Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Поэтому, когда Х и 1' лежат по разные стороны от Хт_#_э, то зто же имеет место и для лучей Х,Х, Х,У, и для лучей лщэХ, ХэУ одновременно. Когда ~ке Х и У лея(ат по одну сторону от ХтУэ, то это же имеет место одновременно для каждой из этих двух пар лучей. [ю] Ничего не меняя в доказательстве теоремы 20, можно формулировать еб несколько шире; пусть лучи И, ! лежат по одну сторону от И, н лучи И', !' — по одну сторону от И', причем ««(И, !) ««(И',!') и «(И, И) «(И', И'). Тогда если И' лежит внутри ««(й', !'], то И лежит внутри ««(И, !) и наоборот.
Такая формулировка позволяет сравнивать углы, откладывая их от л ю6 о го луча (по данную его сторону) без изменения результата. Теперь утверждение 2) вытекает немедленно из следующего обстоятельства. Если сравнивать углы а и ], «накладывая» ] на а, то никакого изменения не произойдет при замене ] конгруентиым ему углом у. Точно так же в утверждении 3) следует считать, что ] сравнивается с 7 путйм «накладывания» ] на ТП заменяя в этой операпии ] конгруентным ему а, мы не получим никакого изменения в результате. Утверждение 1) проверим следующим образом. «Наложим» углы а и у на ); тогда, если В ], а займут соответственно положения «(И, И!], ««(И, Иа), ««(Й, Из), то, как нам дано, И, будет лежать внутри «(И, Иа), а И,— внутри «(И, Иэ). Требуется доказать, что И, лежит внутри ««(И, И,); это и будет означать, что а ~у.
Но соответствующее утверждение доказано в примечании [гз], пункт 5 (стр, 421). Что же касается сравнения отрезков, то оио будет являться упрощбнным повторением соответствующей теории для углов. А именно, мы скажем; АВ ) СО или АВ< СО, если при откладывании АВ от точки С по лучу СО мы попадем вовне или, соответственно, внутрь отреака СО. Далее, можно формули!овать теорему 20 для отрезков и дословно повторить еб доказательство (только ссылаясь не на теорему 1б, а на лемму из примечания [ы] на стр.
426). Эта теорема, как н в случае углов, имеет то значение, что позволяет нам утверждать, что АВ) СО означает то жс самое, что СО < АВ.. пгимнчлнин [28 — 30~ 428 пгнмпчлния [30 — 32] 429 Наконец, доказательство транзитнвности соотно)пеняя > для отрезков является повторением вышепрнведенных рассуждений для углов (с некоторым унрощеннем). Докажем ешли одну простую теорему; Если на прямой а даны три точки в порядке А,В,С,а на прямой а' — трн точки в порядке А',В',С', при чйм АВ = А'В', ВС < В'С', то АС< А'С'.
В самом деле (черт. 22), отложим на луче В'С' от точки В' отрезок В'С", конгруептный ВС; тогда С" нопадбт между В' иС' по определению соотношения ВС < В'С'. ~ пч„, „, чкь. „, лвс"с. и, „„; в;. г 'ус, ' с А', С', то АС< А'С'. Черт. 22, С л е д с т в н е. Если условне теоре. мы прежнее с той лишь разницей, что теперь н АВ < А'В' и ВС < В'С', то попрежнему АС < А'С'. Для доказательства достаточно ввести вспомогательные три точки на какой-нибудь прямой аэ в порядке Аэ, Вэ, Сэ так, что АэВа — = АВ, ВэСэ= †-- В'С'.
Тогда, в силу транзитнвйостй, ВэСэ > ВС, АоВэ< А'В'. Из первого неравенства следует; АэСэ > АС, а из второго А С' > АсСэ откуда А'С' > А'" Итак, грубо говоря, прн увелнченнн слагаемых увеличивается и сумма отрезков. [-'э] Если 1' лежит внутри угла ч,то, по определению, Г лежит от 1 но одну сторону с )г н, следовательно, по разные стороны с Д, т. е.
впе угла ). Так как 1" лежит с 1 по одну сторону от я(по ностроению) н вне угла ч»()г,1),то,по доказанному в примечанин 24, 1 лежит внутри угла ч»(й, !"). Отсюда и вытекает е»(Д, 1) < ч«(Д, 1"), т. е. Г < ч»(Д, 1'). Что же касается предыдущего утверждения, что Р лежит либо внутри я, либо внутри ), то оно вытекает нз следующего. По построению 1" лежит по одну сторону с 1 и от й и от д (что одно и то же); далее, по какую бы сторону от 1 ни лежал бы 1', он будет лежать либо по ту же сторону, что и й, либо по ту же сторону, что и д. По определению внутренности угла (стр.
88), первое означает, что Г' лежнт внутри а, а второе — что!ч лежит внутри 3, [ээ] Докажем эту теорему от противного. Пусть существует пара неконгруентных треугольников АВС н А'В'С', обладающих свойствами, указаняыми в условии теоремы 2о. В этих треугольниках «Вяй «В', так как иначе они былн бы конгруентны, в силу теоремы! 3. Положим для определйнностн, что ч» В' < «В.
При луче ВА отложим угол Г=«»В' по ту сторону прямой АВ, но которую лежит точка С В силу определення неравенств ме- жду углами, лу" ч ВС' пройдйт внутри угла Г ч»АВС (черт. 23), а в Ю силу примечания ["],4, он пересечет отрезок АС в некоторой точке — мы ей 4 д обозначим буквой О. Черт, 23. В силу теоремы )3 гх АВ!)=гчА'В'С', я, следовательно, ч»А!)Вн— я «А'С'В'= «АСВ, Но, в силу теоремы 22, ««А!)В > «АСВ'. Таням образом, наше предположение о том, что теорема 25 неверна, привело нас к противоречию.
[м] Докажем, что если точки одного из конгруентных рядов упорядочены так, что точка О лежит между точками Р и )7, то соответств>ющне нм точки также следуют в порядке Р',О', дк, Предположим, что это утверждение неверно. Тогда либо точка Р' лежит между точкамн О' и Л', либо точка )3' лежнт между точкамн Р' н О', Докажем невозможность первого предположення, Для этого отложим на прямой а от точки Р со стороны, противоположной лучу Рй, отрезок РО", г г г конгруентный отрезку РО, а следовательно, в сяду аксномы П)т н О'Р' (черт. 24), Как отрезки О"Р К и РЯ, так н отрезки О'Р' н Р')с' Че т.
24. не имеют общих точек. Поэтому, Черт. 2 . в снлу аксномы П)з, Оэ)с=О')с', а в силу конгруентйостн рассматриваемых намн точечных рядов, О')с' = О)с, откуда, цо аксиоме Н!х, Оч)с= О)о Но порядок следованин, который мы можем припнсать точкам на прямой а по теореме 5, будет обязательно О"РОВ (иной порядок противоречил бы построению), т.е. точки О н О' лежат по одну сторону от точкн )3; поэтому конгруентность О")!=в ОВ противоречнт требованию однозначности откладывания отрезков (стр. 70). Предположение, что точка Я' лежит между точками Р' н О', опровергается совершенно таким же рассужденпем.
[аа] Для доказательства теоремы 28 нам понадобнтся одна известная теорема. Теорема. Всякая сторона треугольникз всегда меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Требуется доказать, что АВ < АС+ СВ, если А, В, С не лежат на одной прямой. 430 431 пгимвчлния (321! пгимвчлиия (32~ Отложим иа прямой АСот точки С отрезок СВ' к ', конгруент, т к чтобы В' н А лежали по разные стороны от С (черт, 25).
Так как точка С лежит между А и В', то С попадает внутрь угла АВВ', а следовательно, и луч ВС идйт внутри АВВ' (см. примечание (",'). Отсюда «» АВВ' ул «» СВВ'. А Но, но теореме 11, » СВВ' == з ==: »СВ'В, а следовательно, Черт. 25. «» АВВ' > «» СВ'В. По теореме 23: АВ' ь АВ, что и требовалось доказать. Дока за тел ь ст во теорем ы 28.
1. Рассмотрим сначала случай, когда Р лежит на одной прямой с двумя точками фигуры, например, А и В. Если искомая точка Р' существует, то она может лежать только на прямой А'В'. Действительно, в противном случае каждый из отрезков А'В', А'Р', В'Р' был бы меньше суммы дву ° мы двух других.
силу конгруентности фигур, каждый нз отрезков АВ, АР, ВР тоже был бы меньше суммы двух других; на самом же деле олин из них обязательно равен сумме двух других в силу расположения точек А, В, Р на одной прямой. Далее, порядок точек А', В', Р' должен быть в точности зт таким, как н точек А, В, Р, Это следует нз теорем ~ 27. П- ому, если Р' существует, то мы найдем ее един стве ни ы м образом, а именно, откладывая от точки А' отрезок А'Р', конгр>ентный АР, в сторону точки В', если Р н В лежат по одну стдрону от А, и в противоположную сторону, если Р и В лежат по разные стороны от А. Покажем теперь, что точка, которую по этому способу всегла можно построить, будет обязательно искомой точкой Р', т.
е. что искомая точка Р' всегда су шест ау е т. Пусть С вЂ” произвольная точка фигуры (А, В, ..., Е) и С'— соответствующая ей точка фигуры (А', В', ..., Е!). Тогда, в силу конгруентностн фигур, «» СА — «» С'А'ВЕ Отсюда следует «» САР— «» С'А'Р', так как углы нижней строки либо совпадают с угламн верхней строки (если Р, В лежат по одну сторону А и Р', В' — по о — по одну Р, — п сторону А'),либо являются по отношению к ним смежнычи ( н чи (если ,  — по разные стороны от А и Р', В' — по разные стороны от А', см, теорему 14). В силу теоремы 12, треугольники САР и СА'Р'конгруентны, откуда СР= С'РЕ В рассуждении молчаливо предполагалось, что С не лежит иа прямой АВ (и, следовательно, С' не лежит на А'В').
Доказа. тельство в случае С, лежащей 11а АВ, ц С', лежащей на А'В', ешй более просто. Вго мы предоставляем читателю. Итак, при дополнении фигур точками Р и Р' продолжает иметь место конгруентность всех соответствующих отрезков. Конгруентность соответствующих углов беэ труда получается по теореме ! 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
