Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Так как О,+О,+т,+т,)0,+т, (юод 2п),. луч й' не проходит внутри угла ~С(й'"). Справелливость аксиомы соседства Ч, доказывается следующим образом, С помощью второй теоремы о кон; г ентности треугольников и аксиомы (т7 легко показать, что для любого отрезка, лежащего внутри треу т е гольникэ можно найти конгруентный отрезок, который, исхоля нз вершины треугольника, лежит на стороне этого треугольника илн внутри его.
На основании аксиомы И!, найдатся один н притом только один отрезок ОВ','исходящий из точки О, направленный по полуоси х в ей положительную сторону и конгруентный отрезку АВ. Абсциссу р точки В' мы примбм за длину отрезка АВ: В рассмотрим теперь треугольник с нер1пинам 0(, ), и 0(0 0) ~4' 4 угольник с равными углами, как это показывает кон) руент[2я очк 0 в С . нос ото р ое отображение — 0; — 1, переводящее т у (3' ' 21' ч С в Р а точку' Р в О. Свободный конец Г отрезка, конгруентиого АВ, исхоляшеСо нз точки и нлушего по одной из сторон угла ~ССОР, либо проходящего внутрь этого угла, может быть.прелставлеи в виде: [О, т; 01 ~; О ~ О+ т можно представить в это1ч виде, лежат по другую сторону прямой СР; в этом можно убедиться на основании сказанного на стр.
207, подставив 2(Е ЛОВАВЛЕНИЕ 1! О РАВенстВе уГлОВ пРи ОснОВАнии тРеуГОльникА 217 координаты точек О и В в определитель Тем самы ем самым доказано, что внутри треугольника ОСО не существует отрезка, конгруентного АВ. Резюмируя, можно сказатгк В н ашей геометрии имеют место все указанные выше аксиомы обычной геометрии на плоскости, за исключением аксиомы А химела; ; при этом аксиому конгруеитности т ео ы рхи- р угольников надо брать в ее более узкой трактовке Ш'. Далее, имеет место теорема: Каждый угол можно делить пополаи, и существует прямой угол.
Достаточно показать, что можно делить пополам углы, исходящие из точки О, Пусть (Ь, т; О( есть поворот, переводящий правую сторону угла в В т Т левую его сторону; поворот — — 011 переводит правую сторону угла в его биссектрису, В существовании пряного угла мы убеждаемся при помощи повората ' (-, 0; 0~ . Внедвм теперь понятие зеркального оглраакения относительно прямой а следующим образом: опустим из неко-' торой зочки А на . некоторую прямую а перпенликуляр (черт. 86( и продолжим этот перпендикуляр за его основание В до точки А'такой, что отрезок ВА' конгруентен АВ; точка А' и называется зеркальным отражением точки А.
Отобразим сначала точку А с координатами а) О, р,)0 относительно оси х. Пусть угол ~. АОВ между лучом ОА и положительной полуосью х равен Ь+т, и пусть какая-либо точка, например, точка х= Т, ле;кащая на оси х, при повороте на угол Ь+т перейдет в точку А, так что е'а Р0ч.п' Т = а+ 'р~'. Точка А', служащая зеркальным отражением точки А относительно оси х, имеет координаты а,— р. Поэтому если мы сделаем поворот на угол Ь+т, то точка А' перейлвт в точку, которан изобразится с помощью мнимого числа е"'0+0'(а — (р) = — (л — (р) = Т Т т.
е. в точку, лежащую на положительной полуоси х; следовательно, угол ~ А'ОВ также равен Ь+ т и, таким образом, этот угол совпадает с углом ~АОВ. Полученный нами результат можно сформулировать так: Если у двух сниметрично расположенных прямоугольных треугольников два катета совпа лают, то соответствующие углы, прилежащие к их гипоте пузам, равны лруг другу. Как следствие отсюда, мы вместе с тем получаем более общую творе~у: Углы зеркального отображения фигуры всегда совпадают с соответствующими уг' ламии отображаемой фигуры. ИЗ того, что в нашей геометрии прямые определяютсн линейнымн уравнениями, можно без трупа получить как основную теорему учения о пропорциях (теорему 42), так и теорему Паскаля (теорему 40). Мы убеждаемся, таким образом, в слелующем: В нашей геометрии справеллнво учение о пропорциях и, далее, в ней справедливы все теорем ы а ффни ной Те ам е три и (ср..з Збй На основании справелливости аксйомы 1И, можно показать, что углы в нашей' геометрии можно однозначным образом сравнивать по их величине.
Благодаря этому обстоятельству можно доказать т е сремуу о внешнем угле треу голь ни к а (теорема 22); а именно, так как в нашей геоиетрин вертикальные углы довлвлвннв и о елвенствв ьглов пги основании тгвэгольинкл 219 всегда равны, то можно перенести в ней доказательство, ланное на стр, 81 — 82, Благоларя же тому обстоятельству, что в нашей геометрии сумма двух углов определяется однозначно, получается, с помощью аксиомы 1'т', теорема о сумме углов в треугольнике (теорема 31). Теперь мы полошлн уже к основному вопросу — к вопросу о справедливости в. нашей геометрии теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника (теоремы 11).
Из этой теоремы и из теоремы о внешнем угле треугольника следует, с одной стороны,— прн помощи дока- Х зательства от противного — те орема, обратна.я. теореме об углах при основа- В ' нии р авнобел ренн ого т р е у г о л ь н и к а (теорема 24), с другой стороны, с помощью известного локазательства Евклида, теорема о том, что сумма двух сторон треугольника боль ше третьей.
Однако,как мы покажем, нн одна из этих двух теорем в нашей геометрии не выполняется; тем самым будет доказано, что теорема об углах прн основании равнобедренного тРеугольника не нмеет в ней места. Рассмотрим треугольник ООР [черт. 87), вершины которого имеют координаты: О,'О; созФ, О; соз1, — з[п 1.
Длина (см. стр. 215) отрезков ОР и ОР нахолится при помощи конгруентного отображения: [О, 1; О~ и ~ —, О; — соз1.е' я1 Получается, что ОР е 1+1+ + — сз ЯР =з(п1=г — — + . б сз ОО=соя1=1 — — +... 2 Черт. 87. Из определения порядка чисел системы Т следует, что 00+ ОРС. 'ОР.
Итак, теорема, согласно которой сумма двух сторон любого треугольника больше третьей его стороны, в нашей геометрии не имеет места. Мы видим отсюда существенную зависимость этой глеоремы от иксиомы о конгруентности треугольников в еу широкой тоактовке. Из этого результата немелленно следует: В наией геометрии не имеет места теорема об углах равнобедренного треугольника и, следовательно, не выполняется также и иксиоми о конгруентности ~лреугольников в ев широкой триктовке. В том, что в нашей геометрии несправедлива также теорема, обратная теореме об углах прн основании равнобедренного треугольника, можно убедиться непосредственно на примере треугольника ОРЯ [черт.
871, в котором вершина 17 является зеркальным отображением точки Р относительно прядай 00, т. е. в котором вершина гс имеет координаты созФ, а(п1. Тогда, в силу доказанной ранее теоремы (стр, 217), сс ОРРс = кг.ОссР. Несмотря на это, стороны ОР и Осе не конгруентны. Длина отрезка О!с, которая получается при помощи поворота .[О; — 1; О~, равна Ой =е-'~=ОР=е', Мы усматриваем ртсюд», что в двух сии метр и чн о расположенных прямоугольных треуг аль ни. ках с одинаковыми катетами гипотенузы, вообще говоря, различны, а потому прн зеркальном отображенци отрезка относнтельно прямой отображйнный отрезок не должен быть обязательно равен отображаемому.
Как показал В. Роземанн"), в нашей геометрнн *) !Ч. йозетавп, с0ег Ан1Ьан лег еЬепеп Оеотс1г1е айве йаз 8упппе(г(еахют>, 111ззег1а()ов, ОО11)пйеп, Ма1Ь йпп„ т. 90, 1922. Там же впервые показана зависимость зыполнеявя аксиом П1, з от некоторых определанных свойств конгруентного отображения. 22О довлвление и о глвенстве гглов пги основании тгеьгольникк 221. не выполняется также и третья теорема о кон груентностн треугольников (теорема !8], даже в более узкой формулировке, касающейся лишь одинаково расположенных треугольников. Чтобы в этом убедиться, замечаем сна- я чала (черт. 881, что точки А=О, В=С, С=Ге з образуют равносторонний треугольник. Рассматривая, далее, точку О= —, 1 — «Овпг ' мы убеждаемся, что АО— = ВП, так как конгруентное отображение (О, С; Г] преобразует точку П в самое себя, а точку А — в В. Далее, путем подсчетов находим, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой СО.
Отсюда, во-первых, следует, что треугольники АСО и ВСО, С у которых все соответствующие стороны равны, расположены по одну сторону от прямой СП, н ,! во-вторых, что у этих треуголь- ников не все соответствующие углы Черт. 88. одинаковы. Мы рассмотрим ещя в нашей геометрии евклидово учение о плошадях многоугольников. Это учение было построено в 2 20 на' понятии жеуы площади треугольника. Доказательство того, что эта мера плошали равна половине произведения основания на высоту независимо от того; какую из сторон треугольника принять эа его основание, было проведено с помощью применения к симметрично расположенным треугольникам аксиомы о конгруентности треугольников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
