Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Это и требовалось доказать. ['а! Это третье доказательство предполагает, что А, В, С лежат на одном и том же луче, выходящем из О, но не предполагает, что ОА' =ОС. Поэтому здесь мы имеем частный случай по отношению к первой формулировке и более общий случай по отношению ко второй формулировке.
Отметим, что нз рзсположения Л, В,С по одну сторону от О следует расположение и А', В', С' по одну сторону,от О (что молчаливо принимается прн докззательстве во втором и третьем случаях). Действительно, нз параллелизма СА' и АС' следует, что оба отрезка распотожепы либо по одну сторону, либо по азине стороны от параллельной им прямой, проведянной через О. о второе предположение невозможно, так как отрезок АС не содержит точки О. В таком случае имеет место первое предположение, а значит, отрезок А'С' тоже не содержит точки О, и А', С' лежат по одну сторону от О. Аналогичг!о, из парзллелизма СВ' и ВС' следует, что и В', С' лежат по одну сторону от О. Итак, А', В', С' расположены на одном луче, выходящем из О, если тзкое положение вещей имеет место для А.
В, С: [тт[ Точнее, если сначала ограничиться построением отрезка аЬ (не строя Ьа), затем соединить, конец пЬ с концом отрезка Ь, отложенного на первой стороне угла, то, в силу теоремы Паскаля, полученная прямая параллельна прямой, соединяющей концы отрезка 1 на первой стороне угла и отрезкз а на второй стороне угла (черт.
47 в тексте). 1«это н значит, что отрезок аЬ является в то же время и отрезком Ьа. [«а) Напомним, что в этой главе мы предползгзем, что в нашей геометрии нзлнцо все аксиомы, кроме аксиом непрерывности; поэтому мы не имеем права «пользоваться циркулем», т. е, окружностью, как непоерывно текущей кривой. В связи с этим, в пашен геометрии возможны случаи, когда пр~мая,имеющая точки, располоткенные как дальше, так и ближе от центра окружности, чем точки самой окружности, с этой окружностью, тем не менее, не пересекгетсн (кзк бы «проскаки- 449 пгимкчлния [48 — 51] 448 пгимячлиия [51--52] вает» сквозь неб, пользуясь отсутствием непрерьви ости в нашей [4') В связи с теоремой 42 следует подчерки ть сле обстоятельство. В исчислении отрез путь следующее извал, а именно, операция умн жен ин отрезков имеется некого ый р " провыбора отрезка, принимаем г 1. О о енин зависит от п а р нзвольнога ции, хотя и осйованное на нс о о за .
лнака паняти е о прапор- этого произвола. Это можно численни отрезков, ие смысла пропорции (теорема 42). ажно усмотреть из гео е Следовательно, и теория подобия е о се извола и целиком вытекает из . й не содеожнт в се себе прот и само ' геометрической системы. [ ] огда здесь говорится о расширенном исчислении о %01 К ков, то имеются в виду операции не но н отрицательными отрезками нотр только над положительи и отрезком-нуль. ыми, Нужно прежде всего отдать себе отчбт в том, что азвитое в й 1б исчисление отрезков — теперь мож и, цол тельных отрезков — оперировало н а можно говопить пол тельно к их о над отрезками безотнасильно к их положению на плоско т р д у к о н ц о в.
Теперь ите под отрезком мы б с и и к по- понимать отрезок с фиксированным п ком мы будем при этом на прямой с фиксировзннын орядком концов и за а д нный нием. Допускается совпадение концов ( зннын положительным нап ав концов (отрезок-нуль). р леРавнымн мы признабм теперь отрезк если оии и конгруеитны и иаправ. е ы б и только в том сл ч у ае, оба в отрицательных направлениях на тех п л н о а в положительи ых илн принадлежат. ях на тех прямых, которым они Сложение двух отрезков определяется теперь как пост о ~риты~ ырезка, на~алом отара а концом — конец второго о рез которого служит начало первого, отложены на одной прямой так, о т ка, при условии, что оба ' отрезка падает с началом второго. чт конец не вага о Р грелка сов У какие 1б множсние отрезков определяется форм л рмально точно так иге, 5 (с той только разницей, что отрицательные от мы будем откладывать от точки 0 о мого угла, а угла ему вертикального).
по сторонам не данного п яые отрезки пряков е Проверка свойств 1 — 16 для расширенн не представляет никаких принципиальных тр и. ого исчисления от езх трудностей. много т л [ 1] Уточним данное здесь определение. М мн оугольннк Р разбит иа многоугольники Р + Р + ... + ы говорим, чта рему 9), если: (везде имеются в виду только простые мно гоугольники см тео+ + л 1) многоугольники Рт, Ры ..,, Р ие имеют внутренних точек; т, »,..., л ие имеют попарно общих 2) внутренние точки многоугольников Р, р ..., р внутренними точками и для Р; и ь ' л являются 3) всякая вп т енняя ней точкой для одного из Р, Р . .. Р у р точка Р является, обратно, внутреии а, л или, по крайней мере, принадлежит ега контуру (в последнем случае, как можно доказать, точка принадлежит контуру ещб, по крайней мере, одного из этих многоугольников).
Утверждение, содержащееся в тексте, относительно разбиения многоугольника Р на два многоугольника всякой простой ломаной, проходящей внутри Р н имеющей концы на его контуре, является, строго говоря, теоремой, требующей доказательства. Мы не даем здесь этого доказательства, и вообще в этой главе мы не будем претендовать на полное проведение доказательств в примечаниях.
Дело заключается в том, что вопросы, связэиные с разбиением плоскости иа части многоугольиыми контурами, являются исилючительно громоздкими, если излагать их безукоризненно строго на основании аксиом порядка. Это мотива было заметить уже на примере простейшего предложения такого рода — теоремы 9. Поэтому в рамках этой главы мы — вместе с Гнльбертам— усвоим, по необходимости, некоторую дуалистическую точку зрения.
Мы не отказываемся от проведения доказательств и даем их в примечаниях в случае отсутствия их в тексте. Но при этом те моменты в доказательствах, которые связаны с фактами разбиения плоскости на части, ны часто будем принимать иа основе их очевидности, опуская их строгий вывод нз аксиом порядка. Слово «очевидность» здесь нужно понимать ие столько в смысле наглядности, сколько в смысле наличия уверенности, что строгое доказательство при желании всегда можно осуществить.
Разумеется, читатель должен в каждом из таких случаев отдавать себе отчет в том, что с точки зрения полной строгости доказательство имеет пробел. Например, в доказательстве теоремы 43 в тексте принято за очевидное, что отрезки одного разложения многоугольника Рз подвергают разложению каждый нз треугольников в другом разложении Рэ н обратно; далее, что многоугольники, измельченного разлоткения, таким образом пол)- ченнаго, будут в обоих случаях адин и те же; наконец, что каждый многоугольник можно разбить на треугольники. Такое пункты можно вскрыть почти в каждом доказательстве этой главы. По отношению же к понятиям конгруентиостн доказательства остаются строгими. [эЧ Докажем т ра из нт и в но ст ь понятия «равновелики по дополнению», т.
е. докажем, что если многоугольники Р и () порознь равйовелики по дополнению многоугольнику Я, то оии равновелики по дополнению друг другу. Заметим, во-первых, что определение понятия «многоугольники равновелики па дополнению», данное Гнльбертом, равносильно следующему: два простых многоугольника Р и 0 равновелики па дополнению,если к ннм можно присоединить(без перекрытий) конечное число попарно конгруентных треугольников ЬР= — Ь', Ы=-Я, ", 2)'.= — Я 29 д. гн»ьв»рт пгимкчання ~521 так, чтобы составленные таким образом мнагоугольннкн Л,~э,' „гэЛ,х,бЛ ~а+ Л за былн равновеликн по разложению.
В дальнейшем вместо того чтобы говорить о паре конгруентных треугольников ЬГ«=)~Г7, мы часто будем говорить об одном треугольнике т~, Итак, к многоугольннкан Р н 8 мы можем присоедннить треугольники хл,,,~,э,..., ~« так, чтобы полученные в результате многоугольники Р+,~„' 4-~ +...Л-,l~» — — Р' и Я+э~'+,гьэ+...+~'=5' были равновелики по разложению. Точно так же к многоугольннкам О н Я можно одновременно присоединить треугольннкн ,~эх,..., х'«»«таким образом, чтобы многоугольники О+~~~+тм+ +~л=0 " ~+~~+ ~~я+" +э~л=~ оказались равновеликими по разложению. Если теперь к многоугольнику Я одновременно прнсоедннять указанным образом как треугольники ~"э~,,".Хз,..., ~э», так н треугольники Ьэ г",'з,..., ~>», то, вообще говоря, некоторые нз треугольников т~' будут перекрываться с некоторымн треугольниками э"х".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
