образом некоторое число, скажем, а различных точек )Ч, С, С„ ..., С„ „ )'.), чтобы а отрезков А)Ч, Ь>С„ С>Ст, ..., С„ к В были друг другу конгруентны, и чтобы точка В лежала между А и )).
Разделим отрезок АВ на л конгруентных частей. Все точки л Ь» Г, Г, Г»» Ю 1> у Черт. ЗО. деления будут старыми точками; пусть Я>г будет та из этих точек, которая лвжит ближе остальных к точке А [черт. 30~. В силу одного из упомянутых на предыдущей странице свойств декартовой геометрии, отрезок А ))Р должен быть меньше отрезка А)У, так как АВ меньше; чем Ай[за~. Поэтому точка Ф' лежит между А и )Ч.
Таким образом, предположение, что на прямой и можно добавить точку )Ч, не нарушая при этом линейные аксиомы, привело к противоречию. Итак, в декартовой геометрии на плоскости все аксиомы 1 — Ч, относящиеся, к прямой и плоскости, выполняются.
Соответствующие исследования для геометрии в про. странстве не представляют никаких трудностей. Яб гл. и. нвпготивогячивость и нвзлвисимость лксиом Всякое противоречие в следствиях из аксиом ! — Ч должно, таким образом, иметь место также и в арифметике действительных чисел. Как видно, существует бесчисленное множество геометрий, удовлетворяющих зксиомам !†!Ч, Ч„ но только в одной геометрии, а именно в геометрии Декарта, выполняется также и аксиома полноты Ч,. 9 10, Независимость аксиомы о параллельных (неевклидова геометрия)и) После того, как мы убедились в непротиворечивости нашей системы аксиом, интересно исследовать, все ли они независимы друг от друга. В действительности оказывается, что никакие существенные составные части указанных групп аксиом не могут быть выведены путям логических умозаключений из предшествующих групп аксиом, Прежде всего, что касается отдельных аксиом групп1, П и П!, то легко показать, что аксиомы одной и той же группы в существенном не зависят друг от друга.
Аксиомы групп 1 и П лежат в нашем изложении в основе других аксиом; поэтому мы займбмся только тем, чтобы доказать для каждой из групп аксиом П1, 1Ч, Ч ее независимость от остальных, Аксиома !Ч о параллельных не зависит от остальных аксиом; это доказывается проще всего хорошо известным способом, а именно в качестве элементов пространственной геометрии принимают те точки, прямые н плоскости обыкновенной, построенной в $ 9(декартовой) геометрии, которые расположены внутри некоторого фиксированного шара, а конгруентности в этой геометрии заменяют такими линейными преобразованиями обыкновенной геоме- ") Легко показать следующее: в геометрии, в которой выполнены аксиомы 1 — Н! и аксиома Архимеда Чь предложение, содержащее аксиому о параллельных, либо неприменимо ни к одной систеие, состоящей из прямой н вие ея лежащей точка, либо применимо ко всякой такой системе; см.
й. В а ! д и з, «Мспгецх!1бЬзсЬе С»еоще!г)е», Вегйп, 1927 (Имеется русский перевод Р. Бал ьд у с, Неевклидова геометрия, М.— Л., ГТТИ, 1%3 г.). 5 КЬ нвзлвисимость лксиомы о плглллвльных я7 трии, которые указанный шар преобразуют самого в себя. При соответствующим образом установленных определениях убеждаются, что в этой «игевтглидовой» геомгглрии выполняются все аксиомы, за исключением евклидовой аксиомы !Ч, Так как возможность обыкновенной геометрии была доказана в Я 9, то отсюда следует такнге и возможность неевклидовой геометрии ('а]. Особый интерес представляют теоремы, справедливость которых не зависит от акскомы о параллельных, т, е.
которые выполняются как в евклидовой, так и в неевклидовой геометрии. Важнейшим примером таких теорем служат х обе теоремы Лежандра. Для доказательства первой из этих теорем, кроме аксиом 1, П и П1, требуется еще аксиома Архимеда Чп Рассмотрим раньше несколько вспомпгательных предложений, Теорема 33. Пусть дан прямо- Черт. З1. угольный треугольник ОР3, у которого угол при вершине Р прямой, н пусть на отрезке РХ выбраны точкг1 Х и г' так, чтобы !черт. 31) бС ХО Г= — «С 'г'Ог..
Тогда Для доказательства отложим на прямой Ог. от точки О отрезок ОХ', конгруентный ОХ, т. е, ОХ= ОЛ". Из теорем 22 и 23 следует, что точка Х' лежит на отрезке ОЕ, а на основании теоремы 22 и аксиомы П! получается, что «г, Л"г.)" ( бС О гХ= ~С Ог'Л" ( б!.- 'гХ'г.. Соотношение «г, Х'г.Г(~ 'г'Х'д, в силу теорем 12 н 23, приводит нас к дзказываемоиу утверждению. 7 А. ги»»з«р» 98 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
