Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Возьмбм теперь два луча, исход щ я ие из одной точки М и не образующие вместе истинной р п ямой; опишем около точки о ки М окружность, конгруентную х, и из двух нык этими лучами частей окружнос ф ру о ти икси ем вырезанных эти па амет а ы, мень- ту, к , которой соответствует интервал и р . р ший и. Установленное направление обхода ведет в таком с лучае внутри фиксированной гас ру ти ок жности от одного луча к другому. Мы назовом первый у р л ч п аной стороной й угла между обоими лучами, а втор у ой л ч — его лево ЗОЗ ДОВАВЛЕИИЕ !Р Ов ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ стороной, — сам же интервал параметра ( "и) б нас сл жить а ' и) удет для опеее я у мерой этого угла.
В таком случае из нашего орема о конгруентр д л нн движения следует первая теорема ности двух треугольников, которую мы сформулируем так: Если для двух треугольников АВС и А'В'С имеют место конгруентности: АВ: — А'В', АС = — А'С', ~ ВАС = ~С В'А'С' и если, кроме того; АВ и А'В' суть соответственно правые, а АС и А'С вЂ” левые стороны у ~ ВАС ~~ В'А'С', т ' ', то сираведпивы также конгруентности: 9. АВС= ~А'В'С и »пАСВ=†~А'СВ', ВС = В'С'. ф 42.
После того, как в Я 30 — 40 дано определение истинной прямой и выведены е6 свойства иам п и различать двя случая; Во-первых, предположим, что существует только одна прямая, проходящая через данную точку и н и не пересекающая данной прямой (аксиома параллельности), В таком случае в нашей плоскости выполняются все те аксиомы, которые были мною установлены (относительно плоскости) в основной части этой книги (глава 1),с тою только оговоркой, что аксиому И! надо брагь в более узкой фо формулировке, которая была дана в 9 41.
Но даже и при более узкой формулировке указанной аксиомы из этой системы аксиом с необходимостью следует евклидова геометрия а т я на плоскости (смотридобавлеиие И, стр. 202, а также глава!, стр. 92 — 93). Во-вторых, предположим, что через каждую точку А проходят два луча, не составляющие вместе прямой и не кий лч пересекающие некоторую заданную прям ю й, п и 6 внутри ки луч, исходящий из точки А и проходящий учами, пересекает угла, образованного указанными двумя л чами п прямую а. случае полу- Используя непрерывность, легко в таком с ча точкиАин с чить, что и обратно — любым двум лучам исхо я одящим из и не составляющим вместе прямой, соответств е ует вполне определйлная прямая и, не пересекающая эти лучи, но пересекающая всякий луч, исходящий из точки А и проходящий внутри угла, образованного этими двумя полу- прямыми.
При этих условиях получается геометрия на плоскости Лобачевского-Больяи лаже в том случае, когда в основу положена аксиома о конгруентности !И, в е6 более узкой формулировке, как это можно показать с помощью моего исчисления «Воинов» +). В заключение я хочу указать на характерное различие между предлагаемым обоснованием геометрии и тем, которое я пытался дать в основной части этой книги, Там был указан такой порядок аксиом, при котором требование непрерывности находилось на последнем месте позади остальных аксиом, так что при этом естественно возникал вопрос, в каком обьеме известные теоремы и доказательства элементарной геометрии от требования непрерывности ие зависят.
Напротив, в настоящем исследовании вопрос о непрерывности был поставлен посредством определения плоскости и движения на первом месте перед всеми опальными аксиомами, так что здесь важнейший вопрос состоял в том, чтобы найти наименьшее число требований, из которях можно было бы, при дальнейшем использовании непрерывности, получить элементарные образы геометрии (окружность и прямую) вместе с их свойствами, необходимыми для построения элементарной геометрии, И действительно, настоящее исследование показало, что для 'этого достаточны требования, выраженные выше в аксиомах 1 — И!. Геттингея, 1О мая 1902 г.
е) См. Мою статью «Новое обоснование геометрии Лобачевского-боль»и», составляющую добавление И1 этой книгиПриведеииый там способ доказательства надо соответствующим образом изменить, а именно, там надо ввести понятие непрерывности, опустив при этом использование теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Чтобы получить теоремы о сложении коннов(стр. 240 †2), следует сложение рассматривать как предельный случай вращения плоскости, когда точка, вокруг которой Вращается плоскость,удал»с~с» в бесконечность.
о повягхностях постоянной глхссовой кгивизны 808 ДОБАВЛЕНИЕ Ф' О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОИ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ О поверхностях постоянной отрицательной нриеиэны Согласно Б е л ь т р а м и ь), поверхность постоянной отрицательной кривизны осуществляет кусок плоскости Л обач е в с к о г о (неевклидовой плоскости), если принять за прямые плоскости Лобачевского геодезические линии поверхности постоянной отрицательной кривизны, а зз длины и углы плоскости Лобачевского — настоящие длины и углы на этих поверхностях. Среди исследованных до сих пор поверхностей постоянной отрицательной кривизны не нацаось ни одной, которая простиралась бы непрерывно и имела бы непрерывно меняющуюсн касательную плоскость в окрестности любой своей точки; напротив того, все известные до сих пор поверхности постоянной отрицательной кривизны облздавт особыми лининми, за которые невозможно продолжать эти поверхности непрерывно и с непрерывным изменением касательной плоскости.
Вследствие этого не удайтся с помощьв ни одной из известных до сих пор поверхностей постоннной отрицательной кривизны осуществить целиком есю плоскость Лобачевского, и нам кажется, что представляет принципиальный интерес вопрос о том, можно ли вообще плоскость Лобач еесного е целом представить по способу Бель арами с помощью ана- *) Овгпа1е гй Ма(еша((сЬе, т. б, 1868. лиаичесной *) поверхности постоянной отрицааельной кривизны. Чтобы дать ответ на этот вопрос, мы будем исходить из предположения, что существует аналитическая поверхность постоянной отрицательной кривизны — 1, которая в конечном повсюду регулярна и не имеет особых точек; мы покажем, что это предположение приводит к противоречию. Чтобы окончательно характеризовать поверхность, существование которой мы преаполагаем, необходимо приписать ей еще следующее свойство: Каждая точка, лежащая в конечном и предельная для точек этой поверхности, также является точкой этой поверхностиьч).
Если О есть некоторая точка этой поверхности, то всегда можно выбрать прямоугольные оси координат х,у,х так, чтобы точка О служила началом координат и чтобы уравнение поверхности в окрестности этой точки О имело вид; я=ах'+Ьуз+ е(з(х, у), (1) *) Ради простоты изложении я предполагаю здесь, что рассматриваемые поверхности имеют аналитический характер, хотя как способ доказательства. так н полученный результат (см.
стр. 311) остаются в силе н при преаположеяни, что функцнв Э)(х,у) в уравнении (1) явллетсл достаточно далеко дифференцнруемой неаналитнческой функцией, Тот факт, что действительно существуют неаналнтнческие, но в смысле теории поверхностей регулярные поверхности постоянной отрицательной кривизны (которые, в соответствии с доказанной дальше теоремой, не могут простираться повсюду непрерывно с непрерывным изменением касательной плоскости) был по моему предложению похазая Г. Л юг к ем ей е ром в его диссертации: Се. Е Я1кею е у е г, «()еЬег беп апа)у((зс(зеп Спагааег бег 1п(ейга1е гоп рагйейеп (И(егеп()а18(е(с)елпйепь, С«б((епяеп, 1902. "*) Смысл зтого условия заключается атом, что запрешаетсн рассматривать ограниченный кусок поверхности без граничной линни.
Если же рассматривать такой кусок вместе с границей, то зто противоречило бы требоваяню регулярности в окрестности любой точки (если применить его к точкам границы). В результате запрепгено рассмотрение ограниченных кусков, чего и нужно было добиться, так как иначе доказываемая теорема была бы. конечно, очевндпым образом неверна. (Прим. ред.) 20 д. Гнльбере довлвлвниз 7 о повагхностях постоянной ел«псовой квивизны 992 где а и Ь вЂ” постоянные, связанные соотношением: 4аЬ = — 1, а степенной ряд э(1(х,у) содержит члены не ниже третьего порядка относительно х н у. Очевидно, что ось я будет в данном случае служить нормалью к поверхности, а оси х и у будут давать те направления, по которым определяются главные кривизны. Уравнение +Ьу» В определяет две асимптотические касательные к поверхности з точке О, лежащие в плоскости ху следовательно, эти две касательные никогда не сливаются и дают направления, по которым проходят асимптотические линии к поверхности в исследуемой точке.
Каждая из этих асимптотнческих линий принадлежит некоторому однопараметрическому семейству асимптотическнх линий, заполняющих окрестность точки О регулярно и без пробелов. Поэтому если мы под и и о будем понимать достаточно малые числа, то можно сделать следующее построение. Отложим на одной из двух асимптотических линий, проходящих через точку О, дугу, длина которой равняется значению параметра и, через конец этой луги проведбм вторую асимптотическую линию и отложим на ней дугу, длина которой равняется значению параметра о; полученная таким образом точка — конец второй дуги — однозначно определяется значениями параметров и и о, Если мы, в соответствии с этим, будем рассматривать прямоугольные координаты х, у, з точек по.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
