Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Существование числа 1 (аксиома 1е) есть следствие аксиом 1, н П,; таким образом, оно существенно основывается на ассоциативном законе умножения, Коммутативный закон сложения (аксиома П,) является слелствием аксиом 1, П, 4 4', таким образом, он оказывается, по существу, следствием ассоциативного закона сложения и обоих листрибутивных законов. Док аз атель ст во, Мы иь4ееьь (а + Ь) (1 -(- 1) = (а + Ь) 1 + (а+ Ь) 1 = а+ Ь+ а+ Ь, = а (1 + 1) + Ь (1 + 1) = а+ а + Ь+ Ь; слеловательно, а + Ь + а + Ь = а + а + Ь + Ь, а отсюда, в силу аксиомы 1„ Ь+ и = ",. + Ь. Коммутативный закон умножения (аксиома П,) есть следствие аксиом 1, П, , 1П, 1Чп но не является следствием одних только аксиом 1, П, , П1; этот закон может быть выведен из всех остальных аксиом в том и только в том случае, когда к указанным аксиомам присоединена 221 О ПОНЯТИИ ЧИСЛА 520 ДОВАВЛВНИЯ щ 21 д, Гн»ьач»т еща и аксиома Архимеда.
Этот факт имеет особое значе- ние для обоснования геометрии»), Аксиома 1Ч» не зависит от аксиомы !Ч,; ни одна из этих аксиом не содержит высказываний, касающихся поня- тия сходимости или существования границы, и вся же можно показать, что из них следует теорема'Больцано о существовании точки сгущения, Тем самым мы убеж- даемся в том, что наша числовая система совпадает с обычной системой действительных чисел. В доказательстве непротиворечивости»») установленных аксиом я усматриваю вместе с тем и доказательство суще- ствования совокупности действительных чисел нлн— употребляя способ выражения К а н т о р а — доказательство того, что система действительных чисел является «конси- стентным» (готовым) множеством.
Соображения, которые были высказаны против суще- ствования совокупности всех действительных чисел и бес- конечных множеств вообще, теряют при такой точке зре- ния всякое основание: под множеством действительных чисел мы должны, согласно втой точке зрения, понимать не совокупность всевозможных законов, которым будут следовать элементы фундаментальных последовательностей, а скорее, — как это было изложено выше, — систему ве- щей, взаимоотношения которых задаются с почощью ранее указанной конечной и замкнутой системы аксиом ! — 1Ч и относительно которых новые утвержденна спра- веллнвы только в том случае, если эти утверждения можно вывести с помощью конечного числа умозаключений из зтих аксиом, Если мы' захотим получить таким же способом доказа- тельство существования совокупности всех мощностей (илн всех канторовских алефов), то эта попытка будет обре- *) См гл.
Ч!. *') Этодоказатеаьствотребует существенно новых методов рассуждений н служит главной темой моей новой теории доказательства (см. приложения ЧВ! — Х); поэтому замечание, заменявшее их в первоначальном тексте предылуших изданий, здесь опущено. чена нз неудачу; действительно, совокупность всех мощностей не сущестнует, илн, — употребляя способ выражения К а н т о р а, — система всех мощностей является «неконснстентным» (неготовым) множеством "). Геттинген, 12-е октнбря 1899 г ») См. появившиеся за»то время остроумные работы Ц е ри ело; Е. Лего е1о «Ве»ке!ве раг 0!е Моя!!«ЬХе!! е|пег ТЧОЬ1- оглпвпй», Ма1Ь. Лпп., т.
59 (1904) и т. 65 (1907), а также «(Зеьег ше бгип«(!аяеп лег Мепяеп)е1пе», Ма!Ь Лпн., г. 65(1907). Оя ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ ДОБАВЛЕНИЕ 1'Н ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ ") (Из трудон ГИ Интернационального математического конгресса в Гейдельберге в 1904 г.) В то время как в исследованиях, относящихся к обоснованию геометрии, мы сегодня в основном прндержинаемся одинаковых нзглядов относительно выбора пути и постанленных себе целей, с вопросом об обосновании арифметики обстоит сонершенно иначе: здесь различные мнения исследователей резко противостоят друг другу. Трудности, встречающиеся при обосновании арифметики, частично действительно отличаются от тед трудностей, которые надо было преодолеть при обосновании геометрии.
При исследовании основ геометрии можно было обойти некоторые трудности чисто арифметической природы; но прн обосновании арифметики ссылка на другую основную дисциплину станонится уже недопустимой. Я смогу с ббльшей чйткостью выявить те существенные, трудности, которые встречаются при обосновании арифметики,' если я подвергну краткому критическому разбору взгляды отдельных исследователей. *) Хотя этот доклад по своему содержанию н был перекрыт моими более новыми исследованиями по обоснованиям математики (НГиложення ЧП! — Х), все же мне показалось полезным снова поместить его здесь, особенно потону, что я в »том докладе впервые нзложнл многие концепции н методы нсследовавня, как, например, требование непротиворечивости, самостоятельное рассмотрение множества как вещи, тенденцию к конечной установке, совместное рассмотрение логики н арифметики. Л.
Кронекер, как известно, усматривал в понятии целого числа коренной фундамент арифметики, он составил себе мнение, что целое число, и притом как общее понятие (значение параметра), должно существовать прямо непосредственно; это мешало еиу познать, что понятие б целого числа нуждается в обосновании и может быть о основано. Поскольку это так, я позволю себе назвать его догматиком: он воспринимает целое число с его существенными свойствами как догму, и затем уже не оглядывается назад. Г. Гельмгольц представляет точку зрения эмпирика; однако точка зрения чистого опыта опронергается, как мне кажется, указанием на то, что из опыта, т, е. посредством экспериментов, никогда нельзя прнтти к заключению о возможности ипи существовании сколь угодно большого числа, ибо число предметов, являющихся объектом нашего опыта, даже если оно нелико, вся же не превосходит некоторого конечного предела, Э, Б, Кристоффеля и всех тех противников Кронекера, которые под влиянием правильного чувства, подсказывавшего им, что без понятия иррационального числа весь анализ оказывается осужденным на бесплодие, пытались спасти существование иррационального числа путбм отыскания «положительных» свойств этого понятия или другими аналогичными способами, — я позволю себе назвать оппортунистами.
Однако опровержение точки зрения Кронекера, по моему мнению, ими, по сути дела, не было достигнуто.. Из учйных, которые глубже проникли в существо понятия «целое число», я упомяну следующих: Ж, Фреге ставит себе задачу обосновать законы арифметики средствами логики, понимая эту последнюю в обычном смысле. Его заслугой яшжется правильное понимание существенных свойств понятия «целое число», а также значение полной индукции. Но, проводя последовательно свою точку зрения, он среди прочих положений принимает и тот основной закон, согласно которому понятие (множество) Определено н может быть непосредственно применено, если только 21" 324 ДОБАВЛЕНИЕ ШГ ОБ ОСНОВАНННХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ относительно кажлого объекта известно, полпалает ли он пол это понятие или нет: при этом он не налагает никаких ограничений иа понятие «кажлый» и, таким образом, оказывается пол ударами тех теоретико-множественных паралоксов, которые заключаются, например, н понятии множестна нсех множестн и которые показыяают, как мне кажется, что толкования и средства исследования логики, понятые в обычном смысле, не в состоянии удовлетворить тем строгим требованиям, которые ставит теория иножеств, У стра пение подобных противоречий и объяснение этих парадоксов следует с самого начала рассматривать как главную цель при исслелованиях, касающихся понятия числа.
Р. Дедекинд ясно осознал те математические трудности, которые встречаются прн обосновании понятия числа, и весьма проницательно начал с построения теории целого числа. Всд же его метол я позволю себе 'постольку назвать глранецендеиглальным, поскольку он доказывает существование бесконечного путем, основная идея которого используется таким же образом и философами; этот путь я, однако, не могу признать уаобопроходичым и надежным, так как при этом приходится пользоваться понятием совокупности всех вещей, а в этом понятии кроется неизбежное протиноречие.
Г, К а н т о р чувствовал упомянутое противоречие, и это его чувстно нашло свод выражение в тои, что он различал «консистентные» и «неконсистентиые» множества. Но так как Кантор не установил, по моему мнению, никаких строгих критериев для этого различия, то я его точку зрения по этому пункту должен характеризовать как оставляющую ещй широкое поле лля субаекл»ивиог'о мнения и не дающую поэтому никакой объектинной уяеренности, Я прилерживаюсь того мнения, что все затронутые трудности могут быть преодолены и что можно притти к строгому и вполне удовлетворительноиу обоснованию понятия числа и притом с поиошыо метода, который я назынаю аксиомаглич вским; основную ого ипею я хотел бы обрисовать в данном докладе; строгое и последовзтельное проведение и развитие этого метода я оставляю на будущее, Обычно считают арифметику частью логики и при обосновании арифметики ббльшей частью предполагают т адиционные основные идеи логики известными.
Однако, р ннимательио присмагриваясгь мы замечаем, что при ооычном изложении законов логики прииеняются уже некоторые основные понятия арифметики, как-то: понятие множества, частично понятие числа, особенно в смысле количества. Мы попадаем, таким образои, в порочный круг, а потому для избежания парадоксов необхолнмо в некоторой части одновременное разнитне и законов логики, и законов арифметики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
