Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 68
Текст из файла (страница 68)
399 ДОБАВЛЕИИЕ х ПРОБЛЕМЫ ОБОСИОВАИИЯ МАТЕМАТИКИ Реально это означает, что мы отвлекаемся от порядкового характера системы чисел и изучаем эту систему только как некоторую систему вещей, к которым могут быть отнесены предикаты с одним или несколькими аргументами, Среди этих предикатов только один, именно равенство (тождество), устанавливается как некоторое вполне определанное соотношение, с 'помощью обычных аксиом равенства и = б — (А (л) — А ( ь)) в то вреия как остальные предикаты избираются произвольно.
В этой области формул следует отиетить те, которые ие опровергаются, какой бы смысл мы ии придавали произвольно избираемым прединатам, лишь бы этот смысл был вполне определен. Эти формулы представляют всегда справедливые логические предложения. Возникает вопрос, можно ли все эти формулы доказать, исходя из правил логических умозаключеиий и упомянутой аксиомы равенства, другими словами — является ли система обычных логических правил полной. До сих пор мы убеждались в достаточности этих правил с помощью испытаний. Действительное доказательство этого имеется только в области чистой логики высказываний и в области логики предикатов с одним аргументом. В последней области доказательство полноты этих правил получается из метода решения проблемы разрешимости (ЕпгзсйеЫцпдзргоЬ(еш) (проблема исключения Шредера) в том виде, в каком оно было дано, в связи с наметками Шредера, сначала Левеигеймом, а затем — в окончательной форме — Веианном.
Сегодняшний мой доклад показывает, как много проблем ждут ещз своего решения, Но в общем принципиальном смысле даже малейшие следы неясности невозможны; на каждый из возникающих вопросов можно, иа основании намеченной мною теории доказательства, ответить математически точным и однозначным образом, Соответствующие теореиы можно отчасти доказать уже теперь абсолютно иадджным и чисто математическим методом, исходя из получеиных до сих пор результатов; поэтому эти теоремы и ие подвергались нападкам.
Кто желает меня опровергнуть, должен, как это было до сих пор всегда принято в математике и как это останется и в будущем, указать мне точно то место, где находится предполагаемая ошибка. Возражения, в которых этого не сделано, я решительио отвергаю, Я верю, что моя теория доказательства окажет нам еще более широкую услугу.
Ведь чтб бы было с истинностью наших знаний вообще и кек обстояло бы с существованием и прогрессои науки, если бы даже в математике не было достоверной истины? И действительно, в наше время нередко даже в специальных изданиях и в открытых докладах высказывается сомнение и уныние по поводу науки; это есть в некотором роде оккультизм, который я считаю вредным. Теория доказательства делает такую установку невозможной и дайт иам возвышеиное чувство убе. ждения в том, что по крайней мере для математического ума ие поставлены никакие границы и что ои сам в состоянии проследить законы собственного мышления, Кантор сказал: «Суть математики состоит в ев свободе», и я мог бы лля склонных к соииениям и впадающих в уиыние добавить: в математике нет никаких !КпогаЬгшпз (мы ие б ем знать); наоборот, мы всегда можем ответить на воудем .
просы, имеющие смысл. Подтверждается то, что, возможно, предчувствовал уже Аристотель, именно, что наш ум ие производит никаких таинственных фокусов, а наоборот, пользуется только вполне определзиными, установленными правилачи — что 'является вместе с тем порукой абсолютной объективности его суждений. [з] В немецком тексте в начале этого абзаца, как и в начале ряла других абзацев, стоит заголовок: «Етй)йгвпй», что дословно означает: объяснение, объявление. Сообразно с последующим текстом мы этот заголовок в русском переводе либо совершенно опускаем (как в данном случае), либо переводим словом «определение» (стр.
59) или словом «пояснение» (стр. 70). Для единообразия мы сами в одном месте (стр. 79) ввели заголовок «Определение» [э] Под плоской геометрией здесь и в дальнейшем понимается геометрия на плоскости, рассматриваемая с а м о с т о ятельно. Эта геометрия имеет своими элементами лишь точки и прямые и определяется соответственно этому лишь частью аксиом (именно теми, где речь идвт о плоских образованиях).
[т] немецкий термин «чегкпцр1нпй» мы переводим в большинстве случаев словом «принадлежность»1 иногда — словами «соединение» или «сочетание». Под этим понимается, как уже указывалось во вступитель. ной стзтье (стр.24 — 25), некоторое соотношение, могущее иметь место между точкой и прямой, точкой и плоскостью (причем мы говорим без различия: «точка принадлежит прямой» или «прямая прииадлежиг точке» и т. д.).
Прямого определения этого соотношения не дабтся; взамен зтого все его свойства, которыми мы будем заниматься, изложены в аксиомах первой группы. Аксиомы первой группы можно рассматривать, таиим образом, как косвенное определение понятия принадлежности, Что же касается принадлежности прямой к плоскости, о чбм мы ешли ие упоминали, то для неб в тексте длятся прямое определение: прямая апринадлежит плоскости а, если каждая точка, принадлежащая щ принадлежит и а.
[«] Укажем, каким образом вытекают из аксиом только что перечисленные пять предложений (теоремы 1 и 2). Теорема 1. 1 От противного (яользуясь 1т). 2. Если две плоскости инеют хоть одну общую точку А, то имеют и другую В(1т); тогда существует прямая АВ(1,), и эта 26» 404 пгимвчания [4 — 7] пгимичдиия [7- — 11~ прямая всеми своими точками принадлежит каждой из плоскостей (1а). Общих точек вне АВ плоскости не имеют, так как в противгюм случае онн были бы тождественны (1э). 3. От противного (польчуясь 1а).
Теорема 2. 1. Дана прямая а и точка А вне еб. На а возьмбм точки В и С (1э) и построим плоскость АВС (!а). Поямав а принадлежит плоскости АВС всеми своими точками (1э). Плоскость будет единственной (!э). 2. Даны прямые а и Ь с общей точкой С. Возьмбм на а ещя точку А и на з ещб точку В(14), Построим плоскость АВС(!а).
Прямые а и Ь прииаллежат плоскости АВС (!а). Плоскость будет единственной (1з). м [э] В тексте Гильбертз чертежи не иумероваиы. В перевод ы ввели нумерацию; ссылки иа эти чертежи введены нами, онн заключены в квадратные скобки. амом леле, докажем, что прямая а не может прохо- ',а',В с дить через точки М, й М, лежащие соответственно внутрй отрезков АВ, ВС и СА. Если бы мы допустили эту гипотезу, то мы пришли бы к противоречию следующим образом: Среди точек 5, л4, М имеется одна, которзя лежит между двумя другими (см. г теорему 4, 6 4) Пусть это будет М (черт 1) рассмотрим тогда треугольник А5М и прямую а' = ВС Так кзк а' про. ходит через точку М, лежащтю между и 5 и М, то она должна проходить илн л я через точку отрезка А5, или через точку отрезка АМ (аксиома 1[а). Однако точка Ч .1.
е т. 1. В, в которой а' пересейается с А5, лер. !. жит вне А5 в силу аксиомы Пз (так как 5 лежит между А и В). Значйт, а' проходит через точку отрезка АМ, т. е. С лежит между А и М. Следовательно (аксиома Пз), М ие лежит между А и С воп еки допущению. 1, д и вопреки П Мы проводим доказательство, ссылаясь лишь иа акси сионы о п группы, в которых заключено всб, что нам нужно зн ната онятии «межлу . При этом нз процесса доказательства совершенно устраняется наше наглядное представление о по ядке точен на прямой р ВР; у4ЕС р П ; так как В лежит между А н ', а Р— вне ЕС (в силу аксиомы з), то прямая ВР пересекает отрез о к АЕ в некоторой тичке 6.
Далее, применяем аксиому П« к треугольнику ВРС и прямой АЕ; так как А вне ВС (в силу аксиомы Пз), а Е между С и Р, то 6 лежит между В и Р, т. е. иа отрез хе ВР. Следовательно (в силу аксиомы Пз), Р лежит вне 6В. Применяем далее аксиому Па к треугольнику ВТ)6 и прямой РС; так как Р вне ВО, а С между В н Р, то РС имеет с отрезком 6Р некоторую общую точку Н.
[з] Применяя аксиому П к треугольнику А66 и прямой ЕН. [э] Применяя аксиому Па к треугольнику АИУ и прямой СР, получаем, что точка Н лежит на отрезке 6(У. Прямая РНпересекает сторону ИУ и не пересекает стороны 6В треугольника В61), как уже доказано. Следовательно, она пересекает сторону В)2, и С попадает между В и Т). [гз] Фактически последний случай вообще ие может иметь места. Из расположении: !) (г между Р и В 2) Я между Р и К 3) Р между (г' и 8, вытекает противоречие, так как из 1) и 3) следует, согласно утверждению 1, что Р и Я лежат между В и 1~, а вто противоречит 2).
[и] Дадим доказательство теоремы 6, уточнив несколько еб формулировку: всякие и точек, данные иа прямой, можно занумеровать числами 1, 2, ..., и так, что какая-нибудь из этих точек лежит между двумя другими тогда и только тогда, когда еб помер имеет промежуточное значение между номерами двух )гругих точек. Для и = — 4 теорема доказана (теорема 5). Чтобы применить математическую индукцию, докажем теорему для произвольного значения и, предполагая, что для и — ! оиа доказана. 1.
Из данных и точек всегда можно выделить две точки, между которыми лежат остальные и — 2 точки. В самом деле, выделим из данных и точек две точки А, С, между которыми лежит наибольшее возможное число остальных точек.Мы утверждаем, что тогда все остальные и — 2 точки лежат между А и С. Допустим противное; пусть точка Т) из числа тех же и точек лежит вне АС. В силу теоремы 4 либо А лежит между С и О, либо С'между А и )у. Допустим для определенности последнее. Тогда, в силу пункта 2 в доказательстве теоремы 5, всякая точка В, лежащая между А н С, лежит н между А и Т). В резчльтате между А и 5) лежат все точки, лежащие между А и С, и кроме того точка С. Вопреки нашему выбору точек А и С оказалось, что между А и О лежит ббльшее количество точек нз числа данных точек, чем между А и С.
Это противоречие докззывает наше утверждение. 2. Из числа данных и точек выделим точки А,С, заключающие между собой все остальные. Мы утверждаем, что если В и пРимечАния (11 — 13) пгимечлния (13~ 4) — какие-то две точки из числа остальных, то А и, С лежат вие ВВ. Действительно, по теореме 5 можно указать определенный порядок для рассматриваемых точек, причбм в нашем случае этот порядок (с точностью до обра4ценив) может быть только АВВС или А)лВС, так как В и В лежат между А и С. В обоих случаях А и С лежат вне ВО. 3. Пусть А и С вЂ” две точки из числа данных л точек, заключающие между собой все остальные. Так как теорема б предполагается доказанной для л — 1, то мы можем занумеровать все данные точки, и с кл ю ч а я С, удовлетворив требованиям теоремы.
Пусть занумеровзнные точки будут: Ап Аэ, ...,А„ Мы утверждаем, что точка А совпадает либо с Ат, либо с А„, Действительно, в противном случае оиа лежала бы между двумя другими из занумерованных точек. что противоречит пункту 2 Меняя в случае надобности нумерацию на обратную, можно считать. что А ==- Ат. Теперь припишем точке С номер й, поло. жив С 4ы А„, и покажем, что построенная нумерация удовлетворяет требованиям теоремы: для всяких трех точек точка, лежащая между двумя лругими, имеет промежуточный номер. Если среди взятых точек нет С, то это имеет место, так как для нумерапни А,„... А, т требование теоремы соблюдается.
Если же взяты три точки МьАЛ А„(А„=С), где ((/(и, то нужно доказать, что А) лежит между Аг и А„. Если (=- 1, то это очевидно, так как Ат.=А,А„=С. Если ! >1, то Аг лежит между А, и А), .кроме того А)лежит между Ат и А„; отсюда по пункту 2 доказательства теоремы 5 вытекает, что А) лежит между А4 44 Ал. Теорема б доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
