Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 17
Текст из файла (страница 17)
н. ИепРОтиВОРечиВОсть и незлвисимость лксиом Теорема 34. Для любых двух углов а и е можно найти такое натуральное число г, что — (е. 2Р а При этом —, означает угол, получающийся при помощи г-кратного деления пополам углз а. Доказательство. Пусть даны два угла и и а. Из принятых аксиом вытекает выполнимость деления угла пополам (см.
стр. 84). Рассмотрим острый угол —. Если 2' а 2 — ~а, то утверждение теоремы 34 выполняется при г=2. а Если же — ) е, то мы из какой-либо точки С, лежащей 2 на одной из стоРон угла †, , опустим иа другую сторону этого же угла(черт, 32~ перпендикуляр; который пересечет эту последнюю в некоторой точке В, Е а Обозначим вершину угла — буквой А, От- 2 ложим угол а при стороне АВ внутри а угла ~ ВАС = †,; свободная сторона по- 2' строенного угла, в силу предполагаемого неравенства, пересечет отрезок ВС в некоторой точке О (см, стр. 68), Аксиома Ар- ' химеда У, сводится к утверждению, что а существует число л, лля которого л В1))ВС.
л а д Будем откладывать угол е л раз, прнЧе т. 32. Р страивая его каждый раз извне к свобод- ной стороне (ранее построенного угла). Может случиться, что свободная сторона угла, начйная с ш-го откладывания [где ш меньше или в крайнем случае равно л~ не пересекает больше луча ВС. Так как предыеущая свободная сторона ешли пересекает этот луч, то угол (т — 1)е острый, Отсюда легко полу <ается, что 4 1О, незлвисимость л«сномы О плглллельных 99 внутренняя часть угла те, полученного в результате ги-кратного откладывания, лежит от АВ в той же полуплосыости, что и точка С, и, далее, что луч АС должен лежать внутри угла те, т.
е. ше > —. 2 ' В другом случае каждый угол Е прн п-кратном откладывании вырезает иа луче ВС отрезок, который, согласно теореме 33, больше или равен ВО. Пусть и-я свободная сторона пересекает ВС в точке В. Сумма ВВ и отрезков, вырезанных на луче ВС, больше, чем л.ВО, и подавно больше ВС. Следовательно, а ла > †, 2 ' Поставим числу гл (или, соответственно, числу л) в соот- ветствие число г такое, чтобы ги ( 2' ' (соответственно л ( 2'-').
Угол та (соответственно па) обозначим буквой )х, Углы ~ и — можно построить. Из возможности сравнения величин углов легко получается, с одной стороны, что из неравенства 2 > гл следует неравенство — ( — = е, г-1 ° в в щ а с другой стороны, что из неравенства р) — следует не- равенство — ~— ) — . Тем самым, вследствие траизитивного 2" ~ 2 свойства сравнения величин (см. стр, 80)„ — '( С помощью теоремы 34 иожно доказать первую теорему Лежандра. Теорема 35 (первая теорема Лежандра), Сумма углов треугольника меньше илн равна двум прямым, Доказательство. Обозначим какой-либо из углов данного треугольника через ~С А = к.
Для других его углов введем обозначения ~С В = р и ~ С= Т так, чтобы уа 1ОО гл. и. напготивогачивость и назлвисимость аксиом )черт, 33]. Согласно теореме 26, на отрезке ВС можно найти середину — точку Р, Продолжим отрезок АР за точку Р до точки Е на длину, равную самому отрезку АР. В силу конгруентности вертикальных углов (стр. 73), к треугольникам АРС и ЕРВ можно применить аксиому Ш,.
Установив, на основании теоремы 15, поннтне о сумме углов самоочевидным способом, мы получим для углов а', р', т' треугольника АВЕ соотношения: а'+ Т'=а,' р'= р+7. Следовательно, сумма углов в треугольниках АВЕ и АВС одинакова. Из неравенства р (Т, в силу теорем 23 и !2, следует, что а'(Т', » в и отсюда, что а Черт. ЗЗ.
а Любому треугольнику АВС и какому-либо из его углов а можно поставить 'в соответствие другой треугольник, ичеющий ту же сумму углов,' в котором один из углов а меньше или равен —; тем самым, для любого натурального числа г можно найти треугольник, имеющий ту же сумму углов !что н АВС], у которого один из углов меньше нли » равен— З' ' Предположим теперь, что, вопреки утверждению первой теоремы Лежандра, сумма углов данного треугольника больше двух прямых.
Из теоремы 22 следует, что сумма двух углов треугольника меньше двух прямых. Сумму углов данного треугольника можно представить в виде +3+7=2р+, где е — некоторый угол, а р — прямой угол. В силу теоремы 34 найдбтся натуральное число г такое что — (а, 2~. б !О. нвзлвисимость аксиомы о плгаллальных 1~1 Построим теперь по указанному способу треугольник с угламн а", р», Т», которые удовлетворяют соотношениям: а" +р" +Т"= 2р+а, а" ( —, (а.
З» В этом треугольнике Р" +Т'> 2р, что противоречит теореме 22, Тем самым первая теорема Лежандра доказана. Т е о р е м а 36. Если в четырбхугольнике АВСР )черт. 34] углы А и В прямые и если кроме того противоположные стороны АР и ВС конгруентны, то углы «С С и «С Р кон- Ф груентны друг другу„ Далее, перпендикуляр, восставленный из середины М стороны АВ, пересекает противоположную сторону СР в точке М, причбм оказывается, что четырбхугольники АМИР н ВММС конгру- л и д ентны. Черт.
34. Д о к а з а т е л ь с т в о. Перпендикуляр, восставленный из точки М к отрезку АВ, проходит, как это следует из теорем 21 и 22, внутри угла «АРМС и, в силу одной из упомянутых на стр. 68 теорем, пересекает отрезок СР в точке М. Из теорем ! 2; 21 и 1 5 следует, что треугольники МАР и МВС и тем самым и треугольники МРМ и МС!ч конгруентны. Из этих конгруентностей при помощи теоремы 15 получается, что «С ВСМ: — «~ АРМ. Таким образом, четырбхугольники АМИР и ВМЯС конгруентны, Т е о р е и а 37, Если в четырбхугольнике АВСР '(черт.
35] все четыре угла прямые, то перпендикуляр ЕР, опущенный из произвольной точки Е прямой СР на противоположную сторону АВ, перпендикулярен также и СР. Доказательство. Введбм понятие зеркального отражения от прямой а следующим образом: если из ка- кой-либо точки Р опустить перпендикуляр на некоторую 132 гл. !! непРОтиВОРечиВОсть и незАВисимОсть Аксиом прямую а н продолжить этот перпендикуляр до точки Р' на такое же расстояние, то точка Р' называется зеркальным изображением точки Р. л е, г а х а г Черт.
33. Построим зеркальные изображения отрезка ЕГ относительно прямых АО и ВС. Из второй части теоремы 36 вытекает 1Аг~, что зеРкальные изобРажениЯ Е,Г, и ЕТГ, конгруентны отрезку ЕГ. Точки Г, и Га, так же как и точка Г, лежат на прямой АВ, точки же Е, и Е, вместе с точкой Е лежат на прямой СО, Четырехугольники ЕГГ Е„ ЕГГ,Е, и Е,Г,Г,Е, подходят под условие теоремы 36, и потому четыре угла, вершины которых находятся в точках Е, Е„ Еа, конгруентны друг другу. По- 71, этому у одной из этих точек имеются два равных смежных угла 1на чертеже 35 у точки Е!), т. е, четыре указанных угла — прямые. Теорема 38. Если существует хотя бы од'ни четырехугольник с четырьмя прямыми угла- Черт.
Зб. ми, то у л ю б о г о четырехуголь- ника, имеющего три прямых угла, четвертый угол также прямой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у четырехугольника А'В'С'О' все четыре угла прямые, и пусть АВСО [черт. 361 какой-то «етырйхугольник.с тремя прямыми углами А, В и О. Построим четырехугольник АВ,С,О„ конгруентный А'В'С'0', у которого прямой угол при точке А совпадал бы с углом А в четырехугольнике АВСО.
Если точка В совпадвт с В! или точка Π— с 0„ то условие теоремы 37 оказывается выполненным. Если точка й 1О. Независимость Аксиог!ы о пАРАллельных 103 В лежит между А и В„а точка О, между А н О, то так же, как н в доказательстве теоремы 36, из теоремы о внешнем угле следует, что отрезки ВС и С,О, пересекаются в некоторой точке Г. Теорема 37 показывает далее, что угол при точ- г ке Г а вследствие этого и при точке С в прямой.
Аналогичным образом С доказывается эта теорема и при других расположе. ниах точек А, В, В, н Л, О, О„ которые могут 4 к иметь место. Черт. 37. С помощью теоремы 38 удайтся доказать вторую теорему Лежандра. Теорема 39 (вторая теорема Лежандра), Если существует хотя бы один треугольник, у которого сумма углов равна двум прямым, то во вся ком треугольнике сумма углов равна двум прямым. Доказательство. Каждому треугольнику АВС, у которого сумма углов равна 2ш, можно поставить в соответствие четырзхугольник, у которого три угла прямые, а четвйртый равен тл. С этой мелью соединим [прямой~ середины О и Е сторон АС и ВС [черт.
37~ и опустим из точек А, В и С на соединяющую прямую перпендикуляры ЛГ, ВО и СН. Треугольники АГО и СНО, а также треугольники ВОЕ и СНЕ конгруентны, а потому АГ= — ВО н ~С ГАВ+ ~С ОВА =2ш, независимо от того, является ли один из углов чС А или эт. В аанного треугольника тупым или нет. Из середины отрезка ГО восставнм к нему перпендикуляр !К; тогда из второй части теоремы 36 следует, что четырехугольники АК!Г и ВК(0 конгруентны.
Таким образом, у каждого из этих четырахугольннков три угла прямые, а четвертые углы равны, т. е. бС ГАВ:= <С ОВЛ, 104 гл. и. нвпготивогвчивость и незлвисимость аксиом и тем самым ъС РАВ=тв. Итак„четырехугольник АК!г' поставлен в соответствие да<ному треугольнику требуемым образом. Пусть нам дан теперь треугольник л<„ у которого сумма углов равна двум прямым, и кроме того ещб какойто треугольник Оъ. 01ы ставим им в соответствие четырбхугольники !'< и !»>, Четырбхугольник Ь'< имеет четыре прямых угла, четырбхугольник !»>†три прямых угла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
