Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 73
Текст из файла (страница 73)
пункт 1), а следовательно (нункт 3), луч И, также лежит внутри этого угла. Положим тепе(ь, что наше утверждение справедливо ддя а — 1 лучей: ИГ,Из ...,И„Р т.е.положим, что и — 2 этих лучей, например, И» из,..., И„х, лежат внутри угла ««(И» а). Локажем, что это утверждейне спраеедливо для и лучей Лейлствительно из справедливости этою утверждения для двух л) чей следует, что либо.туч И„лежит внутри угла «(И„» а),и в таком слу. чае внутри этого угла лежат и — 1 лучей: И» Иь.,., Ия х, И„, либо луч И„, лежит внутри угла ««(И, а).
В последнем случае все остальйые лучи Иг(1 =1, 2,...,п — 2), лежщцие по предположению внутри угла «(И„-» а], лежат также, в силу доказанного выше, внутри угла «(И„, а). 6. Локажем теперь, что если точка А принадлежит одной нз двух областей, на которые угол «(И,И) делит плоскость э, а точка  — другой, то всякая ломаная, лежащая в плоскости и и соединяющая точки А и В, или проходит через вершину О, или имеет либо с И, либо с И общую точку.
Не нарушая общности рассуждения, можно, очевидно, предположить, что точка А лежит внутри угла «(И, И) и что точки А н В лежат по разные стороны от прямой И. Покажем теперь, что ломаная АСОВ.. МВ, соединяющая точку А с точкой В, пересекает прямую И. Лействительно, если бы ломаная АСРЕ...МВ не пересекала прямой И, то точки А н С, С и О, а следовательно, и А и О, Р и Е, а следовательно, и А и Е и т.
д...,, наконец, А н В находились бы по одну сторону от прямой И, что противоречит сделанному нами предположенню. Однако может случиться, что ломаная АСОВ...МВ пересекает не луч И, а дополнительный луч И' прямой И (мы будем считать, что ломзная не проходит через О; в противном случае наше предтожение, очевплио, верно). Локажем, что в этом случае ломаная АСОВ... МВ пересекает луч Гт. Пусть,Р— первая точка пересечения ломаной АСОВ ... МВ (начало этой ломаной в точке А) с прямой Й, и пусть точка Р лежит на отрезке О8 ломаной АСОВ...ОВ...МВ и прн этом совпадает илн не совпадает с его концом 8, но ни в коем случае ие совпадает с концом О. Аналогично прелыдущему убеждаемся, что все точки ломаной АСОВ...ОР (ислючая точку Р) лежат по одну сторону с точкой А, а следовательно, и с лучом И от прямой И.
Точка А н луч И лежат яо одну сторону от прямой Й, точка Р и луч И вЂ” по разные стороны от этой прямой; следовательно, точки Р н А лежат по разные стороны прямой Й Поэтому, согласно доказанному выше, ломаная АСОВ...ОР должна пересечь прямую И. Точна пересечения Р, как принадлежащая ломаной АСОВ... ОР, лежит по ту же сторону от прямой И, что и луч И, а следовательно, она лежит на луче И. 7. Локажем теперь, что если точки А н А' принадлежат одной и той же области, то всегда на плоскости а существует ломаная, соединяющая точку А с точкой А', н е проходящая через точку О н не имеющая общих точек с лучами И и И. Если точки А н А' лежат внутри угла ««(И,И), то справедливость этого утверждения очевидна: в качестве указанной лома- 425 пгимичлния [19 — 22] 424 пгимкчлния [23 — 25] ной можно принять отрезок АА'.
Если точки А н А' лежат вне угла ««(й, И) по одну сторону хотя бы одной из 'прямых И, Й, например, по одну сторону от Й, го опять-таки нх можно соединить. отрезком АА'. Действительно, в этом случае отрезок АА' не имеег точек на й; кроме того, он не имеет точек и на луче И вЂ” иначе точки А, А' лежали бы с той же стороны от И, что и луч И, и одна из точек А, А' лежала бы с той же стороны от И, что и луч й, т.
е. внутри угла ««(И, И). Пусть теперь точки А н А' лежат по разные стороны как прямой И, так н прямой И. Пусть прн этом, для определенности, А лежит по одну сторону с И ог И; тогда А лежит с И по разные стороны от й (иначе А было бы внутри угла), а значит, А' лежит по одну сторону с И от й; наконец, А' лежит с И по разные стороны от И (иначе А' было бы внутри угла). Возьмем теперь произвольную точку Л1, лежащую внутри угла «(И', И»), т. е, по разные стороны от И с лучом И и по разные стороны от й с лучом И. Очевидно, Ф лежит вне угла ««(И, И) н в то же время по одну сторону от й вместе с А и по одну сторону от И вместе с А'.
Тогда АФ и МА', по только что доказанному, не имеют общих точек с й н И, так что АИ»А' есть искомая ломаная. [ю] Под «откладыванием» угла у Гильберта следует поннмзть не построение угла с помощью каких-либо инструментов, например, с помощью циркуля и линейки, а факт существования луча, определяющего угол, конгруентный данному. В соответствии с этим, под едннствеяным способом построения следует понимать существование только одного такого луча. [х~] Действительно, если в треугольпяке АВС стороны АВ и ВС конгруентны, то можно написзтгп АВ- ВС, ВС- — АВ, ««АВС = '«СВА (в силу второй части аксиомы П!ч), Поэтому, в силу аксиомы [Пх, ««ВАС вЂ” «ВСА (аксиома ГПа применяется здесь к дважды взятому одному и тому же треугольнику: первый раз — в качестве треугольника АВС, второй раз — в качестве треугольника СВА).
[ю] В самом деле, достаточно доказать, что АС = — А»С». Допустим, что этого нет; построни на луче А'С' точку О' такую, что АС— = А'О'. Тогда, по аксиоме Ш;. «АВС= «А'В'ОЧ кроме того, по условию теоремы; «АВСям «А'В'С'. Мы вступаем в противоречие с аксиомой П!ч (угол. которому конгруентен угол «АВС, оказачся отложенным двумя разными способамн). [ю] Во всех рассуждениях симметрия конгруентности для углов непредполагается,т.еэ ««АВС=««А'В'С' и «А'В'С'= == «АВС означает не одно и то же. То же относится, следовательно, к конгруентностн треугольников.
В частности, в только что проведенном рассуждении все конгруентностн следует читать «из верхней части чертежа в нижнюю». Симметрия будет вытекать только из теоремы !9. [т«]Теорема. Пусть И, И,1-лучи, выходящие из одной точки О причин И н И лежат по одну сторонуу отТ(где« вЂ” прямая, содержащая луч 1). Тогда ли- бой внутри««(1,й), а й вне ««(1, И), л н б о И в н е «(1, Л) а И в и у т р и ««(1, И). Доказательство. Допустим, что И лежит вне «(1, й), (черт. 20). Тогда И н 1 лежат по разные стороны от И [в противном случае, учитывая что И н И лежат по одну сторону от 1, мы получичи ! бы, чтой попадает внутрь ««(И,1Я.
Поэтому, соединяя отрезком две Черт. 20. произвольные точки К и й на И и 1, мы пересечям прямую И в некоторой точке Н. Так как Н лежит между Ки ь, то И лежит вне КН. Следовательно, точки Ки Н расположены по одну сторону от 1, а так как К взято на И, то К и Н лежат от 1 по ту сторону, где лежит луч И,а вместе с нин и луч И (по условию теоремы). Отсюда следует, что точка Н, нахолясь на прямой И по ту сторону от1, где лежит луч И, попадает именно на луч И (а не на дополнительный луч И'). Так как точка Н внутренняя для угла «(1, И) (см.
примечание Я, 1), то н'луч й лежит внутри угла ««(1, И) (см, примечание [[э], 3). Итак, случай расположения И вне «(1, й) н И вне « (1, И) невозможен. Случай расположения И внутри «(1, И) и И внутри ««(1, И) гоже невозможен: в этом случае отрезок К!., соединяющий какие-то две точки на И и 1, обязательно встречает Л в некоторой точке Н (примечание [гз], 4). Но по той же причине отрезок Н!. должен встречать луч И, т. е, одновременно Н лежит между ! и К и К между ! я Н, что невозможно (аксиома Па).
[ж] Проведем доказательство для случая, когда И, !г лежат по разные стороны! и Л', И' — по разные стороны 1'. Рассмотрим дополнительный к И луч Л той >ке прямой и до. полнительный к й' луч Й». и имлчлиня [25 -. 261 426 427 пгимлчлния [26 — 28~ Лучи И, И лежат по одну сторону 1, так как оба лежат по другую сторону ! по сравнению с лучом й.
Лучи И', ЙА аналогично, лезгат по одну сторону (Е Так как иам дано ««(И,!) «(й',Р),то, в силу теоремы 14, «(И, !] ««(й',Д). Кроме того, дано ««(И, !) = — ««(И', !'). Применяя теорему !5 в доказанном уже случае (к лучам 1, И, й), получим; ««(й, И! =- ~(Й,И), отсюда, в силу теоремы !4; ««(й, И) .—.
««(й', И'). [т»] Л е и и а. Г!усть даны два конгруснтных отрезка, АСм»А'С'. Тогда для всякой точки В на АС можно указать точку В' на А'С' так, что АВ = А'В', ВС = В'С'. Доказательство Отложим от точки А' по лучу А'С' отрезок А'В' так, чтобы А'В' — АВ (черт. 21). Этим точка В' однозначно определится (см. следствие из аксиомы П1з).
Далее, от точки В'отл г г аожим отрезок В'С' так, чтобы В'С"= ==«а а «' А' л ные стороны от В'. Тогла, по аксиоме П1з, АС»я А'С". Следовательно. по акЧерт. 21. сионе 1Пз, А'С' = А'С"., Отсюда вытекает, что точки С' и С' совпадают (С и С" лежат по одну сторону от АЧ по пост(оению В' взято по ту же сторону от А', что и С' и,далее, С" взято так, что В' лежит между А' и С", значит, А' вне В'С" и, следовательно, С' лежит по ту же сто(ону от А', что и В'). Очевидно, что точка В' и есть искомая точка. Докаяатель ство теоремы !б. Возьмем на лучах И, И точки Н и К произвольно, а на лучах И', И' точки Н.', И' так, что (аксиома П1,); ОНгя ОН', ОК= — О'К' (где О, О' — вершины углов).
По теореме 12 треугольник ОНК конгруентен треугольнику О'Н'К', в частности НК=-Н'К'. Луч 1, проходя внутри ««(И, И), встречает отрезок НК в не- которой точке Е (см. примечание [гз], 4). Пользуясь леммой, созь- мем на отрезке Н'т' точку Е' так, что НЕ = — Н'ЕТ !.К=Е'К'. Луч О'Е' удовлетворяет требованиям теоремы. Во-первых, он проходит внутри «(И',И'),так как !.' лежит внутри ««(И',И') (примечание [~э], 3]. Во-вторых, треугольник ОНЕ конгруентен ГУН'Ей так как ОН = =О'Н', НЕ паН'Е', ««ОНЕ =- ««О'Н'Е' (последнее вытекает иа конгруентности треугольников ОНК и О'Н'К'). Следовательно, «НОЕ = ««Н'ГТН. Совершенно аналогично ««КОŠ— «К'О'Е'.
["] Чтобы применить теорему !5, необходимо предварительно убедиться, что если лучи Х,Х и л,У лежат по разные стороны прямой Л,Хз, то и лучи ХзХ, ХэУ лежат по разные стороны прямой л,Хз и аналогично — в случае расположения по одну сторону. В самом деле, лучи лтХ н ХэХ лежат всегда по ту же сторону от прямой дтХа, что и принадлежащая нм точка Х, а лучи л,У и В»У в по ту же сторону, что и точка У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
