Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

Покамсем, что верно и обратное. Пусть аксиома полноты не имеет места, Тогда к совокупности точек на прямой можно пьи. 440 441 пгимечания [34 — 35~ пРимечАниЯ !361 соединить новые элементы с соблюдением условий а), Ь), с), Но тогда и расширенной совокупности возможно ввести коордннаты тем же способом, сохранив даже прежние точки О (начало) и А (единица). Это значит, что каждая точка расширенной совокупностн получит определенную координату, причем старые точки сохранят прежние координаты. Но в таком случае коордннаты старых точек не исчерпывали всех действительных чисел,так как часть их будет использована в качестве коордннат новых точек. Итак, невыпол венце аксиомы линейной полноты равносильно тому, что координаты точек на прямой нс исчерпывают всех действительных чисел.

Прямолинейный ряд точек, грубо говоря, нмеет «пробелы». Следовательно, сама аксиома линейной полноты равносильна требованию, чтобы точки прямой могли быть поставлены во взаимно однозначное соответствие со всеми действнтельнымн числами, прячем геометрический порядок следования точек отражается арифмет н ч е с к н и порядком по признаку ), (, а гбометрнческая конгруентность отрезков — равенством х,, — хт =х ' — х'. К ч 1 оротко говоря: для того чтобы выполнялась аксиома полноты, необходимо и достаточно, чтобы прямая была декартовой, т.

е. чтобы она допускала взаимно однозначное отображение на прямую в смысле обычной аналитической геометрнн с сохранением порядка точек н конгруентностн отрезков. Прн введенин координат на прямой мы использовали требования 1, 2, 3, 4. Особенно следует обратить внимание на роль требования 4 (акснома Архимеда). Именно оно дало нам возможность «измерять» один отрезок другим, выражая результат «измерения» конечным числом. При отсутствии аксиомы Архимеда у нас олин отрезкн были бы «бесконечно велики» сравнительно с другямн, и чнсловой системы координат мы не смоглн бы получить. В самом деле, аксномы 1 т! определяют геометрию трехмерного евклидова пространства; можно поместить это пространство в качестве трехмерной плоскости в четырбхмерное евклндово пространство.

Будем рассматривать в с е точки, прямые и двумерные плоскостн этого четырехмерного пространства (а не только прннадлеэкащие трехмерному его подл остранству). Нетрудно поверить, что все аксиомы ! — 1Г бу дпроудовлетворяться н в этой расширенной области, за не кл ю ч е— удут ни ем а коном ы (т.

в четырйхмерномпространстведведвумерные плоскости могут пересекаться в одной точке (н это б дет даже общим случаем). то удет Т аким образом, рзсц~ирение совокупности элементов с сохраненнем всех аксиом, кроме 1т, оказывается возможным. (зз) Д(ы имеем здесь дело с некоторой н н т е р п ре т з ци ей н а ш е й а к с и о м а т и ч е с к о й с н с т е и ы. Поясним прежде всего самую идею интерпретации. 1. Развивая аксноматнческн геометрию, мы имеем основные объекты: точки», «прямые», «плоскости» н основные соотношення: «принадлежит», «между> н «конгруентен» (последнее — в применения к производным объектам: отрезкам н углам).

В основные понятия мы не вкладываем никакого содержания сверх того, что сказгно о них в аксноэ!ах; в этих последних должно содержаться все, что нужно для построения геочетрин путем чнсто логнческнх умозаключений. Изменим теперь нашу точку зрения на основные понятия: будем поннмать под ниии некоторые вполне определенные объекты н соотношения нз какой-нибудь области математики, которую мы счнтаем уже установленной н обоснованной. Это мы н называем «дать интерпретацию аксномьтической системы». В результате ннтерпретапнн каждая аксиома превращается во вполне определенное предложение из той уже обоснованной области математики, которая нспользуется для интерпретации.

Если хоть одно нз полученных таким образом предло>копий окажется неверным, то наша интерпретация не удалась, т, е, аксноматика в том конкретном истолковании основйых понятий, которое н составлнет суть интерпретации, оказывается невыполненной. Однако отсюда никакого вывода о достоннстве самой отвлеченной аксиоматической системы еще сделать нельзя, так как причина неудачи может лежать в неподходящем выборе ннтерпретации. Если же все предложения, в которые преаратилнсь аксиомы в результате ннтерпретзцнн, окажутся вернымн, то Интерпретация осуществлена, н отсюда сл сдует чрезвычайно важный вывод о непротиворечивости исходной аксиоматической системы. Действительно, все теоремы зксзоматической системы суть чисто логическне следствия аксиом.

В результате интерпретзцни зксномы оказались истинными предложеннямн; значит, логически следующне нз ннх теоремы тоже окажутся истинными предложеннями (в смысле той области, которая нспользовзна для ннтерпретацин). Поэтому, если бы в отвлеченной аксноматической снстеме получнлись бы две теоремы, противоречащне друг другу, то н в интерпретацнн также получнлнсь бы два истинных предложення, друг другу противоречащих. А это невозможно, так как область интерпретацни мы счнтзем уже обоснованной и свободной от противоречий. 2. Понятие интерпретации станет совершенно ясным, когда мы перейдем к конкретному примеру, именно к рассмзтриваемой в тексте аналнтнчес кой ийтерпретацнн. 442 пгнмвчання 136 -371 пгнмзчяния [ЗТ1 443 В качестве области интерпретации возьмзм арифметику чи- сел поля Я, которую будем считать установленной, В дальней!пем под словом «число» мы везде будем понимать «число поля Я».

Изменим теперь нашу точку зрения на точки и прямые (мы ограничиваемся интерпретацией плоской геометрии) и на соотко- шения «прин.длежит», «между» и «конгруеитен». А именно, бу- дем понимать под ними не какие-то отвлеченные понятия, под- чиненные лишь аксиоматике, а вполне конкретные понятия нз области интерпретации: под точкой — пару чисел (х, у), под прямой — тройку чисел (и, о,ш), причвм и, о, и заданы с точностью до умножения на одно и то же отличное от О число [так что (ри, ро, рш) будет та >ке самая прямая, если з — число, отличное от нуля). При этом и и о ие должны одновременно равняться нулю.

Под соотношением: «точка (х,у) принадлежит прямой (и, о, ш)» понимаем соблюдение равенства ил. + оу + ш = О. Аксиомы 1! з превратятся, очевидно, в предложение: «Если даны две различные пары чисел (хь у!) и (хз,уз), го существует одна и только одна тройка чисел (и, о, ш), заданных с точностью до умножения на общий множитель р гз О и удовлетворяющим условиям: их, + оу, + и! = — О, их! + оу, + то = — О, причбм и и о одновременно не обращаются в нуль». Мы получили предложение из области интерпретации, т.

е. из арифметики чисел поля Я, которое а рпог! моткет оказаться и верным и неверным. Однако, вникая в это предложение по существу, т. е. исследуя пару однородных уравнений относительно и, о, ш, мы убемщаемся в его правильности. Так же легко записать те предложения, в которые преврзтятся аксиомы 1, и 1Ч, н проверить им правильность. Это мы предоставляем читателю. [зт] Будем рассматривать точки (х,у), принадлежащие данной прямой (и, о, ш).

Тогда имеет место равенство; их + оу + ш = О. Так как х ну связаны линейной зависимостью, то монотонное изменение х вызысает и монотонное изменение у и обратно (если только одно из переменных х, у не остаится постоянным). Продолжаем построение аналитической интерпретация. Будем понимать под соотношением: «точка (хз, уз) лшкит мемсду точ- кани (хь у!), (хж уз) (иа данной прямой)» наличие хотя бы одного нз следующим арифметических соотношений; х, «хэ(хз, х,) хз) хз, у!<у!Суз у!) у!) !'т.

(Как было только что отмечено, наличие одного соотношения из верхней строки влечбт наличие одного соотношения и из нижней строки, если только у не остабтся постоянньм вдоль данной прямой, и обратно.) Тогда аксиомы группы И превращаются в предложения из теории неравенств в области чисел поля Я. Все эти предложения оказываются правильными, в чбм можно убедиться совершенно тривиальным образом для аксиом П! з. Мы остановимся поэтому только на аксиоме Ии Сначала выясним, какой смысл имеет в интерпретации утверждение: точки (хт,у!) н(хз,уй лежат по разные с т о роны от прямой (и, о, ш).

По определению это значит, что существует точка (х', у'), лежащая одновременно на отрезке (хт,у!), (хз, у ) и иа прямой (и, о, ш), т. е, такая, что их'+ оу'+ то =О х! «. х' «, хэ или хт) х') хт (или то же для у). Так как при переходе от (х„у,) через (х',у') к (х,уз) х меняется монотонно и так как выражение их+ оу+ю вместе с у зависит от х линейно и, следовательно, тоже меняется монотонно, то обращение их'+ оу'+ ш в нуль равносильно тому, что их, +оу!4-то и ихз+оу,+ ш имеют разные знаки. Аксиома П«в интерпретации превратится теперь в следующее предложение: «Йусть даны три точки (хт, у!), (хз, у!), (хз, ут) (не принадлежащие одной прямой) и прямая (и, о, и), не принадлежащая ни одной из этим точек, т. е. их! -(- оу! + ю ~ О, их!+ оу + ш ы О, ихз+оуз-(-ш ~ О.

Характеристики

Список файлов книги