Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

поверхности принадлежит сфере радиуса 1„ Пусть теперь максимум ббльшего из обоих главных радиусов кривизны нашей поверхности ) 1; в таком случае мы предположимг что, вопреки нашему утверждению, внутри этого куска поверхности существует точка О, в которой достигается этот максимум. Так как эта точка О омбилической заведомо быть не может и, кроме того, является ь) 65В1пдег Ь(асЬпсЫеп, 1899, стр. 44.

Сравнн также интересные работы того же автора в Ма1Ь. Апп., т. 53 н 54. **) Г. Люткемейеру в его диссертации, цитированной на стр. 305, н Е. Хольмгрену в Ма1Ь. Апп., т. 57 удалось доказать анаантнческнй характер поверхностей постоянной положительной хрнвнзны. регулярной точкой нашей поверхности, то окрестность этой точки будет покрыта каждым из семейств линий кривизны однократно и без пробелов, Если мы примем линии кривизны за координатные линии, а самую точку Π— за начало этой координатной системы, то, как извес~но из теории поверхности постоянной положительной кривизны, будут справедливы следующие положения ь): Пусть г, означает ббльший нз главных радиусов кривизны точки (и, о), лежащей в окрестности начала координат О =(О, 0); в этой окрестности имеем г, ) 1.

Положим р= г )оа,' 1 г,+1, положительная действительная величина р, рассматриваемая как функция и и о, удовлетворяет следующему уравнению в частных производных: Рр + Рр е-гр — ег~ (4) диг дед 4 Так как с уменьшением г, функция р возрастает, то она, будучи рассматриваема как функция переменных и но, должна в точке и=О, о=О иметь наименьшее значение, а потому разложение р в степенной ряд цо и и о должно иметь вид: р= а+ аиг+ грин+ Тог+..., где а, а, 'р, Т суть некоторые константы, причйм квадратичная форма пи'+ 2»из+ тог ни при каких действительных значениях и и о не принимает отрицательного значения. Из этого последнего обстоятельства для постоянных величин а и ? вытекают следующие неравенства; а~О и Т)0.

(5) Подставим, с другой стороны, разложение р в дифференциальное уравнение (4); в таком случае при и=О и *) Р а г Ь о н х, «Ьесопь еш 1а 1Ь6опе дапаге!е йее енг(ассе», т. 3, Ьй 7?Ь; В1а и с Ь!, «Ьег1оп1 83 яеоше!па й(1(егепг1а(е»,$ 264. 314 ДОБАВЛЕНИЕ У ДОБАВЛЕНИЕ Л О ПОНЯТИИ ЧИСЛА о=О мы получим: 2(а+у)= — —, Так как постоянная а совпадает со значением р в точке 0=(0, 0) и, стало быть, эта постоянная положительна, то выражение, стоящее в правой части этого равенства, во всяком случае (О; поэтому из этого равенства вытекает, что а+у(0, что противоречит неравенствам (5).

Итак, мы убедились в несостоятельности нашего предположения, согласно которому точка, в которой достигается максимум ббльшего из радиусов кривизны, лежит внутри рассматриваемого куска поверхности; тем самым справедливость высказанной выше теоремы доказана. Отсюда, как уже было упомянуто, непосредственно следует теорема о том, что замкнутая, не имеющая никаких особенностей поверхность с положительной постоянной кривизной, равной 1, есть сфера радиуса 1.

Этот результат указывает вместе с тем на то, что сферу нельзя изгибать как целое без того, чтобы на ней не возникла какая-либо особенность. Наконец, для незамкнутой поверхности эти исследования приводят к следующему результату: если вырезать из сферы произвольный кусок и затем этот кусок как угодно изогнуть, то максимум большего из двух главных радиусов кривизны, полученных таким образом, всегда будет лежать на границе этого куска поверхности.

Геттинген, 1900. (Перепечатано из ЗайгезЬег1сЬ1 дег Реп1зсйеп Ма(Ьета(1- кег-чеге1п1днпй, т. 8, 1900, с пропуском одной теоремы в конце этой статьи) Просматривая и сравнивая между собою многочисленные работы, посвящзнные принципам ар и ф ме т и к и и аксиомам геометрии, мы, наряду с многочисленными аналогиями и случаями сходства между этими двумя предметами, замечаем, однако, и существенное различие в отношении методд а исследования. Припомним сначала, каким путзм вводится понятие числа. Исходя из числа 1, обычно преаставляют себе, что в процессе счйта возникают следующие за ним целые рациональные положительные числа 2, 3, 4,...

и развиваются законы счйта с ними; затем приходят, опираясь на требование выполнимости вычитания во всех случаях, к отрицательным числам; далее определяют дробные числа как пары чисел; в результате каждая линейная функция имеет корень, и, наконец, определяют действительное число как сечение или как фундаментальную последовательность, в силу чего всякая рациональная меняющая знак функция и вообще всякая непрерывная меняющая знак функция обращается где-либо в нуль.

Этот метод введения понятия числа мы можем назвать генетическим методом, так как наиболее общее понятие действительного числа р а з в и в а е т с я в нйм из простого понятия о числе путем последовательных обобщений, 316 ДОВАВЛЕНИЕ ГГ Существенно иначе поступают при построении геомет- рии. Здесь обычно исходят из предположения о существо- вании всех элементов, т; е. заранее предполагают, что существуют три системы вещей, а именно, точки, прямые и плоскости, и затем, в существенном по примеру Е в к л и д а, устанавливают между этими элементами взаимо- отношения посредством известных аксиом, а именно аксиом соединения, порядка, конгруентности и непрерыв- ности. При этом возникает необходимость в доказатель- стве непротиворечивости и полноты этой системы аксиом, т.

е. требуется доказать, что применение установленных аксиом никогда не приведет к противоре- чию и, далее, что эта система аксиом достаточна для доказательства всех геометрических теорем. Избранный здесь способ исследования мы будем называть иксиома- тическим методом, Поставим себе вопрос, действительно ли для изучения понятия числа единственно подходящим методом является генетический метод, а дли обоснования геометрии — аксио- матический метод. Представляет также интерес сопо- ставить друг с другом оба метода и исследовать вопрос о том, какой нз этих методов надо будет предпочесть, когда будет итти речь о логическом исследовании основ механики или. какой-либо другой физической дисци- плины. Мое мнение таково: 'несмотря на то, что гене- тическийй метод имеет высокое не аагоги че- ское н эвристическое значение, всй же для окончательного оформления и полного ло- гического обоснования содержания нашего позна,ния предпочтительнее аксиоматиче- ский метод, В теории поинтня о числе аксиоматический метод представляется следующим образом; Мы мыслим систему вещей; эти вещи мы называем числами н обозначаем буквами а, д, с,...

Мы считаем, что между этими вещами существуют вполне определенные взаимоотношения, полное и точное описание которых давтся следующими аксиомами: 317 О ПОНЯТИИ ЧИСЛА 1, Аксиомы соединения 1 Из числа а и числа д прн помощи «с л о ж е н и я» т получается некоторое вполне определвнное число с, что обозначается так: а+ Ь = с или с = а + д. 1,. Для любых двух данных чисел а н Ь существует одно и только одно число х, длн которого а+к=3, а также одно и только одно число у, для которого у+и=3. 1е СУществУет некотоРое вполне опРеделвнное число— его называют Π— такое, что для любого и как а+О=а, так и 0.1-а=а, 1, Из числа а н числа Ь получается некоторыч лру- 4 гим способом, посредством «ум н о же н и я», некоторое определенное число с, что обозначается так: ад=с или «=ад.

1,. Для любых двух чисел а и д, причем число а не О, существует одно и только одно число х, для которого Ь и одно н только одно число у, для которого уа = д, 1 . Существует некоторое вполне определенное число— е. его называют 1, — такое, что для люоого а как а 1=а, так и ! а=и. з!в З)й ДОБАВЛВНИВ Чь О ПОНЯТИИ ЧИСЛА 11. Вычислительные аксиомы Для любых чисел а, Ь, е имеют место следующие равенства: П,.

П,. 114. П. П. Пе. а+ (Ь+ с) = (а+ Ь) + е, -+Ь=Ь+ а (Ье) = (аЬ) е, а (Ь+ с) = — аЬ+ ас, (а+ Ь) с = ас+ Ьс, аЬ= Ьа. П1. Аксиомы порядка Рйг Из любых двух отличных друг от друга чисел а и Ь всегда одно определенное число (например а) больше ( >) другого; про это последнее говорят, что оно меньше первого. Это обозначается так: а) Ь или Ь(а. Ни для какого числа а не может иметь место соотношение а)а. П1,. Если а) Ь и Ь) с, то а > с. П!,, Если а) Ь, то а+с)Ь+с и с+а >с+Ь. П1, Если а) Ь и с) О, то ас)Ьс и са)сЬ.

а+ а+ а+... +а) Ь, 1Ч,. (Аксиома полноты.) К системе чисел невозможно присоединить никакой другой системы вещей так, чтобы в системе, образовавшейся в результате этого при- !Ч, Аксиомы непрерывносгли 1ЧИ (Аксиом а Архимеда ) Пусть а' >О и Ь) О— любые два числа; в таком случае всегда можно число а повторить слагаемым столь большое число раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма обладала следующим свойством: соединения, при сохранении прежних соотношений между числами, выполнялись бы все аксиомы 1, П, П1, 1Ч,; короче, числа образуют такую систему вещей, которая при сохранении всех взаимоотношений и всех указанных аксиом не поддайтся никакому расширению, В аксиоме 1Ч, мы предполагали известным понятие ко ечной совокупности.

Некоторые из аксиом 1, 4, П, е, 1П, 4, 1Ч, х суть следствии остальных, и, такйм образом, возникает задача изучения независимости указанных аксиом, Эта задача даст возможность подойти к исслелованию принципов арифметики с некоторой новой, плодотворной точки зрения. Мы, например, узнаем следующие факты: Существование числа О (аксиома 1,) есть следствие аксиом 1,, н П,; таким образом, оно существенно основывается на ассоциативном законе сложения.

Характеристики

Список файлов книги