Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 32
Текст из файла (страница 32)
А . Аксиомы, с помощью к понятие от езк щ которых вводится ятие отрезка и понятие последов и я . аксиомы были впервые прямо . ти а ены и систематически исследованы М. Па оии в основном сводятся ся к следующему: наны . ашемь); Между двумя точками А, В и я с ь точка той же ирямой.— чек прямой всегда д о . — Оз трйх то- между двумя друг~м~.
— Е о на и притом только мой а, ими. — ели точки А, В лежит на пряюбые четыре точки А, А, А, А упорядочен ы таким образом, чтобы точка А а, могут быть всегда и екс ольше индекса г'. — Всякая прямая а, жащая е плоскости а, делит а, леб А д ка о ной обласгпи емеспге с любой т дру бласти определяют отрезок АА', оч- внутри которого лежит точка и ямой а; любые дее точки А и В д деллют отрезок АВ, не сод и о ной и той же о ок, не содержащий ни одной точ- 3, Аксиома н епрерывности, кото ой я п и следующую формулировку: р придаю Если А,,Аг, А,...— бе — есконечный ряд точек пря- мо а, а — точка п1ой же прямой такого ода, чт точка Аг оказывается межд .4 В индекс й оказывается мень д ' у .
„и всякий аз, ка ьигим ин екса А то с есгп- еуегп точка С, обладающая ду ео точки бесконечного гяда А, А . я сле ующим свойство еом: есе ря г, А, Аы... лежат межд и, и любая точка С', для мотор й д ж утверждение, лежит межд С В. е о сираее лиео то С помощьв этой у и новать тео ив й аксиомы можно вполне строг б р гармонических точек, и если мы б дем р ооос- пользоваться ею, аналогично и мы удем ч ~о тому, как это было сделано пег, 1882. ') См. Ра во и, «Чо«1еепп ееппяеп аЬег пеиеге Оеогпе1«1еь, ТепЬ- Ф.
Линдеман номе), то мы придем к следующей теореме: Махно сопоставить каждой точке три конечных действительных числа х, у, г, а каждой плоскости — линейное соотногнение между этими тремя числами х, у, г так, чтобы все точки, для которых соответствующие три числа х, у, г уловлетворяют линейному соотношению, лежали в соответствующей плоскости, и обратно, всем точкам, лежащим в этой плоскости, были сопоставлены числа х, у, г, удовлетворяющие соответственному линейному соотношению. Истолкуем теперь х,у,г как прямоугольные координаты точки в обыкновенном евклидовом пространстве.
Тогда точкам первоначального пространства будут соответствовать точки внутри некоторого нигде не вогнутого тела евклидова пространства и, обратно, всем точкам внутри нигде не вогнутого тела будут соответствовать точки нашего первоначального пространства: наше лросгпранстео отображается, таким образом, на внутренность нигде не вогнутого тела евклидова пространства. При этом под нигде не вогнутым телом надо понимать тело, обладающее следующим свойством: если две точки,. лежащие внутри этого тела, соединить прямой, то часть этой прямой, лежащая между этими двумя точками, целиком попадает внутрь тела.
Я позволю себе обратить Ваше внимание на то, что рассматриваемые здесь нигде не вогнутые тела играют большую роль также и в теоретико-числовых исследованиях Г. М и н к о в с к о г о еь) и что Г. Минковский нашвл для них простое аналитическое определение. Обратно, если в евклидовом пространстве дано любое нигде не вогнутое тело, то оно определяет вполне определзнную геометрию, в которой выполняются все указанные аксиомы: каждой точке, лежащей внутри нигде ие вогнутого тела или вне его, а также прямым и плоскостям евклидова пространства, лежащим вне этого телз, не соответствуют никакие элементы обобщзииой геометрии.
") См. С!еЬесЬ-1.1пйегпапп, «Чобееппйеп аЬег Оеошеббеы т. !1, часть 1, стр. 433 и далее. ьь) Си Н М1пхоме81, «С«еогпе1«1е пег ЕаЬ1епм ТееЬпег, 1896 и 1910. довлвлвнив » о пгямой как кратчайшая гасстоянии Итак, приведенная выше теорема об отображении точек обобщенной геометрии на внутренность нигде не вогнутого тела евклидова пространства выражает то свойство элементов обобщенной геометрии, которое по своему содержанию полностью совпадает с выставленными вначале аксиомами. Определим теперь понятие длины в нашей обобщенной геометрии и обозначим с этой целью две точки евклидова пространства, которые соответствуют точкам А и В первоначального пространства, также буквами А и В; продолжим затем прямую АВ в евклидовом пространстве за точки А и В до тех пор, пока эта прямая не встретит границ нигде не вогнутого тела в точках соответственно Х и У; евклидово расстояние между любыми двумя точками Р и О евклидова пространства мы будем кратко обозначать через Р»'1; в таком случае действительное значение 1УА ХВ1 АВ=.= 1од '= '1 1'В ХА 1 мы будем в нашей обобщенной геометрии называть длиной отрезка АВ.
Так как =">1, = >1, 1гА ХВ г'В ХА то длина всегда является величиной положительной, Легко можно перечислить свойства понятия длины, ко- торые с необхолимостью приводят к выражению указанного вида для АВ; однако я это опускаю, чтобы не слишком утомлять Ваше внимание этим письмом. Установленная для АВ формула показывает вместе с тем, каким образом эта величина зависит от формы нигде не вогнутого тела. Если мы зафиксируем точки А и В внутри тела и будем менять границы тела так, чтобы граничная точка Х двигалась по направлению к А, а точка У прибли- гА жалась к В, то, очевидно, как дробь = †, так и дробь ХВ 1'В = будут увеличиваться, и, следовательно, будет увели- ХА чиваться н значение АВ, тепе ь внутри нигде не вогнутого тела дан треиз тела ни нигде не вогнутый овал черт.
Черт. 83. ах сторон АВ, АС, ВС тресебе л алее что кажлая из тр б т роны ло пересечения с грауголь эпика пиодолжена в о е сто о ющими точками пересечения ницей в овала, и пусть соответствующи ~', Т л; соединим прямыми точки булут: .. :Хи1'С»и,и Т Ь' и продолжим эти прямые уи г, г а также точки и е В'. Точки пересечения этих о их пе есечения в точке . о ами д п ямой ХГ обозначим соответственно букв прямых с прямой о а место первоначального ложим тепе ь в основу в ри этом в плоской геометрии, определ нно Т ины АС и ВС остаются такими же, как и ником УКТ, длины и тем как длина стороны АВ первоначальной геометрия, между тем как .
Чти результате проделанного пр р г и еоб азования увеличится. то- ны АВ отличить от ея первонач льбы новую длину стороны АВ Между длинами сторон треуголь гольника сущ следую»»»ее простое соотношение; АВ= АС+ ВС, 999 довлвление г О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАООТОЯННИ Чтобы доказать это, соединир точки 1Р' и С прямой и продолжим эту прямую ло ее пересечения с АВ в точке О, Так как два ряда точек Х', А, г4, 1" и У, А, С, 4' проектнвны, то в силу известной теоремы об ангармоническнх отношениях: У"'А Х'й 'Р'Л ВС 1'Ю Х'А Р С УА точно так же, вследствие проективности двух рядов точек 3г',В,1г,х' и Т,В,С,А, Х'В У'.0 хВ ТС Х'В 1"В хс ТВ Из умножения этих двух равенств получается, что У'Л ХВ 1"Л иС ЯВ тС Г'В Х' 4 1гс СЛ Хс ТВ а это последнее равенство показывает справедливость моего утверждения.
Из приведйнного выше исследования мы узнабм, что только нз аксиом, перечисленных в начале моего письма, и определения длины, с необходимостью вытекающего нз простейших свойств этого понятия, следует общая теорема: В каждом треугольнике сулсма двух сторон больше или равна третьей. Вместе с тем ясно, что случай равенства имеет место тогда и только тогда, когда плоскость а вырезает из границ нигде не вогнутого тела два п р я м ы х куска линий сГЕ н Т1г. Это последнее условие можно выразить и бгз привлечения на помощь нигде не вогнутого тела, Так, если даны две прямые а и Ь первоначальной геометрии, лежащие в некоторой плоскости а и пересекающиеся в некоторой точке С, то, вообще говоря, в каждой из четырэх частей, на которые разбивается плоскость а прямыми и, д, находятся такие прямые, которые не пересекают ни прямую а, нн прямую д, Если зсэ же окажется, в частности, что для каких-либо двух такого рода частей плоскости а, лежащих друг против друга, таких прямых не существует, го условие, о кото„ом отаром идет речь, оказывается выполненным, ники для и в таком случае всегда существуют треугольники, ля которых сумма двух сторон равна третьей.
Таким обв рассматриваемом случае возможен между двумя разом, в р ий из дв х определ ениымн точками А и В путь, состоящи у нейных кусков, общая длина которого р р авиа аспрямолине ы стоянию между тачками А н В, отсчитываемому р м по п ямой; без особого труда можно показать, что все пути между точками А и В, обладавшие этим свойством, можно составить из построенных путей и что остальные пути, соединяющие точки А и В, обладают ббльшей суммарной длиной. Легко провести более детальное исследование этого вопроса о кратчайшем 'расстоянии, причзм особый интерес представ ставляет тот случай, когда границей нигде не вогнутого тела служит тетраэдр.
В заключение я позволю себе обратить внимание на следующее: в наст астоящем исследовании я всегда предполагал, что нигде не е вогнутое тело лежит всецело з конечной части пространств . р р яства. Если всй же в геометрии, определйнно первоначальны и и аксиомами имеются прямая н точка, обпадающие тем свойством, что через эту точку к прямой можно провест вести только одну параллель, то указанное предположение не оправдывается.
Легко обнаружить, какие изменения надо в этом случае внести в мон рассужления. Кхейнтейх у Раушен, 14 августа 1894г. О РлВеистве уГлОВ ПРи ОсиОВлнии тРеуГОлъиикь а)8 ДОБАВЛЕНИЕ 11 ПО ПОВОДУ ТЕОРЕМЫ О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Настоящее добавление, прелставляющсе собою переработку моей статьи «По повалу теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного т р е у г о л ь н и к а» «) касается роли этой теоремы в г е ометрин Евклида на плоскости, Мы положим злесь в основу следующие аксиомы: 1.
Плоскостные аксиомы связи, т. е, аксиомы 1, (стр. 57 — 58); П. Аксиомы порядка (стр, 58 — 60); Ш, Слелующие аксиомы конгруентностн: Аксиомы Ш, 4 (стр. 66 — 69) в их прежней формулировке и аксиому о конгруентностн треугольников Ш в более узкой трактовке, прн которой мы будем вначале полагать, что утверждение этой аксиомы относится только к треугольникам с одинаковым направлением обхода.
На стр. 140 были определены положительные и отрицательные обходы треугольников в плоской геометрии на основе различения понятий «в п р а в о» н «в л е в о». Из опрелеления правой и левой стороны прямой немедленно следует, что из двух сторон любого угла всегда можно, и притом однозначно определенным образом, одну считать правой, а другую левой; при этом правая сторона угла будет лежать *) «(!еьег деп 8а!г чоп бег Яе!с!4!»е!! «(ег Вае!еи!Еке!!ю й!е!«(«ес!»епкййеп 1»ге!есн», Ргосееб!Вдео! !!«е Ьопбоп Мг!Ь. 8ос., т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
