Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Определение. Каждый луч определяет конеьй о всех параллельных друг другу лучах мы говорим, что они опредегиют один и тот же конец. Луч, исходящий из точки А и имеющий конец а, обозначается вообще так: (А, а). Прямая имеет всегда два конца. Вообще прямая, концы которой суть а и р, обозначается так: (а, р). Если две пары точек А, В и А', В' и два конца а н а' обладают следующиии свойствами: отрезки АВ и А'В' равны друг другу и угол, образованный отрезкои АВ и лучом ( 4, и), равен углу, образованноиу отрезком А'В' и лучом (А', и'), то, как легко убедиться, угол, обрззованный ') Доказательстзо проводится по методу Гаусса; см., например. 8 о и о)а -!. ! е Ь а а п и, »Г!!е п!сп!енх!!й!ьспе Оеоае!г!е», (.е!рг!я, 1908 я 1921, 5 32.
довлвлеяие гм отрезком ВА и лучом (В, а), равен углу, образованному отрезком В'А' и лучом (В', а'); фигуры же АВа и А'В'а' называются конгруентными, Наконец, определим известным способом зеркальное отражение: Определение. Если из некоторой точки опустить на прямую перпендикуляр и продолжить этот последний за его основание на отрезок, еиу конгруентннй, то соответствующзя конечная точка называется зеркальным оюражением первоначальной гиочки отйосительно втой прямой.
Зеркзльные отражения точек одной и той же прямой лежат опять-таки на пряной; эту последнюю мы будем на зывать зеркальным олгображением лервоначальной лрямой. новое овосновлние геомвтгии вальян-ловлчявского 28б В'А' в точке А' под тем же углом и по ту же сторону а', под которым перпендикуляр ВА пересекает прямую а, Покажем, что прямая а' должна пересечь прямую а.
С этой целью нз двух лучей, на которые разбивается прямая а точкой Р, обозначни через а, тот, на котором лежит точка А, и проведем из В луч й, параллельный аг $!. Леммы Докажем сначала ряд следующих лемм: Л е и м а 1. Если две прямые пересекают третью под равными соответственными углами, то эти прямые безусловно не параллельны.
Доказа тельство. Положим, напротив, что эти две прямые в некоторои направлении параллельны, Если мы повернем теперь всю фигуру вокруг сереаины отрезка, отсекаемого агнии двумя прямыми на третьей, на полуоборот, т. е. построим по другую сторону этого отрезка соответствующий конгруентный треугольник, то из нашего предположения будет следовать, что две первые прямые параллельны также и в другом направлении, а это заклю.
чение противоречит аксиоме 1Ъ'. Лен ив 2. Для любых двух непересекающихся и непараллельных прямых а и о всегда найдзтся третья прямая, перпендикулярная как первой из них, так и второй. Доказательство, Из любых двух точек А и Р прямой а (черт. 921~ опустии перпендикуляры АВ и РВ' на прямую о. Пусть отрезок перпендикуляра РВ' больше отрезка АВ; отложии в таком случае АВ на В'Р от точки В' до точки А', таким образом, точка А' леясит между Р и В'. Проведем теперь через А' пряную а', которая пересекает Черт. 92. Далее, пусть й' — луч, исходящий из точки В', образующий-с лучом о такой же угол и направленный в ту же сторону, как и луч й, исходящий из точки В. Так как, согласно лемие 1, луч Ь' не могкет быть параллелен лучу й, а счедовательно, не иожет быть параллелен и лучу а, и, наверное, не пересекает луча Й, то, как легко заключить из аксиомы %, он должен пересечь луч а,; пусть Т— точка пересечения лучей Ь' и ао Так как а' по построению параллелен и', то, в силу аксиомы 11„прямая а' должна выйти из треугольника РВ'Т через сторону РТ, что и требовалзсь доказать.
Обозначим точку пересечения прямых а и а' буквой О. Из точки О опустим перпендикуляр ОВ на о; затем отложим отрезок В'й на пряной Ьот точки В до точки К' так, чтобы направление от В к Й' на прячой Ь совпадало с направлением от В' к Я. Точно так же отложим отрезок А'О от точки А на прямой а в том же направлении до точки 17. Найдем, далее, середины М и гч' отрезков Щ' и Вй'. Отрезок ММ, соединвощий эти точки, и есть искомый общий перпендикуляр к прямым а и Ь, 23б ИОВОР Овосноялнне ГеометРии вольяи.ловлченского 232 ДОБАВЛЕНИЕ !!! Действительно, из конгруентности четырвхугольников А'В'ВО и АВЯ'СР следует равенство отрезков (Я и (,Р)(Р, а также то, что О'В' перпендикулярно (!.
Отсюла, далее, мы заключаем, что четыРЕхугольники (,ИЛА и О'ЛРЛ!М д ! ! / ~( Черт. 93. конгруентны; тем самым' наше утверждение, а вместе с тем и лемма 2 полностью доказаны. Лемма 3. Для любых двух непараллельных друг другу лучей всегда найдвтся прямая, параллельная этим двум лучам, т. е. всегда найдвтся прямая с двумя заданными концами а и р. Д о к а з а т е л ь с т в о, Проведем через какую-либо точку О параллели к заданным лучам и отложим на этих параллелях от точки О равные отрезки (черт, 93]; пусть вти отрезки будут ОА и ОВ, так что ОА =ОВ, н пусть луч, идущий от точки О к А, имеет конец а, а луч, идущий от О к Б',— конец р. Соединим точку А с концом р и разделим пополам угол, образуемый двумя лучами, исходящими из точки А; точно так же соединим точку В с концом а и разделим пополам угол, образуемый двумя лучами, исходящими из точки В. Первую биссектрису обозначим буквой а, вторую — буквой Ь.
Из конгруентности фигур ОАр и ОВа следует равенство углов: «(ОА(!)=«С(ОВа), «С (аА р)= «. (аВр). Из последнего равенства получается также равенство углов, образовавшихся при проведении биссектр>к, именно: «С(аАВ) =«(аАЕ)=«С(аВб)=«С (ЬВр). Сначала надо доказать, что обе биссектрисы а и Ь не пересекаются и не параллельны друг другу. Положим, что прямые а и Ь пересекаются в точке М.
Так как треугольник ОАВ равнобедренный по построению, то «СВАО= «САВО; отсюда, в силу предыдущих равенств, находим «С ВАМ = «С АВМ, и следовательно АМ =ВМ. Соединим точку М лучом с концом а. Из последнего равенства отрезков, в силу равенства углов «С(аАМ) и «С (аВМ), следует конгруентность фигур аАМ и аВМ, а из этой конгруентности следует конгруентность углов ."С(аМА) н «С(аМВ). Так как это заключение, очевидно, неправильно, то биссектрисы а и Ь не пересекаются, Положим теперь, что прямые а и Ь параллельны; это означает, что они должны иметь общий конец, который 238 ДОБАВЛЕНИЕ <п ноВОВ ОБОсновлине ГеомРТРНБ Вольян-лОБАчеВского 239 иы обозначим буквой )<. Пусть луч, идущий от В к а, пересекает луч, идущий от А к з»в точке С, а прямую а— в точке О; докажем, что отрезки ОА и ОВ равны, Действительно, в противном случае отложим отрезок ОА на ОВ от точки О до некоторой точки В' и соединим В' лучом с концом р..
Из конгруентности фигур ОАп и ОВ')з следует в таком случае равенство углов аС (ОАа) и ~ (ОВ'р), а, таким образом, углы 5С(ОВ'р) и а< (ОВ)з) долх<иы быть также равны, что невозможно в силу леммы 1. Разеиство отрезков ОА н ОВ имеет свопм следствием равенство углов аг. (ОАВ) и бС (ОВА), а так как, согласно предыдущему, углы а<. (САВ) и ~з((СВА) также равны, то значит и углы ~С(ОАВ) н ~(САВ) должны быть равны. Это заключение, очевидно, неправильно, а потому предположение, что прямые а и Ь параллельны, надо отвергнуть.
Так как, в силу этих соображений, прямые а и Ь ие могут ни пересекаться, ни быть параллельными, то,согласно лемме 2, существует прямая с, одновременно перпендикулярная обеим прямым, Пусть эта прямая пересекает их в точках Е и Г. Я утверждаю, что эта прямая и является искомой, соединяющей оба заданных конца а и р. Для доказательства этого утверждения предположим противное: пусть а ие служит концом для пряной с. В таком случае соединим каждое из оснований Е и Г лучом с концом а. Соединив пряной середины отрезков АВ и ЕГ, мы легко убедимся, что ЕА = ГВ.
Отсюда следует конгруеитиость фигур аЕА и аГВ, а отсюда — равенство углов ~с(Аеа) и бс(ВГа); следовательно, равны также и углы, которые образует прямая с с лучами, исходящими из точек Е и Г. Это заключение противоречит лемме 1. Аналогично получается, что р также служит концом для пряной с, и тем самым лемма оказывается доказанной. Л е м м а 4. Пусть а и Ь вЂ” две параллельные.
прямые, а 0 — точка, лежащая внутри той области плоскости, которая заключена между а н Ь (черт. 9ч); обозначим через О, зеркальное отражение. точки 0 относительно прямой а, через Оь — зеркальное отражение точки 0 относительно прямой Ь и через М -- середину отрезка 0,0 ; в таком случае луч, исходящий нз точки Я и параллельный как а, так и Ь, в точке М перпендикчлярен прямой 0 0„. Доказательство. Предположим противное н восставии из точки Я в ту же сторону перпендикуляр к 0 0„.
Пусть прямая 0,0 пересекает прямые а и Ь в точкзх Р и с), Так как РО «~Р<м+ <еО» то а Ь РО, ( РО и точно так же Р <,<О„ч. ЯО„Б потому точка Я дол1кна лежать внутри той области О Р, плоскости, которая лежит между прямыми а и Ь. Следовательно, этот перпендикуляр, восставленный в точке М, должен пересечь либо прану<о а, либо прямую Ь. Поло- «г жим, что он пересекает пряную а в точке А; в такои случае ! АО„= АО и АО =АО, т. е, точка А должна лежать также и на прямой Ь, что противоречит условию леммы '). Л е и м а 5, Если а, Ь, с — трн прямые, обладающие одним и тем же концом <о, и если зеркальные отображения относительно этих прямых мы Обозначим соответственно через о„оь, Ю„то всегдз существует прямая <! с концом и, обладающая следуюз<и»1 СвайетвОм: ПОСЛедОВатЕЛьное зеркальное отображение относительно прямых а, Ь, с равносильно зеркальному отображению относительно прямой с(; это может быть выражено следующей формулой.
В«Вь а Вю Доказательство. Предположии, во-первых, что прямая Ь проходит внутри той области плоскости, которая лежит между а и с. Пусть 0 — некоторая точка на прямой Ь. ЕБ зеркальные отображения относительно пряных а и с обозначим соответственно через О, и О,. Если мы *) Этот вывод по существу созпааает с доказательствои Лобачевского, си. «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», 8 1!1, Записки Казанского университета, 1835 г., ки. 3, а также з Полном собранин сочинений по геометрии, т. 1, Казань, 1883 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
