Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 76

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

возможно, появятся и новые. Но аксиома .чниейной полноты исключает такое положение вещей, когда расширение возможно; следовательно, в новой формулировке она исключает ббльшее количество случаев. Следовательно, ослабление требований 1 — 4 означает усиление аксиомы полноты. При чрезмерном ослаблении этих требований аксиома может стать настолько «сильной», что вступает в противоречие с остальными аксиомами. Это происходит, например, при выкидывании из требований 1 — 4 аксиомы Архимеда. Это же происходит и при бук. вальном понимании формулировки, данной в тексте, где число требований значительно меньше, чем в наших пунктах 1 — 4. Действительно, покажем, что расширение совокупности точек на прямой всегда возможно, если из требований 1, 2, 3, 4 выкинуть всего лишь аксному!Пэ (коигруентиость сумм отрезков при конгруентности слагаемых). Тем самым аксиома линейной полноты будет приводить нас к противоречию.

Для наглядности будем исходить из совокупности точек обыкновенной числовой прямой. Дублируем каждую нз ее точек А, 28' 437 пРимечАния [341 пгимечлнин [34~ присоединяя к совокупности точек новую точку А'. Условимся считать, что А»' лежит правее А, причин по отношению ко всем остальным точкам А'" расположена так же, как и А. 1(ругими словами, мы помещаем А««непосредственно рядом» с А справа от ней. Назовем отрезками 1-го рода те, оба конца которых являются либо старыми, либо новыми точками (АВ.или А*В"), и отрезками 2-го рода — те, у которых один конец в старав точка, а другой — новая (А'В или АВ»); условимся считать, что В всегда лежит правее А*, а В* — правее А.

В частности, здесь возможен отрезок АА"'. Примем, что отрезки раз но го рода никогда не бывают конгруентны между собой. »(то же касается отрезков 1-го рода, то опн считаются конгруентными, если их длины равны (при этом под длиной А«В« понимаем длину АВ). Так же определяем конгруептпость между отрезками 2-го рода, причям под длиной А«В всегда понимаем длину АВ, а под длиной АВ т †дли АВ,за исключением тех случаев, когда длина А — целое число (в частности нуль — в случае АА*).

В этих случаях под длиной АВ«мы понимаем длину АВ плюс единица. Нетрудно проверить, что в расширенной совокупности точек числовой прямой соблюдены все требования 1, 2, 3, 4, за исключением аксиомы 1Пэ. Итак, дал1е такое скромное ослабление требований 1, 2, 3, 4 делает расширение всегда возможным, а значит, аксиому линейной полноты — приводящей к противоречию, Мы показали это, исходя из числовой прямой. Если же исходить пе нз числовой прямой, а из любой прямой, на которой выполнены требования 1, 2, 3, 4, то это будет тем более верно, так как такую прямую всегда можно рассматривать как «часть» числовой прямой (см. ниже).

Особенно выпуклый характер аксиома полноты приобретает, если подойти к ней с другой точки зрения. Покажем, что требования 1,2,3, 4 равносильны возможности приписать каждой точке прям о й к о о р д н и а т у х (д е й с т в и т е л ь н о е ч и с л о), так, что 1) разным точкам отвечают разные координаты, причем точка хз лежит между точками х1 и хз тогда и только тогда, когда хт('х,(ха или хт)хэ) хт; И) два отрезка коигруентйы тогда и только тогда, когда ХЭ вЂ” Х1= Х' — Х', 3 1' где х, ( хэ — координаты концов одного отрезка, а х '( х'— 1 ' Х координаты концов другого отрезка; РП) если хт,хэ суть координаты некоторых точек, то н х1-«.хэ будут координаты некоторых точек, Особо следует подчеркнуть, что у нас ие утверждается, что каждому значению х отвечает точка на прямой.

Пусть требования 1, 2,3, 4 выполнены. Выберем какую-нибудь точку О в качестве начала координат (т. е. в качестве точки с координатой 0) и какую-нибудь точку А в качестве и следовательно .ОМ,((т+1) ОА. В силу сделанного выбора и, очевидно, что и ОМ»~(т+1) ОА. Беря теперь дедекнндовы сечения, отвечающие точкам М, т).1 нем класс И 1, М М, ы видим, что число — относитсн к верх у . у и в первом случае и к нижнему классу во втором случае. Со- гласйо теории иррациональных чисел, отсюда вытекает, что Х») Х1, ГДЕ Хз, Х1 ОПР ределяются этими сечениями и, но условию, цред- ст валяют.собой координаты точек Мт и Мэ. Если теперь взято какое угодно число точек и р ек иа и ямой, идущих в порядке О, Ми Мэ,..., М„(в сторону ), т он А), то для их координат мы имеем: б( л1(х.

(. и и доказано )тверждепие 1) для случая расположения точек на «положительной полупрямой». Для точек, располо точки с координат инатой 1. Пусть теперь М вЂ” произвольная точка, для определенности лежащая с той же стороны от , что н Построим отрезок и ОМ, откладывая ОМ последовательно и аз, и отрезок т. е ок т ОА, откладыван ОА последовательно т раз. десь и н т — произвольные целые числа.

т Разобьйм все положительные рациональные числа — на два сл чае, если класса. К верхнему классу относим число — в том случа, и ОМ(т ОА, а к нижнему классу — в том слутае, если и ОМ) т ОА. Предоставляем читателю проверять, что мы здесь имеем во сечение в области положительных рацио- дедекиндово ействитель- нальн ых чисел, которое определит нам некоторое д ное (положительное) число х, рациональное или рр ц и а иональное. Э число мы и примем за координату точки М.

то Пусть теперь М! н Мэ — две точки, 'лежащие о у т О по одну сторойу с А и следующие в порядке О, Ми Мэ Следовательно, Омэ ) ОМР Е и взять и достаточно большим, то разность этих отрезсли в, ОА (в снл аксиомы ков, , повторенная ч раз, превзойдет отрезок ОА (в у А имеда), Пусть т — наибольшее число, р ро, , п и кото м рхи и.ОМ»за т ОА, 438 пгнмечлиия [34) 439 шнмгчлния [34~ О по другую сторону от А, мы вводим совершенно аналогич о р ц а т е л ь и ы е координаты и повторением тел же рассужн дений убеждаемся в справедливости утверждения 1) в общем ви щ и виде. ы утверждаем, далее, что если иа прямой в полов ительную сторону от О взяты точки Мь Мм М, причйм М лежиг меэкду й н М н отрезок М,М конгруентен отрезку ОМз, то х=х,+хж где х, хг, хз — координаты точек М, Мь Мз В самом деле, пусть из н и ж и и х классов сечений х, и хз взято по рациональному числу, которые обозначены (после приведения к общему знамена«ел«)) тг тз — и и л' Тогда и ОМ1)т, ОА, л ОМзтми11 ОА, откуда л ОМта(т1+ т,).ОА.

В левой части неравенства мы получаем непосредсгвенно и раз отложенный отрезок ОМ1 и вслед за этим и раз отложенный отрезок ОМ,; после перегруппировки слагаемых мы получаем и раз повторенную сумму отрезков ОМ и ОМ, т. е, ОМ. Т, т э,т. е,и о, что в геометрической сумме отрезков .иы можем переставлять слагаемые, не меняя суммы, получается так: достаточно убедиться в этом для двух соседних слагаемых; но последнее автоматически вытекает из аксиомы !Пз, так как в еб формулировке ничего не сказано о порядке, в каком «приставляются» друг к другу слагаемые отрезки А'В' и В'С' и, следовательно, при любом ил порядкс сумма А'С' коигруентна АС, т, е.

А'С' будет одной и той же (с точностью до конгр>ентности), Из последнего исравенства следует, что ' относится к нижнему классу сечения х, т. с. сумма чисел из нижнихх классов се ч ений х,,ха дает всегда число из нижнего класса сеченйях. Совершенно аналогично доказывается то же самое и для верхних классов. Отсюда, согласно теории иррациональных чисел, следует х =.

х, + хэ 1Й Другими словами, отложить от точки М (х) д и ы о т р е з о к ОМз (в п о л о ж н т е л ь н у ю с т о р о н зн чит †построи точку М(х) с координатой а рону), х =- х, + ха, где хз ) Π— к о о р д и н а т ы т о ч к н М.. э. Это утверждение доказано у нас при х1) О, но нетрудно, конечно, повторить аналогичные рассуждения и для общего слу. ча .

Теперь, поскольку откладывание данного отрезка рав- носильно добавлению к коорлннате точки постоя иного ла- ' я. с гаемого, то мы немедленно убеждаемся в справедливости утвер- ждения !1). Наконец, утверждение !!!) также сейчас же вытекает нз последней формулировки (нанечатаиной разрядкой). Итак, при выполнении требований 1,2,3,4,мы можем ввести на прямой координаты со свой- с т в а м и !),!1),!1!). Обратно, если возможно введение такого рода координат, т т ебоваиия 1, 2, 3, 4 выполняются. Совершенно очевидную то тре в ия проверку этого предоставляем читателю. П и описанном здесь введении координат на прямой линии естественно возникает вопрос: исчерпывает ли совокупнос ь р т действительных чисел, служащих координатами всевозможных точек на прямой, всю совокупность действительных чисел или иет? Рассмотрим сначала вторую возможность.

Пус!ь координата х принимает и е в с е действительные значения, т. е. суг;е- ствуют такие действительные числа, которым не отвечает ника- к очка иа прямой. Казкдое из таких чисел мы будем иазы- ая т вать н о в о й т о ч к о й н ил совокупность приспел н и им к совокупности имеющихся точек на прямой. В расширени.й со ок пности точек уже каждому действительному числу отвечает точка, и обратно.

Понятия «менгду» н «конгруеитеи» в расширенной совокуп- ности мы о п р е д е л и и следующим образом. Мы скажем, что точка хз лежит между точками х, и хж если хг( хт с хз нли хг) хз ) хз, Здесь под хь хм хз подразумевается илн координата соот- ветствующей точки, если точка старая, или сама эта точна, если точка новая. Очевидно, в применении к старым точкам опреде- ленное здесь понятие «между» имеет прежний смысл. Мы скажем, что один отрезок с концами х, )хг коигруеи- тен отрезку с концами х' ) х', если 1' Хэ — Хг = Х' — Х'. 1' Снова ясно, что в применении к старым отрезкам определанная здесь конгруентиость сохраняет прежний смысл. Наконец, понятия «между> и «коигруентеи> в расширенной совокупности точек продолжают удовлетворять требованиям 1, 2, 3, 4, как показывает элементарная проверка, Следовательно, произведено расширение совокупности точек иа прямой, запрещаемое аксиомой линейной полноты. Итак, если значения координаты х не исчерпывают всех действительных чисел, то аксиома полноты ие имеет места.

Характеристики

Список файлов книги