Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2) Если точки М и М лежат во второй области, то отрезок МЬ) также ие содержит точек плоскости а. 3) Еслн точки М н д( лежат в разных областях, то отрезок МЬ) содержит точку плоскости а. Доказываются все эти утверждения одним и тем же прнвмом.
Если точки А, М, Иие лежат на одной прямой, то, согласно аксиомам 1, .„, онн определяют некоторую плоскость Г. Если плоскости и н Ь не имеют общей точки, то отрезки АМ н АФ не имеют точек, общих с плоскостью а, и мы находимся в условиях случая 1); соответствующее утверждение, наверное, справедливо, так как МИ тоже не имеет общих точек с плоскостью а. Предположим, что плоскости а и [ имеют общую точку.
В таком случае, в силу аксиом !т и они пересекаются по прямой, которую мы обозизчнм через н,' Если какой-либо из отрезков АМ, АФ, Мй( имеет с плоскостью а общую точку, то эта общая точка принадлежит плоскостям а н 8 одновременно и должна лежать на прямой а. Легко заметить, что весь вопрос сводится теперь к исследованию пересечения (нли иепересечення) отрезков АМ, АД(, МЬ(, лежащих в плоскости 8 с прямой а, лежащей в той же плоскости Ь, т. е. к повторению доказательства теоремы 8. Если же точка А; М, ))Г лежат иа одной прямой Ь, то либо эта прямая ие имеет общих то ген с плоскостью а (мы попадаем в условия случая !), н тогда теорема, очевидно, верна, либо праман а пересекается с плоскостью, и тогда, как легко заметить, надо дословно повторить доказательство, прнведвниое в прнмсчзнии[ы].
[!"] Точнее: одни из двух данных отрезков всегда либо находится, либо не находнтсн с другим в некотором отношения, которое мы обозначаем словом «конгруеитенк Прямого определении этого соотношения не дайтся: косвенное его определение дает третья группа аксиом в том смысле, что в ней перечислены все свойства этого соотношения, которые мы ему будем приписывать в дальнейгнем. 27"' 420 пгимкчлния [18 19] 421 пгнмвчлння [19] (!з( В самом деле, по аксиоме П1э из конгр>еитностей А'В'= —.- А'В' и АВ А'В' следует А'В'=-АВ. (!з] Докажем все содержащиеся в этом абзаце утверждения. 1. Пусть Н вЂ” некоторая точка, лежащая на луче й, а К- точка луча й. Возьмем произвольную точку М отрезка НК. Так как точка М лежит между Н и К то точка Н не лежит на отрезке МК, и точка К нс аежит на отрезке НМ.
Следовательно, точки Н, М лежат по одну сторону от прямой Т, т е. точка М лежит по ту же сторону прямой й, что и луч И. Аналогично получаем, что М лежит по туже сторон> й, что н луч й. В ито. ге М лежит внутри угла ««(й, й). Возьмвм теперь точку М, такую, чтобы Н лежала между К н М. Точки К и М лежат по разные стороны ог прямой !и т. е. точна М и луч й лежат по разные стороны от прямой й, а следовательно М лежит вне угла «»(й, й). Тем самым показано следующее утверждение: ЕслиНиК вЂ” точки на стороне угла««(й,й),то точки прямой НК, лежащие между Н и К лежат н внутри угла «(И, й), а лежащие вне НК вЂ” лежат и вне угла «(И, И). 2.
Пусть точки М, М лежат внутри угла «(И, й), Это зна. чит, что каждая из этих точек лежит по ту же сторону от прямой й, что и луч И, а следовательно (см. конец примечания (!з]), все точки отрезка ММ лежат по ту же сторону от прямой й, что и луч И. Все сказанное гыше остайтся в силе, если повсюду в этом рассуждении луч И заменить лучом й, а прямую !г— прямой И.
Таким образом, отрезок, соедини ющий две точки, лежащие внутри угла ««(И, й), целиком лежит внутри этого угла. 3. Пусть какая-либо точка М лу ч а 1, вы ходящего н з в е р ш и н ы О у г л а ««(И, й), находится внутри этого угла. Если М вЂ” какая-то другая точка того же луча, то точка О не лежит на отрезке ММ (см. стр. 64, определение луча), а пото. му, в силу примечания ['э], точка М лежит Но ту же сторону, что и точка М, как от прямой й, так и от прямой й; следовательно, точка М лежит по ту же сторону от прямой й, что и точки луча й, и по ту же сторону от прямой й, что и точки луча й, т.
с, точка М лежит тоже внутри угла ««(И, й). В этом случае, следовательно, все точки луча 1 лежат внутри угла (И, й). Легко убедиться также, что если точка М луча!,выходящего из точки О, лежит вне угла ««(И, й), тон любая другая точка М того же л у ч а ле кит вйе угла «» (й, й) (доказательство от противного). 4. Докажем теперь, что лу ч 1, лежащий внутри угла «»(И,й), встречает отрезок НК, где Н взято на И,аК вЂ” най. Рассмотрим какую-либо точку М, лежащую на примой И, но не принадлежащую лучу И н отличную от О (черт 17). Прямая Тпсресекает сторону МН треугольника МНК, нс проходя при этом через его вершины.
Следовательно, она должна пересечь и другую его сторону, НК или МК. Докажем, что прямая 1 пе может пересечь стороны МК Точна О прямой й лежит И между М и Н, т. е. М и точки луча й лежат по разные стороны д ! ! от прямой И. Пусть М вЂ” произвольная точна отрезка МК. Прямая МК цересскается с прямой й л л в точке К не лежащей на отрезке ММ, Следовательно, точка М Черт, 17. лежит по ту же сторону от прямонй, чтоиточкаМ,т.е.!) точка М и луч И лежат по разные стороны от п ря мой Й; с другой стороны,точка М, в которой праман МК встречается с прямой И, лежит вне отрезка МК а значит: 2) М лежит по ту же сторону от прямой И, что и К,т. е, по тч же сторону, что н луч й. Прямая Х состоит из луча 1 и дополнительного луча 1'.
Луч 1 лежит внутри угла ««(й, й), следовательно, по ту же сторону от й, что и луч И. Поэтому луч ! не может нести на себе точек Мотрезка МК (первое утверждение). Луч1' лежит с лучом 1 по разные стороны прямой И. А так как луч 1, как внутренний по отношению к углу, лежит по ту же сторону от Й, что и й, то 1' лежит по другую сторону от И.
Значит, и луч 1' нс может нести на себе точек М отрезка МК (второе утверждение). Следовательно, проведенная нами прямая » не может пересечь отрезок МК и потому должна пересечь отрезок НК. Точка пересечения В принадяежит при этом именно лучу 1'(а не1'), так как отрезок НК лежит внутри угла. 5.
Заметим, что отсюда следует несколько очень важных утвервщений. И з т ре х л у чей й, й, 1, ис ходя щ их из одной точ ки О, только один может лежать внутри угла, образованного двумя другими лучами. Действительно: пусть луч 1 лежит внутри угла ««(й, й). Согласно доказанному, он пересекает отрезок НК в некоторой точке е. Так как точка л лежит на отрезке НК, то,по аксиоме Пз, точка Н не лежит на отрезке !К, а потому и луч И, как не пересекающий отрезка ь К, не может лежать внутря угла ««(1, й). Заменив в этом рассуждении буквы И н й друг другои, мы докажем, что и луч й не может проходить внугри угла «« (И,!). 428 пгимечлния (19~) ИРИмЕЧАнИЯ ~19) Если луч 1лежит внутри угла «(Ииг),а лу И внутри угла «(И,гп), то луч 1лежит внутри угла к«(И, гп) (че т.
18). П С л усть точка Н лежит па луче И, а точка М вЂ” на луч — на луче иь атласно доказанному в пункте 4, луч И встречает отрезок НМ в точке К и, далее, луч ! встречает отрезок КМ в точке 1.. Согласно теореме 5, точки Н, К, Е,М лежат на прямой НМ в указанном нли обратном и к порядке, т, е, точка Е лежит на отрезз ке НМ.
Следовательно, в силу дока- занного в пункте 1, луч 1 лежит вну- 5 три угла к«(И, ит). асан и лучей И» И,..., И и Ф н луч а прямой а исходит из од- Ч . 18. ерт. ной точки прямой а н притом лучи И» Из,..., И„лежат по одну сторону от а, то срелн этих последних найдется одни и притом только один луч, образующий с лучом а угол, внутри которого лежат все остальные и — 1 лучей. Локажем справедливость этого утвержления сначала для п = 2. Пусть луч И1 лежит внутри угла к«(Ит, а); тогда, в силу доказанного выше, луч И~ чежит вне угла <«(И» а) (черт. 19).
Ч л, Г усть тепе(ь луч Из лежит вне угла «(Из, а). Локажем, что луч И, лезгит внутри угла с«(И,, а). Из того, что луч И лежит вне угла «(И» а), и того, что лучи И, и И, лежат по одну сторону л от прямой а, следует, что лучи И, и а Черт. 19, лежат по разные стороны от прямой И, ! т. е. что прямая И, пересекает в неко. торой точке Н, всякий отрезок Н1А „ концы которого лежат на лучах И и а. При этом точка Н 1 отрезка НА должна лежать по ту же сторону прямой а, что и точка Н,, т.
е. по, ту же сторон); что н луч И,, а значит и луч И» Тем самым точка Н, лежит на луче И„в противном случае она лежала бы на доцолни гельном луче пряной И в, значит, 1 по другую сторону от а. Но точка Н, лежит внутри угла «(Из, а) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
