Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

24О ДОБАВЛЕНИР РП нОВОВ ОВОснОВАние ГеометРии Больяи-лОБАчевскОГО 241 обозначим буквой и' прямую, соединяющую середину отрезка 0,0, с концом м, то, в силу леммы 4, каждая из точек О, и О, является зеркальным отображением другой относительно прямой Ф. Следовательно, операция 8„8,8АЯ, оставляет в неизменном положении точку 0 и луч, соединяющий точку Оа с концом м. Так как эта операция, кроме того, сводится к последовательному получению четырЕх зеркальных отображений, то теоремы о конгруентности учат, что эта операция есть не что иное, как тождественное преобразование; отсюда и следует наше утверждение. Легко, в о - вторы х, убедиться в справедливости леммы 5 в том случае, когда прямые с и а совпадают.

Действительно, пусть Ь' — прямая, служащая зеркальным ь зеротображением Ь относительно а; обозначим через 8 зекальное отображение относительно Ь'. Мы можем немедленно'убедиться в справедливости формулы ~а~а~а ~за Предположим, наконец, в-третьих, что прямая с по. пала внутрь той области плоскости, которая расположена между прямыми а и Ь.

В таком случае, в силу первой части этого доказательства, наверное, существует прямая г(', для которой справедлива формула: Обозначим через ее отображение прямой ег' относитель. но а; тогда, в силу второй части этого доказательства Ф е ь а 5а~а~е~ь~а ~а~ж~а 5а н тем самым лемма 5 полностью доказана. й 2. Сложение концов Мы будем исходить из некоторой фиксированной прямой и обозначим ез концы через 0 и сю. На этой прямой (б, оо) выберем некоторую точку 0 и проведем через ней перпендикуляр; концы этого перпендикуляра обозначим через +1 и — 1.

Определим теперь сумму двух концов следующим образом [черт. 95~: Определение. Пусть а и р — два каких-либо отличных от оо конца; пусть, далее, О„является зеркальным отображением точки 0 е относительно прямой а -а (п, оо), а 0 --зеркаль- е ныч отображением точки 0 относительно пря- а.р мой (р, оо); соединим середину й( отрезка ег Р, 0,0 с концом оо; другой конец построенной таким образом прямой й мы будем называть сумлеой концов а и р и будем обозначать черева ' Зеркально отобрз- Черт.

95. зим луч с концом а относительно прямой (О, оо); конец полученного таким образом луча мы будем обозначать через — а. Легко убедиться в справедливости равенств. а+О=а, 1+( — П =-О, п+( — а) == О, а+р=р+а. Последнее равенство показывает, что сл о же ни е к о нцов подчинено коммутативному закону, Чтобы локазать справедливость а с с о ц и а т и в н о г о закона для сложения концов, обозначим зеркальные отображения относительно прямых (О, оо), (и, оо), (р, оо) соответственно через Яе, 8„, Яз, согласно лемме 5 й 1, наверное существует прямая (о, ОО), такая, что для зеркального отображения Ю, относительно не6 справедлива формула: ~е ~1~0~«' 1б д, галеееае 242 ДОВАВЛЯННЯ ГП ноВое ОвоснОВАння гяомятгнн Вольки-лобАчябского 246 Так как прн операции 8 8ь8, точка О, переходит в точку О, то точка Ор должна служить зеркальным отображением О, в прямой (в, оо) и, следовательно, в=а+9, т.

е. а+р 8р808а' Пусть Т также обозначает некоторый конец; повторное применение только что полученной формулы да6т: 8«агр+т) = 8р+г8ь8« =- 8)808р808« 81 аз) «г 8)808««р 8)808р808» следовательно, ' гр+т)= 1.«р)гт н тем самым а+ (р + Т) = (а+ р) + Т. Выведенная нами формула 8а+р 8р808а показывает, вместе с тем, что принятое нами построение суммы двух концов не зависит от выбора точки О на прямой (О, оо).

Если обозначить через О' некоторую отличную от О точку прямой (О, оо) н через О„' и О' †зеркальные отображения этой точки относительно прямых (а, оо) и (р, оо), то перпендикуляром к отрезку О'О', проа ходящим через серелину этого отрезка, опять-таки будет служить прямая (а+9, 0). Мы докажем здесь ещ6 олно положение, которое понадобится прн наших рассуждениях в 9 4.

Если прямую (а, сю) зеркально отобразить относительно прямой (р, сс«), то получится прямая (29 — а, оо). Действительно, пусть Р— некоторая точка прямой получающейся нз прямой (а, сю) при е6 зеркальном отображении относительно прямой (р, оо); эта точка Р, очевнлно, останется на месте после того, как мы последовательно применим к ней зеркальные отображения: 8р, 8ь 8 „ 8ь, 8р. В силу же предыдущих формул: 8р8ь8- 8ь8р = 8ьр-а т е. образованный таким образом процесс равносилен отображению относительно прямой (2р — а, сс); таким образом, эта точка Р должна лежать на этой последней прямой. ф 3.

Умножение концов Определим теперь умножение двух концов следующим образом; Определение. Если некоторый конец лежит по ту же сторону прямой (О, оо), что н конец +1, то этот конец называется поло- в жиглельным; если же некоторый конец лежит по ту же сторону а -1 от прямой (О, оо), что и конец — 1, то этот конец называется ол)риНил)ельным. в Р Пусть а и р — два г отличных от Ои оо кон- -»в ца. Прямые (а, — а) и (р, — р) перпендикулярны к прямой (О, оо) [черт.

96~; пусть они Черт. 96. пересекают эту прямую в точках А и В, Отложим, далее, отрезок ОА на прямой (О, сс«) от точки В до точки С таким образом, чтобы на прямой (О, оо) направление от О к А совпалало с направлением от В к С. Затем через точку С проведвм перпендикуляр к прямой (О, со) и назовбм положительный или отрицательный конец этого перпендикуляра произведением ач обоих концов а, р, смотря по тому, будут ли оба конца положительны или отрицательны или же один из ннх будет поло.кнтелен, а другой отрицателен. Положим, наконец. аО=Оа=О.

!Н» ДОБАВЛЕНИЕ СП И з аксиом 1!1, „трактующих о конгруентности отрезков, мы непосредственно убеждаемся в том, что прора, а(ру) =(а~3)у, ав а) агд 7) уз' ! а .== а, ( -1) а=: — а что если концы а некоторой прямой у влетворяют уравнен ар= — 1, то эта прямая прохо дит через точку О, Выполнимость деления получается непосредственно; точно так же каждому положительному концу и можно отнести подо- а жительный (равно как и Черт.

97. отрицательный) конец, квадрат которого равен концу и и который можно поэтому обозначить через )си, Чтобы показать справедливость дис три бутивного закона для исчисления концов, мы построим сначала из концов р и у конец р + у [черт, 97! по способу, указанному в ф 2. Если мы затем найдйм по ранее указанному способу концы ар, ау, а(р + у), то мы убедимся, что это построение сводится к тому конгруентиому отображению плоскости в самой себя которое вызывает на прямой (О, оо) смещение на отрезок ОА.

Если же мы затем построим сумму концов ар и ау, исходя не т. е. что для умножения концов справедливы как коммутативр ный, так и ассоциативный законы. Так же легко пока- зать, что НОВОЕ ОВОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 245 из точки О, а из А,— а это, согласно замечанию, сделанному в ф 2, допускается, —.то в качестве этой суммы действительно получится конец а(р+у), т.

е. равенство ар+ау=а(р+у) справедливо. ф 4. Уравнения точек После того, как мы в Я 2 — 3 убедились, что счйт концов подчинен тем же правилам, что и счет обыкновен- ных чисел, построение геометрии не представляет никаких дальнейших затруднений; оно происходит в общих чертах следующим образом. Если "., Гс суть концы некоторой прямой, то концы 1+ ч и= — сг и= —, мы назовем координатами этой прямой. Справедливы сле- дующие основные положения: Если а, р, у суть ари конца, обладающие аем свойством, чао соответств ующий им конец 4ау — ра положителен, ао все прямые, координаты которых удовлетворяют уравнению аи+ ро+7 = 0, проходят через одну и ту же точку, !(о казательство.

Если построить, в соответствии со сказанным в ф 2 н ф 3, концы и принять во внимание значение координат и, о и то обстоятельство, что а во всяком случае не равно О, то указанное линейное уравнение примет вид: (х-'.+ А) (хи+ А):=- — 1. Исследуем теперь преобразование произвольного переменлого конца м, которое дайтся равенством: и'=Хм+А. 246 ДОБАВЛЕНИЕ ЫЛ 247 НОВОЕ ОВОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БО ЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО Для этого рассмотрим сначала преобразования м' ==-.

хм и м'= — и+ )„ Что касается первого преобразования, то, очевидно, умножение произвольного конца м на постоянную х равносильно, согласно сказанному в ф 3, смещению плоскости вдоль прямой (О, ОО) на некоторый зависящий от х отрезок. Послелнему преобразованию, т. е. прибавлению к произвольному переменному концу м конца 1, соответствуег некоторое, зависящее только от )ч движение плоскости в самой себе, именно движение, которое может быть рассматриваемо как вращение плоскости около конца сю, Чтобы усмотреть это, вспомним, что, согласно изложенному в заключении 2 2, прямая (и, Ою) при зеркальном отображении относительно прямой (О, аю) переходит в прямую ( — м, ою), а эта послелняя при зеркальном отображении относительно прямой ! -, сю) переходит в прямую 12' (и + ),, сю), т. е.

прибавление конца 1 к переменному концу м равносильно последовательному выполнению зеркальных отображений относительно прямых (О, оо) и ( -, сю). 12 ' Из ранее сказанного следует, что если - 'и 4 суть концы прямой, то равенствами: с'= хе+1, т)' === хг! -1- 1 Ф определяются концы той прямой, которая получается из прямой с концами с, и при помощи некоторого; вполне определенного, зависящего только от х, ), движения плоскости, Из вышеприведйнного уравнения (х':+1) (хл)+1) = — 1 лля концов с', и' следует соотношение Г~'= — 1. Согласно сделанному в ф 3 замечанию, это соотношение является условием того, что соответствующие прямые про- точк О; поэтому все прямые -, Г1), удовле- ходят через точку ; и авнению творяющи ющие первоначальному уравнени (кс+.).) (хг1+).) = — 1, и оходить через одн дну точку; таким образом, теоная нами полностью доказана б ь, что уравнение точки !1осле тог, й , гко вывести частный в координатах р ах и ямой линейно, легко прямых и теорему Де- случай теоремы мы Паскаля для пары и оженных треугольников, пе спективно расположе зарга лля и р р ективной геометрии.

Характеристики

Список файлов книги