Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Вследствие краткости локлада я могу только наметить то, как я представляю себе это совместное построение. Поэтому я прошу меня извинить, если мне удастся пать вам только приблизительное представление о том, в каком направлении продвигаются мои исследования, Длз облегчения понииания я буду пользоваться обычным «словесным» языкои и выраженными с его помощью законами логики более широко, чем это желательно при точном построении. Объект нашего мышления мы будем называть мыслимой вещью или, короче, пещью и обозначать знаком.
В основу наших исслелований иы клалзм сначала иыслимую вещь 1 (единицу). Соелинение этой неши с самоа собой, по лва, пб три или по нескольку раз, как-то: 11, 111, 1111, мы булем называть к а м б и н а ц и е й вещи 1 с самой собою; точно так же любые комбинации этих комбинаций, както. (1) (11), (11) (11) (1!), ((!) (11)) (11), ((111) (1)) (!), также называются комбинациями той же вещи 1 с самой си о т б ю Э и комбинации опять-таки будут называться просто 1 б дет вещами, а положенная в основу мыслимая вещь улет называться и р а с Г о й вещью.
327 Зйб ДОБАВЛЕНИЕ Ч!$ Теперь мы к этому присоединяем другую простую мыслимую вещь и обозначаем ей символом = (равно). После этого мы создайм комбинации этих двух мыслимых вещей, как-то: Мы буден говорить, что комбинация а простых вещей 1,=отличается от комбинации Ь этих же простых вещей, если они где-либо отклоняются друг от друга по способу комбинировании, по последовательности комбинаций илн по выбору входящих в ннх вещей 1,.=, т.
е. если коибннации а и д не тожде стне ни ы друг другу. Представим себе теперь, что комбинации этих лвух простых вещей разбиты на два класса: на класс с у ще ствующих комбинаций и на класс нес уществующи х, Каждая вещь, принадлежащая к классу существующих, отличается от любой вещи, принадлежащей к классу несуществующих. Каждая комбинация двух простых вещей ),=принадлежит к одноиу из этих двух классов. Если а является комбинацией двух положенных нами в основу вещей 1,=, то мы будем обозначать тоже через а и в ы с к а з ы в а н и е: «а принадлежит к классу существующих вещей», а через а — высказывание: «а принадаежит к классу несуществующих вещей».
Мы буден говорить, что утверждение а и с т и и н о, если а принадлежит к классу существующих; напротив, мы будем называть а и с т и и н ы и, если а принадлежит к классу несуществующих„утверждения а и а образуют п ротнн оречие. Совокупность двух высказываний А и В, которую мы будем обозначать Л)В и которая словесно выражается так: «из А следует В» или «если А истинно, то В также истинно», мы будем также называть высказыванием, называя при этом А и осыпкойй, а  —.заключением. ОВ ОСНОНАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФЫЕТИКИ Посылка и заключение сами могут состоять опять-таки из нескольких высказываний, какк-то: А А и, соответственно, „В, В,; мы это будем обозначать так: А,иА,)В,лВ,лВ» ) А и А следует В, либо В», и выражать словами; «из либо В»» и т.
л. так как Используя знак л («либо»), можно было бы, т от нцание нами уже было введено, устранить знак Р в этом докладе исключительно однако я использую его для того, что ы в б возможно ближе подойти к обычной речи. А А, ... Ны будем понимать те высказывания, к, к зтко вы ажаясь, возникают из высказывания, ) путем подстановки на место «п р о и з в о н спим ых веще й 1, = и их комбинаций.
В таком слунае высказывания Л»л»л»,... Л Л,... и, соответственно, А, и А» и Л,, мы будем записывать следующим образом: Л(х!Ю), словесно: «по крайней иере для одного х» и, сооответственно: А (х1"!), словесно: «для каждого отдельного х».
В этой записи мы усматриваем только сокращенный способ письиа. х ве ей 1,=иы Из п»ложенных нами в основу двух веще создадни следующие высказывании: 1. х=х, 2. (к=у и тн(х)) ) тп(у). П и этом х (в смысле х!Ю) может означать каждую ри этом х в х положенных в основу мыслимых вещ ей и каждую из двух пол мысле бх"!) точно так же комбинацию этих последних; у (в смыс может быть каждой из этих вещей и каждой их комби- нацией а «э(х) — «произвольная»' комбинзция, солержах!«!); 2-е высказывание щая «произвольное» х (в смысле словами выражается так: из к=у и ю(х) следует пу(у).
Высказывания 1 и 2 образуют определение поня- тия = (равно) и называются также а к си омами. Ф) л — от слова «либо» (у Гнльберта о. — о . — от слова «обе«»). 328 ДОБАВЛЕНИЕ Ум ОВ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФЧЕТИКИ ззэ Если в аксиомы 1, 2 вместо произвольных х и у подставить простые вещи 1,= или их отдельные комбинации, то получатся отдельные высказывания, которые назынаются с л е дс т в и я м и м и этих аксиом. Будем рассматривать го рода, что по- последовательность некоторых ныводов такого о а,ч сылка последующего вывода в этой последовательности тоЕсли мы т и ждественна с заключением предшествующ г у е о ему вывода ели мы теперь примем в качестве посылок — посылки п редшествующих выводов, а в качестве заключения — заклю чение последнего вывода, то мы получим новое высказывание, которое может быть опять-таки названо следствием аксиом, Продолжая делать заключения этим иетодои, мы можем получать и дальнейшие следствия.
Выберем теперь из этих выводов те, которые имеют простую форму высказывания а (утверждения без посылки), и обьединнч все возникающие таким образом вещи а в класс существующих, в то время как отличающиеся от них вещи принадлежат к классу несуществующих. Мы убеждаемся, что из высказываний 1 и 2 всегда получаются следствия тоаько вида а=-а, где а есть некоторая комбинация вещей 1,=. Аксиомы 1 и 2, со своей стороны, ВЫПОЛНЯЮтся в смыслв указанного разбиения вещей на дна класса, т, е.
явлвются истинными высказываниями; вследствие этого свойства аксиом 1 и 2 мы назо 6 н ов и определяемое ими понятие=-(равно) непротиворечивым понятием. Я хотел бы обратить ниимание на то, что аксиомы 1, 2 вообще не содержат высказывания вида а, т. е. высказывания, благодаря которому некоторая комбинация попадает в класс несуществующих. Таким образом, мы могли бы также удовлетворить этим аксиомам, если бы мы поместили в класс сущестнующих все комбинации этих двух простых вещей, а класс несуществующих вещей оставили бы пустым.
Ранее выбранное нами разделение на дна класса вс6 же лучше показывает, как следует поступать в дальнейшем, когда мы нстречаемся с более трудными случая П о ми, родолжая построение логических основ матеиатнческого мышления, иы к двум основным мыслимым вещам 1, = присоединяем, далее, еще три мыслимые вещи: б (беско- печное множество, бесконечное), с (следующее), с' (ведущая операция), установив для этих последних следующие а.сионы: 3, с(б х)=б(с'х), с (б х) = с (б у) ( б х = б у, 5, с(бх)=б!.
При этом произвольное х (в смысле лоб) может означать каждое из пяти положенных нами теперь в основу мысаимых вещей и каждую их комбинацию. Мыслимую вещь б мы будем кратко называть бесконечным множ е с т в о м, а комбинацию б х (например, б 1, б (11), б с)— элементом этого бесконечного множества. В таком случае аксиома 3 ныражает, что за каждыи элементом бх следует вполне определЕнная мыслимая вещь с(бх), которая равна некоторому элементу б(с'х), т.
е. опять-такн принадлежит множеству б. Аксиома 4 говорит о том, что если за .двумя элементами множества б следует один и тот же элемент, то и эти перноначальные элементы равны друг другу. Согласно аксиоме 5, в б не существует элеменга, за которым следовал бы элемент б1; поэтому этот элемент б1 мы будем называть первым элементом в б. Мы должны теперь аксиомы 1 — 5 поднергнуть соотнетстнующему исследонанию, подобно тому, как мы это сделали раньше с аксиомами 1,2; при этом надо отметить, что действие этих аксиом 1, 2 расширилось, поскольку теперь произвольиые к, у означают любые комбинации пяти простых нещей, положенных нами в осйову.
Мы сиона станин вопрос о том, находятся ли некоторые следствие из аксиом 1 — 5 в противоречии друг с другом, или же напротив, положенные нами в основу пять мыслимых вещей 1, =,б, с, с' н их комбинации можно так распределить между классом существующих и классом несуществующих, что аксиомы 1 — 5 по отношению к этому распределению на классы выполняются, т. е. что всякое следствие из этих аксиом становится истинным нысказыванием в смысле этого распределения на классы, Чтобы Ответить на этот вопрос, обратим внимание на то, что аксиома 5 ДОБАВЛЕНИЕ НП ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И 'АРИФМЕТИКИ ЗЗ1 является единственной аксиоиой, дающей повод к высказываниям вида а, т. е, дающей повод к тому, чтобы некоторая комбинация а из пяти положенных в основу мыслимых вещей принадлежала к классу несуществующих, Поэтому высказывания, которые вместе с аксиомой 5 образуют противоречие, во всяком случае должны иметь вид: б.
с (бхнп) = б 1' однако такое следствие из аксиом 1 — 4 ни в коем случае не Может быть получено. Чтобы усмотреть это, назовям равенство, т. е. Мыслимую вещь а= Ь, однородным равенством в тои случае, когда как а, так и Ь являются комбинациячи двух простых вещей, или когда а и Ь оба являются комбинациямн трех, или — оба четырех, или ббльшего числа простых вещей; например, равенства (11) = (сб), (сс) = (бс'), (с 11) = (б1=), (с1) (с1) = (1 111 ), (с (сс'б)) = ( 1бб!), ((сс) (111)) = ((1) (11)) (11)), (сб!11=) = (бб111б) называются однородными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
