Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Мйапо, Впо!а 1881. Ср. также Рг!пс~рй йейа ейааййапга й! Ро!1ейг1 ей! 'роййоп) в1епсй Мйапо, Впо!а 1883. ь") О. Б ! о1г, Мопа1вйейе !пг Майк ипй Рйуа., Зайгйапя 5, 1894. *'*) Р. Б ей в г, Ы)гввйвйег!сЫе бег Вогра!ег !Ча1иг!. 8ев 1892. 'ььь) Ш. К)!!)вй, бгппй!айеп пег Оеоше!пе, т. 2, гл. 5, 5 5, 1898. 145 В 4 Черт. 63. 1О д, гч»»а«р« гл. !ч. знания о площадях нл плоскости велики по дополнению; поэтому треугольники ОАА' и ОВВ' также равновелики по дополнению.
В таком случае из теоремы 48 получается, что прямые ВА' и АВ' должны быть параллельны. Далее, легко убедйться, что многоугольник, целиком лежащий внутри другого многоугольника, всегда имеет меньшую меру площади, чем этот последний, а следовательно, в силу теоремы 51, не может быть равновелик ему по дополнению. Этот факт содержит теорему 52 как частный случай. Ъ Итак, мы обосновали важнейшие предложения из учения о площадях на плоскости. Уже Г а у с с обратил внимание математиков на аналогичный вопрос по отношению к пространству, Я высказал предположение о невозможности аналогичного обоснования учении об объемах в пространстве и поставил определйнную задачу «) — найти два тетраедра с равными основаниями и равными высотами, которые нельзя никаким способом разложить на конгруентнне тетраедрн и которые невозможно было бы путйм добавления конгруентных тетраедров дополнить до таких многогранников, которые в свою очередь поддавались бы разложению на конгруентные тетраедры.
М. Яэну«») действительно удалось доказать это; таким образом, он строго доказал невозможность обосновать уче- ») См. мой доклад Ма)цешабвсце Ргоь)еше» № 3 «*) М. 1) е Ь и, «1)епег гаишй!е!сзе Ро!уебег», Обгбпйег Ыас1п., 1900; также «1)еЬег Пеп Каиппппац», Майк Апп. т. 55, 1902. См далее Кайап, Майк Апп.
т. 57. )Т)оследняя работа содержит простейшее яз возможных доказательств; на русском языке см: В. Ф. Каган, «О преобразовании многограннико⻠— отдельная брошюра, вышедшая в 1913 г. в издательстве «Матезис» (Одесса) в переизданная в 1933 г. ГТТИ, Прим. рад,) 6 2!. Рлвноваликость и'мвгл плогцлди ние об объемах в пространстве тем путйм, каким это выше сделано для площадей на плоскости. После этого в целях разработки аналогичных вопросов для пространства были привлечены другие вспомогательные средства, как например, принцип Кавальери т). В атом направлении учение об объеме в пространстве было обосновано В.
Зюсом ""). В. Зюс ввйл следующие понятия; два тетрасдра с равными высотами и равновеликими по дополнению основаниями он назвал равновеликими в смысле Кавальери; два многогранника, которые можно разложить на конечное число попарно равновеликих в смысле Кавальери тетраедров, он назвал равновеликими по разложению в смысле Кавзльери; наконец, два многогранника, которые можно представить, как разность двух равновеликих по разложению в смысле Кавальери многогранников, ои назвал равновеликими по дополнению в смысле Кавальери. Тот факт, что равенство объ|мов и равновеликость по дополнению в смысле Кавальери суть два равносильных понятия, можно.
доказать, не пользуясь аксиомами о непрерывности, между тем как равновеликость по разложению в смысле Кавальерн двух многогранников,. имеющих равные объймн, доказывается только с помощью аксиомы Архимеда. *) Только для первой части теоремы 51 н теорем 48 в 52 имеются аналоги в пространстве; см., например, работу С. О. Шатунов ского: 8сЬ|1п по мтйу, «ОеЬегдепйзиш!пцаИ дег Ро!уедег», Ма1Ь. Апп.- т. 57. М. Дав в статье 1)еЬег деп 1пйаИ арцапясцет !)ге|есКе», Марш Апп.
т. 60 показал, что можно обосновать учение о плошадях на плоскости ааже без аксиомы о параллельных, с помощью одних только предложений о конгруентностн. См. также Р! п хе 1, «Гне Еецге чошР!йсцеп!пцац !пдегаййеше!пеп Оеоте1г!е», Ма)Ь. Апп. т.
72. »») цг. 80 яя, «Вейгапднпй дег Еецге чош Ро)уедеппЬа)ыч Ма1Ь. Апп. т. 82. Г Л..А В .А П Я Т А Я э 22. твогвмл дезатгл и вй доклзлтяльство 147 ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА В 22. Теорема Дезарга и ей доказательство на плоскости е помощью аксиом конгруентности а з аксиом, установленных в первой главе, все аксиомы групп Д вЂ” Ч относятся частью к прямой, частью к плоскости; аксиомы 4 — 8 группы !— единственные относящиеся к пространству. Для того, чтобы выяснить значение этих простран- ственных аксиом, представим себе, что дана некоторая плоская геометрия, н исследуем вообще условия, при которых эту плоскую геометрию можно рассматривать как часть пространственной геометрии, в которой выпол-. няются все аксиомы плоской геометрии, и, кроме того, про. странствеиные аксиомы соединения 1 В этой и в следующей главах мы вообще не будем пользоваться аксиомами конгруентности.
Вследствие этого мы должны будем положйть здесь в основу наших рассужде. ний аксиому о параллельных !Ч (стр, 86) в усиленной формулировке. !Чч (Аксиома о параллельных в усиленной формулировке). Пусть а — некоторая прямая, а А — лежащая ене ее' точка; тогда е плоскости, определяемой прямой а и точкой А, еущеетеует одна и только одна прямая, проходящая через точку А и не пересекающаяся с прямой а [ье). Как известно, на.
основании аксиом групп 1, 11, !Ч" возможно доказать так называемую теорему Дезарга [еь); теорема Дезарга — плоскостная теорема о точках пересече- ния. Мы особо выделяем случай, когда прямой, на которой должны лежать точки пересечения соответствующих сторон обоих треугольников, является так называемая «бесконечно удаленная прямая», и получающуюся таким образом теорему вместе с обратным ей предложением б)дем именовать просто теоремой Дезарга; эта теорема гласит [черт. 641: Теорема 53 (теорема Де вар га).
Если два треугольника расположены в плоскости так, что каждая пара нх соответствующих сторон параллельна, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, и обратно: Если два треугольника так расположены водной плоскости, что прямые, соединяю~цие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке или Черт.
64. параллельны, и если кроме того две пары соответствующих сторон треугольников параллельны, то третья пара сторон этих треугольникон также параллельна, Как было уже упомянуто, теорема 53 вытекает из аксиом 1 — 11, !Чн; в соответствии с этим фактом справедливость теоремы Дезарга в плоской геометрии является во всяком случае необходимым условием для того, чтобы эту геометрию можно было рассматривать как часть пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы групп 1 — !1, 1Чч. Мы будем рассматривать теперь, как н в главах третьей и четвсртой, плоскую геометрию, в которой имеют место аксиомы 1,, и Н вЂ” 1Ч и в которой мы введем исчисление отрезков в соответствии с $ 15; в таком случае оказывается возможным, как это было изложено в и 17, каждой точке этой плоскости поставить в соответствие пару отрезков (х, у), а каждой прямой — отношение трех отрезков (и:о:тп) (причдм по крайней мере один из отрезков а и о должен не быть иудам) так, чтобы линейное Юь гл.
ч. твогвмь двзлггл й 23. недокьзгемость теогвмы двзлггь 149 уравнение их + юу+ че = О представляло условие того, что точка лежит ' на прямой. Система всех отрезков в нашей геометрии образует, ' согласно 9 1/, числовое поле, для которого имеют мес>о свойства 1 — 16, перечисленные в 9 13; поэтому мы можем с помощью этого числового поля построить пространственную -геометрию аналогично тому, как это было сделано в 99 или 912 с помощью числовых систем Й н Я(г).
Для этого мы положим, что системз трбх отрезков (х, у, г) представляет точку, а отношение четырбх отрезков (исо: и>: г), в котором по крайней мере олин из отрезков и, о, те отличен от нуля,— плоскость, в то время как прямая определяется, как пересечение двух плоскостей; при этом линейное уравнение ах+ оу'+п>г+ с= О выражает тот факт, что точка (х, у, г) лежит в плоскости (и:о:то:г), Что же касается порядка точек на прямой, или порядка точек плоскости по отношению к прямой, лежащей в этой плоскости, или, наконец, порядка точек относительно плоскости в пространстве, то он определяется неравенством между отрезками, аналогично тому, как это было сделано в 9 9 для плоскости. Подставив значение з= О, мы получаем первоначальную плоскую геометрию и убеждаемся, таким образом, что нашу плоскую геометрию можно рассматривать как часть пространственной геометрии.
Но, согласно сказанному ранее, необходимым условием для того, чтобы плоскую геометрию можно было рассматривать как часть геометрии пространства, является теорема Дезарга, а потому в нашей плоской геометрии должна иметь место также и теорема Дезарга. Эта теорема является, таким образом, следствием аксиом 1, „ П вЂ” 1(/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
