Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Она как бы подводит итог соотношениям порядка точек на прямой, строго выводя из аксиоматики' то их свойство, которое наглядно нам представляется в виде следования их по прямой друг за другом. (гт] Докажем, что между любыми лвумя точками прямой— мы их обозначим Аэ и А — существует бесчисленное множество точек. Согласно теореме 3, между точками Аэ и А лежит некоторая точка А, В силу той же теоремы, между точками А, и А лежит точка Аэ, между А, и А — точка Аз и т. л., между А, и А — точка Алэт. Точка Ат лежит по построению между Аа и А. 'Чтобы убедиться в том, что все остальные точки Аа (Я=2,3,...) лежат между точками Аэ и А, лостаточно доказать следующее утверждение.' если точка А„лежит между Аз и А, то точка Ая+т также лежит между Аз и А.
Справедливость же этого утверждения следует из пункта 2 доказательства теоремы 5. (зз) Две области, о которых идет речь в теореме, мы апре. делим следующим образом: на плоскости я выберем произволь. ную точку А, не лежащую на прямой а. Все точка М плоскости я, не лежащие на прямой а, разобьем на два класса К первому классу относим точки М, для когорыт отрезкя МА не пересекаются прямой а; ко второму классу — все остальные точки. Доказательство теоремы 8 сведется теперь к доказательству след юших двух утверждений: Любые яве точки М и (44 одной и той же области определяют отрезок М)т', не пересекающий п ря и у ю а (черт.
2). В самом деле, возможны два случая: а) Точки М и ))! лежат в первой области, т. е. прямая а ие пересекает ии отрезка МА, нн отреака ФА (В частном случае, когда одна из этих двух точек. например Ф, совпадает с точкой А, т. е. когда мы имеем дело только с одним отрезком — справелливость нашего утверждения очевидна.) Тогда Ф непосредственно из аксиомы П4 вытекает, что отрезок М)4) не пересекает а, если только точ.
ки А, М, )4! не лежат на одной прямой Че т. 2. Если же А, М, 44! лежат иа ерт. одной прямой, то из теоремы 1 следует, что эта прямая, либо ие пересекает прямой а, и в таком случае наше утверждение доказано, либо пересекает ее в некоторой единствеинон точке Р. Согласно условию, точка Р не может лежать ии между точками А и М, ни между точками А и )с4. Поэтому, если, иа основании теоремы 5г записать этн четыре точки в порялке их расположения на прямой, го точка Р необходимо займет крайнее место, а значит, ие может лежать между точкамн М и 44). 5) Точки М и 5! лежат во второй области, т.
е прямая а пересекает кзк отрезок АМ, так и отрезок АФ. Если точки А,М,Л) ие лежат на одной прямой, то М)с4 ие пересекзет а, в силу следствия из аксиомы П, (доказанного в примечании(з)). Если же точки А. М, )4) лежат иа одной прямой и Р— точка пересечения этой прямой с а, то Р лежит между А и М и между А и 44). Поэтому порядок следования этих четырех точек по прямой (теорема 5) будет таким, что Р отделяет А от М и )4!, т. е. либо АРМИ, либо АРММ. Очевидно, отрезок М44) не пересекается прямой а, так как точка Р лежит вне М)т'. 2.
Отрезок, соединяющий две точки М и)4) различных областей, пересекается прямой а. В самом деле, пусть точка, лежащая в одной области сточ. кой А, есть М (черт. 3; случай, когда точка М совпадает с точкой А, ввиду его простоты, мы опускаем). Пусть точки М,й) и А не лежат на одной прямой. Так как прямая а пересе- пгимичлния (14- -151 408 пгимичлиня (1 3 — 14 ] кает отрезок АИ и не пересекает отрезка АМ, то, в силу аксиомы Нь, оиа пересекает отрезок МИ. Пусть теперь точки А,М, И лежат иа одной прямой. Точка Р пересечения прямой а с отрезком АИ лежит между А и И и вне АМ.
Записывая эти четыре точки в порядке их следования по прямой (теорема 5), мы должны' поместить А и М по одну сторону от Р, а А н И вЂ” по разные стороны. Имеются лишь две возможности: АМРИ и МАРИ; в обоих случанх Р лежит и межд М и М. аши утверждения доказаны. Черт. 3. Дополним ик следующей простой тео- ремой: если М и И лежат по одну сторону от а, то всякая точка й отрезка МИ лежит по ту же сторону от а. Допустим противное; тогда иа прямой МИ имеется точка Р прямой а, лежащая между М и й и между М и й.
Порядок точек будет поэтому либо 5РМИ, либо !.РИМ; оба случая противоречат тому, что й лежат между М и М [~ь] Пусть на прямои а дана точка О. Возьмем на той же прямой произвольную точку А и разобьем все точки прямой а (кроме точки 0) на два класса; к первому классу отвесим точки, образующие вместе с точкой А отрезки, на которых точка 0 не лежит; ко второму классу отиесбм все остальные точки, т.е. все точки, образующие вместе с точкой А отрезки, заключающие точку О. Докажем следующие два утверждения: 1.
Если точки М и И принадлежат к одному и тому же классу, то точка 0 ие лежит иа отрезке МИ. Здесь могут быть два случая. а) Точки М и И принадлежат к первому классу. Тогда, записыван расположение точек А, М, И, 0 в том порядке, который установлен теоремой 5, мы должны будем точку 0 поместить на крайнее место, так как иначе она, вопреки предположению, попала бы либо между точками А и М, либо между точками А и И. Итак, точка 0 должна в этом случае лежать вне отрезка МИ. б) Точки М и М принадлежат ко вто!ому классу, т. е. точка 0 лежит как между А и М, так и между А и М. В таком случае, в силу теоремы 5, возможны только следующие расположении точек; АОМИ, АОММ, т. е. точка 0 при этом наверное не лежит на отрезке МИ, 2) Т очка 0 лежит на вся ком отрезке МИ, концы которого принадлежат к различным классам. Положим длн определенности, что второму классу принадлежит точка М, т.
е. между точкой М и А лежит точка О. Так как точса 0 не лежит между И и А, то вся четверка точек, в силу теоремы 5, может иметь одно из следующих двух расположений: МОАИ, МОИА, что и доказывает наше утверждение. Эти утверждения показывают, что произведенное нами разбиение точек иа два класса определнется только точкой О, а отнюдь ие выбором точки А. Каждый из этих классов называется лучом. Таким образом, любая точка О иа прямой разбивает эту прямую (без точки О) иа два луча. Про точки, лежащие иа одном и том же луче, говорят, что они лежат по одну сторону от точки О.
(ть] Прн доказательстве теоремы 9 мы будем пользоваться понятием угла и ссылаться на утверждения, помещ6нные в основном тексте на стр. 59 и доказанные в примечании (гэ]. Хотя определение угла и указанные утверждения помещены в тексте после аксиомы конгруентности (П!г), однако ни это определение, ии доказательство этих утверждений не используют аксиом конгруеитности(как это и отмечено в самом тексте у Гильберта). Поэтому, пользуясь понятием угла, мы отнюдь не выходим за пределы аксиом групп 1 и 11.
В этом примечании для краткости мы будем пользоваться терминами «ломаная линия» и «многоугольник», понимая под ниии всегда простую ломаную линию и простой многоугольник. Доказательству утверждений, содержащихся в теореме 9, мы предвещаем несколько лемм. Лемм а 1. Вге точки плоскости е, не яринадлелсащиг многоугольнику л!, делятся этим многоугольником на два класса: яа точки, обладающие твя свойством, что всв ис- с!врт. 5. ходящие из них лучи проходят через й) чйтное число риз, и на точки, обладающие тем свойством, что все исходящие из них лучи проходят через $ нвчдтное число раз. Подсчйг числа прохождений луча или прямой через многоугольник мы будем вести по следующему правилу: за одно прохождение мы будем нриниматэп !) либо пересечение луча с отрезком, служащим стороной многоугольника; 2) либо прохождение луча через вершину многоугольника В, если при этом стороны ВА и ВС многоугольника, исходящие из этой вершины, окажутся по разные стороны от луча (черт.
4, но ие черт. 5); 411 пгимичдния !г151 пгимкчдния (15~ 410 3) либо п«охождение луча через две соседние вершины многоугольникз Р и 6, при условии, что две другие стороны многоугольника ЕР и ОН, примыкающие к этим же вершинам, лежат по разные стороны от луча (черт. 6, но н е черт. 7). При доказательстве этого мы будем понимать пол словом «угол» совокупность двух лучей, исходящих нз точка О (не лежащей на цэ), даже и в том случае, котла совокупность этих Черт.
6. Черт, 7. лучей н точки О образует одну прямую, т. е. когда речь идет о «развернутом угле. Под внутренними тачками такого угла мы будем понимать точки, лежащие по одну определенную (безразлично какую)сторону от прямой, на которой лежат стороны угла. Из определения термина «луч проходит через многоугольник» следует, что если одна нз сторон, например д, угла З (й, д) проходит через многоугольник дэ, то стороны многоугольника (случаи 2 и 3) или отрезки олной из сторон (случай 1), примыкаюсцне к точке (нлн стороне) многоугольника, лежащей на луче д, будут расположены по разные стороны от прямой Ь. Выкинем из многоугольника все точки, в которых луч и нлн луч д проходит через многоугольник (случан 1, 2) и все отрезки типа Р6 (черт. 6), отвечающие прохождению луча Ь нлн д через многоугольник (случай 3).
Тогда многоугольник рзспадзется на куски, каждый нз которых будет расположен либо целиком внутри угла «Т(д, й) (и, может быть, частью на его сторонах), лабо целиком вне угла <Т(й, д) (и, может быть, частью на его сторонах). При этом соседние куски расположены всегда одни внутри, а другой вне угла «х(й, д). Так как многоугольник ззмкнут, то общее число кусков может быть только четным. Поэтому число прохождений обоих лучей Д н Д через многоугольник дз должно быть также четным. Отсюда следует, что число прохождений луча д через многоугольник будет чбтггым или нечетным в зависимости от того, будет ли четным или нечбтным число прохождешгй луча д через этот же многоугольник. Итак, наше утверждение доказано. Точкй, нз которых выходят лучи, пересекающие нечетное число раз данный многоугольник, называются его внутренними . В остальные точки плоскости, исключая, конечно, точками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
