Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Та им образом точка С лежит вну~ри треугольника , т. ОАВ т. е. внутри этого треугольника находится отрезок, длина кото- ЗЯ7! рого равна 1. Так же, как и в первой непифагоровой геометрии, находим, что всякий угол иожно делить пополаа~ и что > ГЫРР ~ прямой угол существует, точно так же доказываются Лгрр7 р(гр рр приведенные на стр.217 — 218 теоремы о зеркальном отображении, а также теоремы чения о пропорциях и теоремы аффинной геометрии.
Все углы нашей геометрии встречаются также и в геометрии Евклида, и сравнение углов по их величине в нашей геометрии происходит так же, как и в евклидовой. ой. Отсюда вытекает справедливость теоремы о внешнем угле (теорема 22) и о суиме углов треугольника (теорема 31). Зато тео- ема о равенстве углов при основании равнобедренного трер н гольника оказывается несправедливой.
Действитель о, справедливости этой теоремы можно с помощью теор . у ' а ь тео еиы о 15* довлаленив и внешнем угле треугольника получить теорем ей б о чем му, е о ратную, о ч 'м уже упоминалось на стр. 222. В тои же, что эта обратная теорема в нашей геометрии не выполняется, можно убедить- ся хотя бы из рассмотрения треугольника ОРО с вершинами О=(0, О), Р=.(созб„,— в!п 6» ), (с=(соз 5,,+и!п Б ).
Вэтом треугольнике углы гэ и (Е равны, между тем как стороны этого треугольника ОР=2 и 0~=2 ' не равны. В этой геометрии не имеет также места учение Евклида о площадях. Несправедлива в этой геометрии и теорема о том, что сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны, так как из справедливости эт й это теоремы непосредственно следует, что всякий отрезок, леж й вн т и у ри треугольника, меньше его периметра н, стало быть, лежащи справедливость аксиомы соседства Ч . Р ассмотрение непифагоровых геометрий приводит нас з к заключению; Лля доказательства справедливости теорем и тео емы о ра- венстве углов при основании равнобедренного т нного треуголь- ника необходимы как аксиома Архимеда Ч, ,, так а а»- сиама соседе!ива Ч,.
ЛОБАВЛЕНИЕ Ш НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО «) (Напечатано в Ма!Ь. Апп., т. 57.) В своей работе «Основания геометрии», гл.! (стр. 55— 91) "«) я выставил систему аксиом лля евклидовой геометрии и показал, что можно построить евклидову геометрию на плоскости, опираясь только иа те из этих аксиом, которые касаются плоскости, и даже избегая при этом применения аксиом непрерывности.
В этом исследовании я заменяю аксиому о параллельных требованием, соответствующим геометрии Больяи-Лобачевского, и показываю равным образом, что и геометрию Больяа«Лобачевского молсно обосновать, опираясь исключительно на аксиомы, касаюи!иеся плоскосп!гг, и без использования аксиом непрерывности «««). «] Мы сохраняем для фамилии Во1уа! транскрипцию «Больян», хотя транскрипция «Ьбян» была бы более точной. (Прим.
ред.) «) См. также мою статью «По поводу теоремы о равенстве углов прн основанвн равнобедренного треугольника». Ргосееб1пяз о1 1Ье Ьопбоп Ма1Ьешайса! Бос!е!у, т. 65, 1903. (Добавление 11 этой книги.) *«"1 С тех пор соответствующая проблема была исследована также и независимо от аксиомы !Ч, характеризующей геометрию Больяа-Лобачевского. Прежде всего Дан (М. (эепи) в статье «()еЬс! беп 1пЬай зрЬапзсЬег Рте!есде», Ма!Ь. Апп., т. 60, обосновал учение о площадях в эллиптической геометрии на плоскости, не пользуясь при этом аксномамн непрерывности. Затем Г ессеи бергу (С).'Не ззе и Ье ! й) в статье «Беягбпбвпй бег е111р!!зсЬсп Пео«пе!пе«, Ма!Ь.
Апп., т. 61, удалось прв тех же предпэложеннях доказать предло!кения о точках пересе- 230 ДОБАВЛЕНИЕ И! к го НОВОЕ ОБОС НОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЮ ВОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВС О Это новое обоснование геометрии Больян-Лобачевского В отношении простоты не уступает, как мне кажется, известным до сих пор обоснованиям, а именно обоснованиям у Вол ьяи и Лобачевского, которые пользовались предельной сферой, и обоснованию Ф. К л е й н а, который опирался на проективные методы.
В обоих указанных обоснованиях было существенно использовано как пространство, так и непрерывность. Чтобы Облегчить понимание, я, следуя своей работе «Основания геометрии», сделаю сводку используемых в дальнейшем аксиом плоской геометрии, а именно ч): !. Аксиомы соединения.
1,, Для любых двух точек А, В сущеспрвуев прямая а, принадлежащая каждой из этих двух точек А, В. !р. Для двух точек А, В сущесавуеа не более одной прямой, принадлежащей лаждой из пючек А, В. 1,. На прямой сущесввуюв ло крайней лере две точки. Существуют по крайней мере ари точки, не лежащие на одной прямой. Н.
Аксиомы порядка. 11,. Если точка В лежит между точкой А и точкой С, ао А, В, С суть рлри различные точки прямой и В лежшп также между С и А. П,, Для любых двух точек А и С на прямой АС сущесавуеа по крайней мере одна точка В, такая, чво точка С лежит между А и В. П . Среди любых трех точек прямой существует не более 'одной точки, лежащей между двумя другими. О п р е д е л е н и е, Точки, лежащие между точками А и В, называются также точками отрезка АВ илн отрезка ВА. чення в эллиптической геометрии нв плоскости. Наконец, И ел ь и с лев (Л Н)е!ш э1ет) в статье «Хеце Веягднйцпй бег еЬепеп беоше1«1е», Ма1Ь. Апп., т.
64, показал, что можно постронть геометрию на плоскости без аксном непрерывности н даже без какого-либо допушення относнтельно пересекающихся нлн нрпересекаюрьнхся прямых. «1 Формулн4овка аксиом ! — П! взята нз настоящего издания. П, Пусть А, В, С вЂ” ври пачки, не лежащие на 4. и а — прямая в плоскости АВС, не одной прямой, и а — пр А В С; если при дя ая ни через одну из точек атом прямая а проходшп через одну из т р очек оа елка ка ВС или через одну из точек прирезка АС. Ш. Аксиомы конгруентности. Определение. е. Любая прямая разбивается каждой своей точко на дв й а луча называемых также нолупрямыми. !П, Если А и В суть две ирочки прямой а, и яв«яется точка лр . й ямой а', то на каждом из двух лучей прямой а, олре е деленном точкой А', .можно над»ли точку ст, та»сую, , чтобы прирезки АВ и А'В оказалигь конгруентными„ или„другими словами, равными.
то . соотношение огл~ е Ао р зков обознлчеепыя следующим образом: АВ= :А'В'. П!р. Если отрезок А'В' и отрезок А"В" конгруенвны одному и тому же отрезку АВ, лро отрезок А'В' кон- г енвен также и отрезку А"В". АВ и ВС суть два отрезка прямой а, Ш,, Пусть не имеющие и и одной общей внутренней точки, и пусть, ой , А'В' В'С суть два отрезка вой же прямо б ей «почка если при этом АВ= А'В' и ВС=В'С, ао и н е.
Пару лучей Ь и Ь, ' исходящих из О иределенне. точки с«и не о р зу б а ющих совместно прямой, мы называем углом и обозначаем его так: < (Ь, Ь) нли < (Ь, Ь). Далее, на основании аксиом П, можно определить сторону плоскости относительно некоторо р о ой и ямой; точки плоскост, скости, лежа!Бие относительно Ь по ту же сторону, что ч Ь, и относительно Ь по ту же сторону, что н у илуч,ио о называются внутренними точками угла -.,; он зуют внутренность данного угла. подавление н! Ш . Пусаь даны угол 3С(й, и), прямая а' п пусаь задана определвнная сторона прямой а'.
Пусть й' озничает луч прямой а', всходящей из точки О', в апком слкчае сущесавуеа один и аолько один пус й', обладающий следующим свойсавом: угол »Г(й, и) конгруенасн, ивп,другими словами, равен углу бС (и', й') и вместе с аем все внутренние аочки угла ~~(Л', й') находяася оп~носиаельно прямой а', по даннто саорону оа прямой а'. Конгруенаносаь угла 3С(Л, й) углу .Х(п, к) обозначасася апас ~((й, й)= — <(ь', й'), Каждый угол конгруснтен самому себе, а. е. всегда 3С(й, /г)== ~(й, й). Ш,, Если для двух треугольников АВС и А'В'С" имеюа месао ь..онгруенаносак АВ ==А'В', АС= — А'С' и 3С ВАС:— .. ~ В'А'С, то имеет место аакже и конгруентность 9С АВС = — ~.
А'В'С'. Из зксиом ! — Ш легко вывести теоремы о конгруент- ности треугольников и о равнобедренном треугольнике, а также убедиться в возможности опустить и восставить перпендикуляр н разделить пополам заданный отрезок или заданный угол. В частности, так же как н у Евклида, из этих аксиом следует, что в каждом треугольнике сумма двух сторон больше третьей.
!Ч. Аксиома о пересекающихся и не пересекающихся прямых. Мы формулируем следующим образом аксиому, которая в геометрии Вальян-Лобачевского соответствует аксиоме о параллельных в геометрии Евклида: !Ч. Пусаь Ь вЂ” пропзвольная прямая, а А — не лежащая на ней точка; аогда всегда существуют два луча а! и аг, проходящие через гпочку А и нс образую- новое овосноалнив гвомгтгии вочьяи-човлчввского 233 щие одной прямой, коаорые нв пересекпоа прямую д и обладзюа следующим свойсавол: всякий луч, лежащий внуари угла, оброзовонногоа, и а„и исходящпй из аочкк А, пересвкаеа прямую Ь [черт, 9! (.
Определение. Пусть прямая о разбивается некоторой точкой В на два луча Ь, и Ь„ и пусть лучи а,, о, лежат по одну сторону прямой АВ, а лучи аг, Ьг — по чл другую ез сторону; в таком случае мы будем говорить, °, » ° ° »у о, и, аналогично, что луч а, параллелен лучу Ьь! точно Ъ так же мы будем говорить, Черт. 91. что оба луча и, и а, параллвльны прямой Ь и что прямые, лучани которых являются полупрямые а, и а, пираллсльны прямой Ь, Отсюда немедленно следует справедливость следующих положений: Если какая-либо прямая (или луч) параллельна другой прямой (или лучу), то и эта вторая прямая (луч) параллельна первой "). Если два луча параллельны третьему, то они параллельны друг другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
