Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

существование истинной окружности второго рода', заключающейся внутри всех истинных окружностей второго>рода, Если бы ни однз из найденных нами предельных окружностей не проходила через точку Р, то можно было бы в лежащей между ними кольпеобразвой области провести: жорданову кривую; с помощью нашего способа мы заведомо получили бы затем истинную окружность, которая;.' будучи замкнутой жордановой кривой, не относилась бы 18 Д. сильвере 276 ов основаниях геомктгин довхвлхнив сч ни к окружностям первого рода, ни к окружностям второго рода, что невозможно. Таким образом, сделанное в начале 8 12 утверждение доказано, $13. После того как мн нашли важнейшие свойства истинных окружностей с центром в точке М, проходящих внутри х, мн обратимся теперь к исследованию группы всех движений, которые испытывает истиннан окружность х при вращении плоскости вокруг точки М.

Пусть, согласно построениям 8 8, точки истинной окружности х отображены с сохранением их порядка на точки С числовой окружности радиуса 1; в таком случае каждому повороту а нашей плоскости около точки М соответствует вполне ойределенное взаимно однозначное и непрерывное преобразование точек с единичного круга в самих себя. В самом деле, при повороте, согласно сказанному в 8 5, порядок точек на истинной окружности остается неизменным, а потому остаатся неизменным, в силу 2 7, и порядок значений параметра С.

Это преобразование можно представить в виде формулы с' =й(с), где а(С) — непрерывная возрастающая или убывающая функция, которая при увеличении аргумента С на 2п изменяется также на 2п. Функциям Д (С), которые убывают при увеличении аргумента С, соответствуют преобразования, меняющие направление обхода на истинной окружности, а так как, в силу нашего определения понятия движения, направление обхода долькно при движении всегда сохраняться, то оказывается, что при возрастании аргумента С функция а(С) должна всегда также возрастать.

ф !4. Выясним сначала, может ли в этой группе вращения вокруг точки М существовать такой поворот, прн котором точка А истинной окружности х остается неизменной. Пусть С = а — параметр такой точки А и пусть эта точка остаатся неизменной при некотором повороте й, который мы представим формулой с' = л (с). Д ,  — некоторан точка истинной окружности х далее, пусть с параметром а аметром С= Ь, меняющая свой положение при вра- не ограничиваем общности наших рассуждений. Как функция з(С), так и обратная ей функция й-'(С) при бнвании аргумента убывают.

Так как а(а)=и, то можно представить с помощью символических степеней й (Ь), аа(Ь)=й'(Ь), йь(Ь),..., а ' (Ь), а-з(Ь), а-ь(Ь). меньше и, Если а(Ь)ь Ь, то величины й(Ь) йь(Ь) .Р(Ь),... о разусот б воз„встающую последовательность. сли же й(в), то это и)<. Ь, то же утверждение справедливо для после- довательности й-1(Ь), й-г(Ь), й-з(Ь), мн заключаем, что непосредственное повторение тсюда мн й ношению к Ь в первом случае и симво- лические отрицательные степени а(Ь) во втором случае должны при л п иближать нас к некоторому предельному зна- чению сс, которо о орое либо лежит между а и Ь, либо совпа- дает с а. усть р .

П п едельному значению д соответствует некоторая точка 0 нч истинной окружности х. Тогда сте- пени й с положительными нли, сеответственно, отрицатель- ными показателями образуют движения, при которых точ- ка подходит в конце концов сколь угодно близко к 0 же в емя точки, находящиеся в сколь угодно маль годно малой лой ок естности точки О, остаются в сколь у ло окр окрестности точки О. Согласно аксиом н ме И! в таком случае должно существовать дви,кение, переводящее точку В в 0 на месте, что, и н то же время оставляющее точку н однако, п отиворечит понятию движения, Сле ле вительно, поворот з, который оставляет на месте точку А, обя- зательно должен освавлявь на месте все точки окруж- ности х, т.

е. должен для втой окружности сводилсьсн к тождественному преобразованию. 18ь 277 278 довавленив п~ ов основаниях гвометгии 8 15. Из определения истинной окружности непосредственно ясно следующее: Существует ~лакай поворот вокруг точки М, который переводит одну произвольно заданную точку О истинной окружности х в другую произвольно заданную точку Л той же окружности. ф 16..Мы .найдем сейчас еще одно свойство группы движений, переводящих истинную окружность в самой себя.

Пусть О, Я; Т, Л вЂ” четыре точки истинной окружности х, выбранные так, что при повороте вокруг точки М, переводящем точку О в Л, точкз Т переходит в х, и, таким образом, положение точки о однозначно определяется точкаии О, Я, Т. Если мы точку О закрепим на месте и будем точки о и Т передвигать по истинной окружности, ао при непрерывном изменении положения точек Я и Т положение точки л будет ментлься также непрерывно. Чтобы показать это, возьмйм две бесконечные последовательности точек Я~, Яг, Яь,... н Т, Т, Т,..., схо дящиеся соответственно к точкам Я и Т. Повороты вокруг точки М, при которых точка О переходит в Яо Я„ Я„ ... мы обозначим через Ьи а„ Ь„..., а точки, в которые в результате этих поворотов переходят точки Т„ Т„ Т„..., обозначим через Ло Е„ Е„...; требуется в таком случае показать, что точки Е„ У„ Е„ ...

сходятся к точке Л. Пусть оь служит точкой сгущения множества точек Ео х„ Согласно аксиоме 1!1, существует в таком случае вращение вокруг точки М, которое точку О переводит в Я и в то же время точку Т вЂ” в х". Таким образом, оказывается, что точка Ль определена однозначно и тоягдественна с точкой х. ф !7. В Я 1 4 † мы узнали, что группа всех вращений истинной окружнпсти х, переводящая эту окружность в самое себя, обладает следующими свойствами: 1, Не существует никакого поворота вокруг точки М— кроме, конечно, тождественного преобразования, — который оставил бы на месте одну какую-либо точку истинной окружности х. й 2, Если и сут О 5 уть две произвольные точки истинно окружности х, то всегда существует поворот вокруг точки М, 3. Пусть при некотором повороте вокруг М точка в 8 и вместе с тем точка Т переходит в л; переходит в и вме ие точки Л однозначно р определяемое этим условием положен и Я и Т неп ерывно на х меняется непрерывно, когда точки и не р перемещаются по окружности х, Эти т и свойства вполне определяют построение группы преобразований Ь(г), которые соответствуют ~ыыююя, переводящим истинную окружность х ь в самой себя.

именно, мы устанавливаем следующую теорему: Г а всех движений истинной окружности х, перед рупп В в Самой себя и являющихся вращениям и во ящих е в с о Фна г ппе обык- еокруг точки М, головдрически изоморфна гру пе новенных вращений единичной числовой окружности вокруг точки М в самой себе. ф 18. Тот поворот около точки М, который переводит.

очк О истинной окружности х с параметром 0 в точку 8 с параметром г,мы запишем посредство. р р м и еоб азования г'=Ь(1, г), йм ф нкция Ь(7, г) удовлетворяет условию Ь(, )=, ! 0)=г, прич м у В таком у В случае иа основании найденных н м ами свойств нк ия.((1, г) группы ира и ащения мы можем утверждатгч что функци (, ) бонх пе е; однозначна и непрерывна при всех значениях о р; менных 1 и т Так как при двух соответствующих друг друг у значенинх и переменная г определяется однао 2п то из значно с точностью до слагаемого, кратного и, то из предыдущего следует, что функция Ь(г, г) прн постоянном значении и в р ии ! и возрастающем г либо постоянно возрастзет, либо постоянно убывает. Так как эта функция при переходит в г, то необходимо должен ме и ть место первый случай.

Итак, .)(1, 1)>б(0, !), й(0, 1) =Г; (1) 0), а гак как Ь (2п, г) = — 2п + 6 (О, г) = 2п + г, 279 ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ дОНАВЛЕНИЕ ГУ то Ь(2п, 2н)= 4ГГ. Ь(1, 1) =' т (2л) ~ Стало быть, функция Ь (1,1) ( > 1) одной переменной Ф постоянно возрастает от 0 до 4п, когда аргумент 1 возрастает от 0 до 2к, Из этого обстоятельства мы тотчас же выводим следующее: Любому положительному числу 1' ~ 2п соответствует одно и только одно положительное число 1, для которого при этом 1(1', Значение параметра 1((2п) дает нам на истинной окружности х такую точку, что при некотором повороте вокруг точки ГИ точка 1 = 0 передвигается в точку 1, а точка 1 — в точку 1', Обозначим то значение ~, для которого Ь(1, 1)= — 2п, через у (-2-); то значение 1, для которого т (2)' — через у ( —,); то значение 1, для которого — через и ( — л)...; далее, положим вообще: ( (2л) (г (2л))=9( — „), где а означает целое число и л — целое число ~л1.

Да- лее, положим: ~р(О) =О, у(1) =2гг. Тем самым функция у непротиворечиво определена для всех рациональных значений аргуиента, знаменатель которых представляет собою некоторую степень 2. Любой положительный аргумент О мы разложим в двоичную дробь вида = — '+~+ — ~+ ", с ть цифры, каждая из которых равна где г, г„г„... у либо О, лицо . ак б 1. Т как числа последовательности лг (2 ) ' т ( 2 + 2 ) ' т ( 2 + 2Е + 2л ) ' ' ' ' заведомо никогда не убываю т и все «;(1), то они приближаются к .некоторому преде у, р л, кото ый мы о означим , Ф нк ия (О) с возрастанием аргумента посто- через а(О), ° ункция (г,п, с астает; покажем, что она также р р неп е ывна. й Действительно, если бы эта функция в н ~„+ 1 ! Еа г Г л 7 2 + 2л 1 2л 1 ' '' 2» 2л претерпевала разрыв, то , то оба предельных ев значения „ (а„) „ 7 (а„ + 1 ) от л га и, стало быть, бесконечбыли бы отличны друг от лру ная последовател о тельиость точек соответствующих парамет- рам '=Ф (2') г='р (2л) ' ' (2а) ' инной от той точки, к которой сход илась бы к точке, отлично овательность точек, соответсходится бесконечная последо ствующих параметрам 11 ( ал+11 ал+1 2 )' 1 г' пе ехоВращение благодаря котор-у точка =р 2 — '" — пе ~ы~ш также одновременно дит вточку 1 = †(р †" „ ~, переводит ( 2л 2В1 ,2йО ДОБАВЛЕНИЕ ГЧ ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ - «уй= ('-") ° — т 2Н ТОЧКУ г=(Ь .

а ТЕК р( ) /1) ! !1л 2 ) ' 'л2г ) т ~2г ) ~ ° .. постоянно убывают и, слело- вательно, точки соотв т а, етствующие этим значениям па р, лолжны схолиться к некоторой точке А то в ралле- часто применявшег точке , то, в силу указанные анее б гася нами следствия нз аксиомы Ш, б р есконечные последовательности точек должны сходиться к одной и ой Так как ф н то же точке. рывна то она о ак как функция р(а) постоянно возрастае т и непредопускает также н однозначное ное обращение, е непрерывПоворот около точки М, благоларя которому точка тем точку Ь= ~~-м) г е /Ь р ~~ ), д Ь вЂ” некоторое целое число, в точку Ь= ,Ь' р (,„— + — ) . Так как при и= Оо юю~ р (2"„стремятся к р(а), а числа '" ~ — — тц ) стремятся лЬ„,, «р ( — + ), то, в силу аксиомы Ш, существует ~ма- рат, перелвигающий точку г = О в, й= ( ), от, = в, .= р (а), а точку Ь=р (ф) в Ь= р ( — "'+а), т.

Характеристики

Список файлов книги