Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 30
Текст из файла (страница 30)
в рассматриваемой геометрии возможно решение следующих залач: Задач а 2. Данный отрезок отложить на данной прямой от некоторой точки по ланную сторону от этой точки. Задача 3. Данный угол отложить от данной прямой в данной то»ке по заданную сторону этой прямой или провести прямую, пересекающую данную прямую в заданной точке под данныи углом. Очевидно, что если положить в основу аксиомы 1 — 1У, то разрешимыми оказываются только те задачи на по- строение, , которые могут быть сведены к вы»неуказанным задачам 1 — .
1 — 3. К основным задачам 1 — 3 мы присоедини г щ — л» е е следующие две. ю Задача 4. Через данную точку провести пряму параллельную данной. 3 а д а ч а 5. Провести прямую, перпендикулярную к данно . анной. Мы немедленно убеждаемся в том, что о обе эти задачи можно различными способами свести к задачам 1 — 3. Для выполнения построения »'г задачи! нужна линейка. Для выполнения построений в задачах 2 — 5 достаточно, как мы это дальше покажем, кроме линейки л «« иметь еще эталон длин ы— инструмент, который дает воз- «" можность откладывать олин ") вполне определбнный отрезок, е л Ю например, единичный отрезок, Мы приходим, таким образом, Ч т. 79. ерт.
к следующему результату: Теорема 63, Геометрические задача на построение, которые мо у гул» быть решены на основании аксиом ! †!У, тре уют б для своего решения только линейки и эталона длины ач 4 ~~че т. 79', До к аз а тель с т во. Чтобы решить задачу 4 ~~черт. соединим данную точку Р с произвол льной точкой А за- мой а и отложим единичный отрезок с помощью данной прямо а и о эталона длины на прямой а от точки два раз а именно: сначала до точки В, а з , а затем от точки В до точки С. Пусть Π— некоторая точка пр ямой АР, не совпалающая ни с А, ни с Р и притом такая, что поямые ВЕ) и РС не параллельны. В таком случае прям е ямые СР «) Ч то з данно м случае достаточно потребовать возможности нного от евка, замеотнладываннз лишь для одного едннственн р тнл И.
К ю рш а к (Л. Кя ге с й а К, «Рзз 3»гесхепаЫгайеп», Майь Апп т, бб 1902). ГЛ. ЮЦ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ 18г З Зб, геометРич, пОстРОениЯ с помощью линейки 1ЗЗ и В0 пересекаются в точке Е а и ям прямая АЕ пересе"ает в точке Р. Как показал Ш гейне [гг'~ РР является искомой параллелью к и ям Задач 5 мы ь к прямой а, у мы решим следующим Образом [черт. 80'Р Пусть А — произвольная точка данной пр й, О о прямо . тложим Г с помощью эталона длины на этой прямой от точки А по обе е6 стороны единичные отрез- Р ки АВ н АС и затем выберем на каких-либо двух других прямых, проходящих через точку А, точки Е и 0 так, чтобы отрезки А0 и АЕ были л также равны единичному отрезЧе т.
80. ку. Прямые В0 и СЕ пересер. каются в точке Р, прямые ВЕ р аютс о и С0 пе есек Действительно угл ~ В0 и является искомым пе и рпендикуляром. опирающиеся на диаметр ВС пол ок и , , у оремы о точке переми, а потому, в сил те высот, которую мы можем применить к также должны быть перпендиклярными, дику- Ю На основании задач 4 и 5 всегда возможно опустить перпендикуляр на данную прямую а из точки О, ле кащей вне е6 или восставить к ней перпендик куляр из лежащей на ней точки А. Теперь мы можем легко Черт.
81. решить также и задачу 3 и и ме помощи только линейки и эталона дли, И б р, следующий прнйм, который т еб ет ины. збербм нап иння прямых, па аллельных тре ует только проведен пусть точка А — в рому тре уется построить, ч а — вершина этого угла [че т. 81тл Че точку А проведвм прямую 1, ю , параллельную заданной пря- мой, при которой нужно построить угол р. Из произвольной гочки В одной из сторон угла р опустим перпендикуляры на другую сторону этого угла и на прямую 1. Пусть основаниями этих перпендикуляров будут точки 0 и С. Точки С и 0 не совпадают, а точка А не лежит на прямой С0.
Стало быть, мы можем из точки А опустить перпендикуляр на С0; пусть его основание — точка Е. Согласно доказательству, приведзнному на стр. 115, ИСАЕ=-р. Если точка В выбрана на другой стороне заданного угла, то точка Е попадает по другую сторону прямой 1. Через заданную точку на заданной прямой проводим прямую, параллельную АЕ; 1 тем саиым получаем Р решение задачи 3.
С Наконец, чтобы решить задачу 2, воспользуемся следующим про- Ю етым построением, при- Черт. 82. наллежащим И. Кю ршаку. Пусть А — отрезок, который требуется отложить [черт, 821, а Р— заданная точка на заданной прямой 1, Из точки Р проводят прямую, параллельную АВ, и с помощью эталона длины наносят на ней от точки Р по ту сторону от АР, по которую лежит точка В, единичный отрезок, конец которого попадйт в некоторую точку С.
Далее, на прямой 1 от точки Р в заданную сторону отклалывают единичный отрезок; пусть его конец попад6т в точку О, Пусть прямая, проведзнная через точку В параллельно АР, пересекает прямую РС в точке ф а прямая, проведбнная через точку С1 параллельно С0, пересекает прямую 1 в точке Е. Тогда РЕ= АВ.
Если прямая ( совпадает с РЯ, а точка 11 не попадвт по заданную сторону от Р, то это построение можно легко видоизменить. Итак, показано, что все задачи 1 — 5 можно решить с помощью линейки и эталона длины, и, следовательно, теорема 63 полностью доказана, 184 гл. тп. гвомвтгичвскив постговния й 37. Крптеркй выполнимости геометрпческнх построений с помощью липейкп к эталона длины Кроме рассмотренных нами в 8 36 задач из элементарной геометрии, существует ещЕ большое количество других задач, решение которых требует только проведения прямых и откладывания отрезков. Для того чтобы можно было обозреть область всех решаемых таким образом задач, мы положим в основу дальнейшего нашего исследования прямоугольную 'систему координат и представим себе координаты точек обычным образом — как действительные числа или функции некоторых произвольных параметров.
Чтобы быть в состоянии ответить на вопрос о том, какова совокупность всех точек, которые могут быть построены, мы прибегнем к следующему рассуждению. Пусть дана некоторая определйнная система точек; об. разуем порождаемое координатами этих точек поле Л(~а). Оно содержит некоторые определйнные действительные числа н некоторые произвольные параметры р. Представим себе теперь совокупность всех тех точек, которые могут быть построены из заданной системы точек путйм проведения прямых и откладывания отрезков. Поле, образованное координатачи этих последних точек, обозначим через Я(1с); оно содержит также некоторые определйиные действительные числа и функции произвольных параметров р.
Наши исследования в $ 17 показали, что проведение прямых через две точки и проведение прямых, параллельных данным, аналитически сводится к сложению, умножению, вычитанию н делению отрезков; далее, известная, данная в 6 9, формула для вращения показывает, что откладывание отрезков на любой прямой не требует никаких других аналитических операций, кроме извлечения квадратного корня из суммы двух квадратов, первые степени которых уже построены, Обратно, на основании теоремы Пифагора, с помощью прямоугольного треугольника всегда можно путйм откладывания отрезков построить квадратный корень из суммы квадратов двух отрезков.
Е 37. кгитвгий выполнимости постговний Из этих рассуждений следует, что поле м(1с) содержит те и только те действительные числа и функции параметров р, которые получаются нз чисел и параметров, содержащихся в 77, применением конечного числа раз пяти следующих операций счЕта: четырйх арифметических действий и пятой операции — извлечения квадратного корня из суммы квадратов. Полученный нами результат мы можем формулировать следующим образом: Т е о р е м а 64, Требуемое в задаче геометрическое построение можно выполнить путйм проведения прямых и откладывания отрезков, т. е.
с помощью линейки и эталона длины в том и только в том случае, когда при аналитнческом решении этой задаяи координаты искомых точек представляют собою такие функции координат заданных точек, выражение которых требует применения конечного числа рациональных операций и операции извлечения квадратного корня из суммы двух квадратов. На основании этой теоремы мы можем тотчас же убедиться в том, что не всякая задача, разрешаемая с помощью циркуля и линейки, может быть решена также и с помощью одной только линейки и эталона длины. С этой целью примем в качестве основы ту геометрию, которая была построена в 8 9 с помощью поля алгебраических чисел и; в этой геометрии существуют только такие отрезки, которые можно построить с помощью линейки и эталона длины, а именно .отрезки, определяемые числами поля Й.
Если м есть некоторое число поля 1), то из определения поля и' легко усмотреть, что всякое ' алгебраическое число, сопряженное и, также должно находиться в поле Я; но все числа поля 1), очевидно, действительны, а потому поле Я может содержать только такие действительные алгебраические числа, сопряжйнные к которым также действительны. Такие числа мы будем называть вполне действительны»и ('а).
Поставим себе теперь задачу — построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого 1 и один катет ~~ 2) — 1. Алгебраическое число )' 2))' 2) - 2, выра- 188 ГЛ. У!>. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ 6 37. кгитегий выполнимости постгоений !87 жающее численное значение другого катета, в числовое поле ы не входит, так как сопряж6нное ему число — 2)~~ 2) — 2 является мнимыч. Стало быть, поставленная задача в принятой за основу геометрии неразрешима, а потому она вообще не может быть разрешена с помощью линейки н эталона длины, хотя соответствующее построение с помощью циркуля и линейки получается немедленно. Наши рассуждения можно также обратить, т.
е. справедлива 'следующая теорема: Всякое вполне действительное число лежит в поле и. Поэтому всякий отрезок, опрелелвнный вполне действительным числом, может быть построен с помощью линейки и эталона длины. Доказательство этой теоремы получается нз соображения более общего характера. А именно, оказывается возможным найти критерий, позволяющий для задачи, разрешимой с помощью циркуля и линейки, непосредственно по аналитической природе этой задачи и е6 решений судить о том, может лн она быть также решена с помощью одной только линейки и эталона длины. Это получается благодаря следующей теореме: Теорема 65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
