Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Это выражение после применения формулы (1) обращается, очевидно, а выражение Вида Я; послелнее называется произведением числа, представленного выражением 3', на число, представленное Выражением Я". При установленном таким образом способе счйта становится непосредственно ясной справедливость правил 1 — 4 и 6 — 17 6 13 ('221. Также нетрудно показать справедливость правила 5 9 13. С втой целью положим, что О. = 'Т +$ "1Т, +я +'Т+...
3 я~ То +ям""''72 +ял .,РТЕ + 174 175 ГЛ. Ч1. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ б 34. ИепхскллезА геометвия суть два выражении вида Д Заметим, что, согласно нашему условию, первый коэффициент г,' из 7" отличен от нуля. Приравнивая одинаковые степени е в обеих частях уравнения 8'5" — 5"", (2) мы однозначно определим сперва целое число т", а затеи последовательно выражения т«, т1, тг, так, чтобы выражение .с" — ем"7' + е»1" 17' + е»и+«7' удовлетворяло уравнению (2) прн пользовании формулой (1). Аналогичное утвержление справедливо н для уравнения 8" Я' = — Я"".
Итак, наше утверждение доказано. Наконец, чтобы сделать возможным упорядочение чисел нашей числовой системы ()(в, Г), подчиним ез следующему условию: число этой системы называется большим или меньшим О, в зависимости от того, будет лн первый коэффициент ге, стоящий при Тд в выражении 8, представляющем это число, больше или меньше нуля. Если даны два числа а н д комплексной числовой системы, то говорят, что а(д или что а) д, смотря по тому, будет ли а — д меньше илн больше нуля. Непосредственно ясно, что при этом условии правила 13 — 16 9 13 верны, т.
е. что (1(е, г) является дезарговой числовой системой (ср. $ 28). Правило 19 9 13 для нашей комллексной числовой системы (г(е, г) не выполняется, как показывает равенство (1), н, таким образом, теорема 60 полностью доказана. В силу теоремы 59, предложение Архимеда (предложение !7 9 13) в установленной нами числовой системе(1(е, 1) не выполняется. Отметим ещв, что числовая система (е(е, Г) — точно так же как н числовые системы 11 и Я(1), которыми мы мользовалнсь в 9 9 н 9 12,--содержит только счвтное множество чисел. $34. Доказательство обоях предложений, каепюшихея теоремы Паскаля (непзекалеза геометрия) Если в некоторой геометрии пространства выполняются все аксиомы 1, 11, !Нь, то в этой геометрии имеет место также н теорема Дезарга (теорема 53) и тем самым, согласно последней теореме «е=» 9 28, в этой геометрии на каждой паре пересекающихся прямых возможно введение А исчисления отрезков, подчн- е изин»го правилам 1 — 11, ' 13 — 16 8 13.
Если, кроме того принять в нашей гео- е l метрнн архимедову аксиому Черт. 77. Н"„то, очевидно, для нашего исчисления отрезков будет иметь место предложение Архимеда (предложение !7 9 13) и, следовательно, согласно теореме 59, коммутатнвный закон умножения. Из чертежа 177] совершенно очевидно, что коммутативный закон умножения представляет собою не что иное, как теорему Паскаля для пары осей. Тем самым справедливость теоремы 57 до. казан». Для доказательства теоремы 58 обратимся снова к введвнной в 9 33 дезарговой числовой системе ()(е, т) и построим с ев помощью пространственную геометрию по способу, описанному в 9 29.
В этой геометрии выполняются все аксиомы 1, 11, 1Н", и, несмотря на это, в ней теорема Паскаля не имеет места, так как в дезарговой числовой системе (е(е,т) коммутативный закон умножения не имеет места, Построенная таким образом «лелаелалева геометрия», в силу доказанной ранее теоремы 57, должна быть в то же время и «неарлимедовой» геометрией.
Ясно, что теорема Паскаля ие может быть при наших прелположениях доказана и в том случае, когда пространственную геометрию рассматривают как часть геомвтрин любого числа измерений, в которой кроче точек, прямых 176 гл. кь теорема пАскАля 6 86. доклзлтвльство твоевм о точках пврвсвчвння !71 н плоскостей, имеются ещв н другие элементы, прнчям этн последние также цодчннены соответствующей системе аксиом соедннення н порндка, а также аксноме о па аллел»ных. о парал- $35.
Доказательство любой теоремы о точках перееечеяня с помощью теоремы Паскаля Т Докажем сначала следующее важное предложе не: н е арена 61, Теорема Лезарга (теорема 53) модкегп бить выведена из теоремы 77аекали (теорема 40) с помощью одних только аксиом 1, з, !1, !(7ь, т. е. без / помощи аксиом конгруентж ности и непрерывности. Доказательство "). Ясно, что нз двух утвержденнй, составляющих теорему 53, каждое есть следствие другого. Достаточно, такнм е й образом, доказать только второе утверждение теоремы Черт.
78. 53. Прн доказательстве это- го утверждения мы сделаем некоторые дополннтельные предположения. Пусть треугольники АВС н А'В'С' [черт. 78] расположены так, что прямые, соеднняющне соответствующие вершины, пересекаются в одной точке.О н что прямая АВ параллельна А'В', а прямая АС вЂ” прямой А'С'. Положим, далее, что нн пара прямых ОВ' н А'С', нн пара прямых ' не представляют собой параллелей. Проведвм через А .прямую, параллельную ОВ', которая пересечвтся с А'С в некоторой точке Е, а с ОС' — в некоторой точке М.
П ОА нн, . Положим, далее, что прямая ЕВ' не параллельна нн , нн,ОС. Прямые .4В н 7В' не могут быть параллельны, н, следовательно, онн должны пересечься в некото- П ) рнведенное здесь доказательство теоремы 61 прнналлежнт Г. Ге с се н 6 е рг у (О. Н ел зев 6ег я, «Везче!з дез Оеепдневвсйеп Ва!гез апз беп Рааса!зсйеп», Ма!Ь. Апп. т. 61). рой точке 5( которую мы соеднннм прямымн с точкамн М н О.
К конфигурации ОХАЛА'В', как это следует нз еяпостроения, теорема Паскаля применима, а потому О)м' параллельна А'Е н, слеловательно, параллельна также н СА. Теперь мы можем прнложнть теорему Паскаля к конфнгурацням ОММАСВ н О!«МЕС'В' н получить, что Мг»7 параллельна как СВ, так н СВ'. Итак, стороны СВ н С'В' действительно параллельны.
Добавочные предположения, сделанные прн доказательстве этой теоремы, могут быть одно за другим устранены, Здесь мы этн рассмотренна опускаем ['ь]. Положим, что мы имеем дело с плоской геометрией, в которой, кроме аксиом 1, „!1, !!7ь, выполняется теорема Паскаля. Теорема 61 учит, что в этой геометрии имеет место также н теорема Дезарга. Поэтому мы можем ввести в ней исчисление отрезков, о котором шла речь в 824; в этом исчислении отрезков, согласно сказанному, вместе стеоремой Паскаля, имеет место н коммутатнвный закон умноження, т.
е. в ней имеют место все правила смята 1 — 12 $ 13. Фигуру, соответствующую содержанию теоремы Паскаля нлн Дезарга, мы будем называть паскалевой нлн, соответственно, дезарговой конфнгурацней. В таком случае результаты исследований Я 24 — 26 н $ 34 можно резюмировать слелующнм образом. Каждое применение вычнслнтельных правил (правнла 1 — 12 8 13) в нашем исчислении отрезков оказывается комбинацией конечного числа паскалевых н дезарговых конфигураций; а так как дезаргова конфнгурацня может быть представлена прн помощи построения соответствующих вспомогательных точек н прямых (как это было сделано прн доказательстве теоремы 61) я виде комбннацнн паскалевых конфнгурацнй, то каждое применение упомянутых вичислительных правил в нашем исчислении отрезков оказывается комбинацией конечного числа паскалевых конфнгурацнй Согласно сказанному в 8 21 н на основании коммутатннного закона умножения в этом исчислении отрезков, точка прелставляется парой действительных чисел (х, у), а праман — отношением трях действительных чисел ["](и:о:ти), 12 д гиь«ьер« 178 ГЛ.
Ш. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ й 35. доказательство теовем о точках пегесечения 179 церные два нз которых одновременно не обращаются в нуль. Тот факт, что точка лежит на прямой, характеризуется равенством их+ Оу+ тв =. О, а параллельность прямых (и: и:гв) и (и'.О'.гв') — процорцней и:О=и'.О', Пусть в заданной таким образом геометрам рассматривается чистая теорема о точках пересечения. Под чистой теоремой о точках пересечения мы понимаем здесь высказывание о взаимном расположении точек н прямых н о параллельности прямых, причем в этом высказывании никакие другие взаимоотношения, как, например, конгруентность илн церпендикулярность, не должны быть использованы, Каждая такая чистая теорема о точках пересечения может быть приведена к следующему виду.
Сначала произвольно выбирается система нз конечного числа точек н прямых; затем заранее предписанным образом к некоторым из этих прямых проводят произвольные цараллели, выбирают на некоторых прямых пронзвольные точки и проводят через некоторые точки произвольные прямые; если теперь заранее предписанным образом соединять имеющиеся точки прямыми, находить точки пересечения имеющихся прямых, проводнть через имеющиеся уже точки параллели, то мы, в конце концов, придзм к вполне определенной системе конечного числа прямых, о которых теорема утверждает, что онн нлн проходят через одну н ту же точку нлн параллельны. Координаты точек н прямых, которые мы совершенно произвольно выбираем вначале, мы будем рассматривать как параметры р,,..., р„; у точек н прямых, выбранных затем с ограниченным произволом, некоторые нз координат мы будем рассматривать какдальнейшне параметры р„+„..., р;, остальные же их координаты мы выразим через параметры р„..., р,.
Координаты прямых, соединяющих имеющиеся уже точки, точек, образующихся прн пересечения имеющихся уже прямых, и прямых, проводимых через имеющиеся у)ке точки параллельно имею- щимся прямыч, будут рационально зависящими от этих параметров выражениями А (ро..., р„). В таком случае содержание доказываемой теоремы о точках пересечения сведЕтся к утверждению, что некоторые нз этого рода выражений будут иметь равные значения„если мы булем придавать параметрам в этих выражениях одинаковые значения; иными словами, теорема о точках пересечения сводится к утверждению, что некоторые вполне определЕнные выражения А (р„..., р,), рационально зависящие от определэнных параметров р„..., ры обращаются в нуль всякий раз, как мы вместо этих параметров подставляем в эти выражения какие-либо элементы исчисления отрезков, введвнного в рассматриваемой геометрии. Так как область этих элементов бесконечна, то, в силу известной теоремы алгебры, чы приходим к заключению, что выражения К(р ".
р.) должны, на основании законов исчисления 1 — 12 ф 13, т ожд е с твен но обращаться в нуль('в1ь Но после того, что выше было доказано о применении законов счйта, ясно, что для локазательства тождественного обра* щения в нуль выражений й(р»..., рг) в нашем исчислении отрезков достаточно применения теоремы Паскаля, Таким образом, мы пришли к следующему выводу: Теорема 62, Каждая чистая теорема О точках пересечения, имеющая место в плоской геометрии, в котороа выполняютея аксиомы 1, „11, !У" и справедлива теорема Паскаля, при помощи построения соответствующих вспомогательных точек и прямых сводится к комбинации конечного числа конфигураций Паскаля.
Итак, если при доказательстве теоремы о точках пересечения пользоваться теоремой Паскаля, то можно не прибегать при этом доказательстве к аксиомам конгруентности и непрерывности .ГЛ.А Л .А С л;„А Ъ .МА ля 9 Зб. Геометгич. постРоения с помощью ли линейки 181 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ОСНОВАНИИ АКСИОМ ! — !Ч ф 36. Геометрические построения е помощью линейки и эталона длины усть дана пространственная геометрия, в которой имеют место все аксиомы !†!Ч; для простоты в этой главе мы будем рассматривать только п л о с к у ю геометрию, содержащуюся в этой пространственной геометрии, и исследуем вопрос, какие из элементарных задач на построение наверное разрешимы в этой геометрии (предполагая наличие соответствующих практических средств), На основании аксиом 1, !1, !У всегда можно решить следующую задачу: Задача 1. Провести прямую через две точки и найти точку пересечения двух прямых, при условии, что этн прямые не параллельны, В силу аксиом конгруентности !Н можно откладывать отрезки и углы, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
