Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 71
Текст из файла (страница 71)
У г шин Р, О лежит внутри треугольника. Черт. !1. Положим теперь, что отрезок РО имеет общие точки с треугольником АВС (черт. 11). По условию он может пересечься только со стороной АС этого треугольника. Обозначим точку пересечения буквой В. Так как точка К лежи~ между точками Р и О, то она, в силу теоремы 5, ие может лежать внутри обоих отрезков РО и ОО. Пусть точка У лежит из отрезке РО. В таком случае, в силу леммы Ч, вершина О ломаной Я лем<ит внутри треугольника АВС. Локажем лемму Ч!И.
Пусть внутри треугольника АВС и на стороне его АС лежат Ф вершин ломаной . Обозначим их: Мь, Мт...„М„(черт. 12). Из точки С проведем лучи СМ„ С ь..., СМ„. Некоторые из этих лучей могут даже совпасть. Часть этих лучей может совпасть с лучом АС, остальные же, как проходя<лис через точки, лежащие внутри треугольника АВС, должны в силу леммы )Ч пересекать отрезок АВ. Пусть точки пересечения будут О, Е, Р,..., К. Точки А, В и точки О,Е, Р,..., К лей<вшие на прямой АВ, в силу теоремы 6 образуют некоторую упорядоченную последовательность, одной р из крайних точек которой служит А,а дру- в гой — В. Построим точку Р между К и г ~,П В,где К вЂ” соседняя с В точка последовательности. Так как А, О, Е, Р,...,К лежат е я вне отрезка РВ, то ни одна йз точек М< не может лежать на трансверсали тре в угольника РСВ, вруньей из вершины С к стороне РВ, следовательно, ие может быть Черт. 12.
(лемма 1Ч) внутренней точкой РСВ. Но всякая внутреиивя точна О треугольника РСВ, в силу следствия леммы !Ч, является также внутренней точкой треугольника АВС. Поэтому в треугольнике РСВ нет ни одной вершины ломаной (В. Сторона ВС у него общая с треугольником АВС; сторона РВ является частью стороны АВ етого последнего. Поэтому к треугольнику РВС применима лемма ЧИ (причбм роль стороны АС будет играть РС) и, следовательно, внутри этого треугольника нет ни одной точки ломаной <ю.
Чтобы убедигься, что и на с<оране РС иет ни одной точки Й, достаточно аналогичным об. разом рассмотреть треугольник в' в Р'СВ, где Р' взято между К иР. Лемма ! Х. Если — сторока миогоугольникаЦ, С вЂ” точь<а ка отрезке РО и  — впутреппие или обе внешние точки многоугольника й) и отрезки АС и ВС не имеют общим точек с ф. то отрезки АС и ВС лежат по одну сторону от прямой Рчь. Черт.
13. Предположим противное (чер- теж !3). Продолжим отрезок АС в противоположную сторону. На этом продолжении в силу леммы И можно выбрать отрезок СА', внутри которого нет точек ф, причалы если точки отрезка АС лежат внутри ю, то точки отрезка СА' лежат вне <р я наоборот (следствие 2 леммы И). В силу нашего предположения лучи СА' и СВ будут лежать по одну сгороиу от прямой РО. Применяя лемму ЧЙ! к тре. угольнику А'ВС, причбм роль стороны АС будет играть А'В, 416 пгнмкчдния [151 принкчдння [151 на отрезке СА' можно выбрать точку (л так, чтобы отрезок ВВ не пересекался с миогоугольникои д( и, следовательно, точки В и лл либо обе будут лежать внутри ф, либо обе вне ф (лемма Ч). Поэтому, если точка А лежит внутри (вне) ф, то точка )9 (следствие 2 леммы П), а следовательно, и В должны лежать вне (внутри) ю, что противоречит условию нашей леммы.
Таким образом, она доказана. Любую незамкнутую ломаную линию, соединяющую точку А с любой точкой В, мы будем дальше часто называть путйм, проведднным иэ точки А в точку В. Л е и и а Х. Произвольную точку А, ке лежащую на (залгкиутой или незамкнутой) ломакой Я, можно соединить с любой точкой В этой ломакой кутба, не имеющим общих точек с ломаной Я. Провалам нз точки А произвольный луч, проходящий через ломаную Я. Пусть М вЂ” точка первой встречи э,"ого луча с ломаной ю.
Отрезок АМ есть путь, не пересекающий (В и соеанняющий Черт. 14. Черт. !5. точки А и М. Нам требуется видоизменить этот путь и продолжить его до гочки В. Пусть РМ и !)М вЂ” ава отрезка, лежащие на ломаной (В и не имеющие общих точек (РМ и (~М могут лежать и на одном звене). Для начала перенесбм точку первой встречи нашего пути с ломаной (о из точки М в точку )'„). При этом может оказаться одно из двух: либо луч МР пересечет отрезок Асс, т. е, пройдат внутри треугольника АМ);), либо он пройдет вне его. Во втором случае (черт. 14), в силу леммы ЧП1, на отрезке АМ можно найти точку Т, такую, что нн внутри треугольника ТМ(), ни на стороне его ТО кроме точки О не буает ни одной точки ломаной Я. Заменим отрезок ТМ отрезком ТО; тем самым мы получим путь А Т(), не содержащий ни одной точки Я, кроме ч).
В первом же случае (т. е. если луч МР проходит внутри треугольника АМО, черт. 15) мы возьмйм на луче, дополнительном к лучу МР, точку Р', лежащую между М н первой точкой пересечения этого луча, дополнительного к лучу МР, с ломаной (В (если этого луча нет, то в качестве Р' берется произвольная точка этого луча). Затем, пользуясь леммой Ч!П, на отрезке МР' выбирают точку (л'так, чтобы ни внутри треугольника (ГМ)',), ни на стороне его МО не было точек ломаной Я.
Далее на отрезке АМ выбирают (пользуясь той же леммой Ч!П) точку Р так, чтобы ни внутри треугольника РМ(1, ни на его стороне Р(l ие было точек ломаной Я. Наконец, заменив отрезок РМ ломаной Р((б), мы и в этом случае получим путь АРИ;), не содержащий ни одной точки Я, кроме ф Очевидно, что действуя этим способом, можно первую точку встречи нашего пути с ломаной Я перенести в любую точку соответствующего звена ломаной Я, в том числе и в его конец, и, продолжая таким образом, дойти до любой точки В этой ломаной. После того,как получены леммы 1 — Х, переходим к теореме 9. Докажем сначала первое утверждение теоремы 9.
Пусть многоугольник ф состоит из незамкнутой ломаной !В н отрезка Рг',), копны которых являются их еаинственными общими точками (черт. в !6). Точку А, лежащую внутри йл, м в силу леммы Х, можно соединить с ф путем, впервые пересекающим ф в точке )2 отрезка РЦ. Соединим с точкой Я таким же путям также и точкч В, лежащую внутри ф. Пусть Й2 и )сП вЂ” последние звенья намеченных путей. Так как точки А в и  — обе лежат внутри ф, то в силу леммы Ч1, все точки обоих . путей, за исключением точки Л, ле- Черт. !6. жат внутри (вне) ф. В силу леммы 1Х, отрезки (лрс и (сВ лежат по одну сторону от РО, т.
е, ни отрезок ВР, нн отрезок ьс!',) не проходят внутри треугольинка ЩК Итак, проходящая через точку Я сторона нногоугольнина ф не проходит'внутрь треугольника (лрс(с; на отрезках (ТР и )сР нет точек ф. Поэтому к треугольнику П~>)с применима лемма ЧП1, т. е, па стороне его )г(л' можно найти такчю точку В', что отрезок )(с(l не будет иметь общих точек с й). Ломаная, состоящая из обоих намеченных нами путей, представляет собою путь нз точки А в точку В.
Если часть (у!с(с этого пути заменить ломаной ИТс)с, то мы получим путь из точки А в точку В, не пересекающий многоугольник й). Итак, мы доказалн, что если точки А и В обе суть внутренние точки многоугольника $, то всегда (в плоскости этого многоугольника) существует путь, соединяющий эти две точки и не имеющий ни одной общей точки с многоугольником й). Для внешних точек доказательство совершенно аналогично.
Утверждение же, что всякая ломаная, лежвщая в плоскости многоугольника ф и соеаиняющая внешнюю точку этого 27 д, гильверт пгнмвчхнии [15] пгимечания [!5 — 17] многоугольника с его внутренней точкой, имеет по крайней мере одну общую точку с 41 — есть непосредственное следствие леммы тГ). Основная идея доказательства этих теорем принадлежит А. Ввитеринцу (А. %!и!егп!1х, Оейег бел Зогбап)асйеп Кнгчепха[х нпд чегжапб(е Яа1хе бег Апа1уз)а айвз, Ыа1п Ее)!асйг., т. 1, стр. 330 — 332, !9!8).
Доказательство утверждения, что ве существует прямой, целиком лежащей внутри многоугольника,— т.ег что у всякой прямой, имеющей хотя бы одну точку внутри многоугольника, имеются точки также и вне этого миогочгольиика, — не представляет теперь никаких затруднений. Действительно, пусть точка О прямой а лежит внутри ф. Тогда луч а этой прямой, всходящий нз точки О, проходит по крайней мере один раз через )41. Согласно лемме П, за этим прохождением иа луче а непосредственно следует отрезок, состоящий из точек, внешних относнтельно многоугольника ф. Переходим к доказательству последнего утверждения этой теоремы — в плоскости многоугольника можно провести прямую, ие имеющую общих точек с этим многоугольником.
Докажем сначала, что для любых в точек иа плоскости всегда существует прямая такая, что все данные точки вбежат по одну ей сторону н, может быть, на ней самой. Возьмем сначала произвольную прямую а, не проходншую через данные точки, Если данные точки расположатся по обе стороны а, то поступим следу!ощнм образом. Соединим отрезками попарно 'данные точки, лежащие по разные стороны а, н отметим точкн этих отрезйов, попавшие на а, в порядке их расположения иа а: Аь А,, Аа.
Возьмйм прямую М5г, где М и М вЂ” две из данных точек, лежащие по разные стороны а, причем отрезок МЛГ встречается с а в точке Ал. Мы утверждаем, что МЬ) есть искомая прямая. В самом деле, обозначим через ан ту полуплоскость, определяемую Мт)Г, в которой лежат точки Аь Ах и Ал т. Пусть теперь й — произвольная точна из числа данных точек; пусть для определвнностн й лежит с Ь) по разные стороны от а (иначе вместо Аг мы взяли бы М). Тогда отрезок (.й( содержит некоторую точку Аг((ч- Ф), а следовательно, ьг лежат вне отрезка ЬАь Отсюда, если ! ~ й, вытекает, что (. и А! лежат по одну сторону прямой Мт)Г, значит, й лежит в аэ'; если же 1= )), то (. лежнт на МИ.
Утверждение доказано. Покажем теперь, что его можно усилить, а именно, подобрать прямую так, что все данные точки лежат строго по одну еб сторону. Длн этого каждую данную точку мы помещаем внутри двух пересекаюшнхсн в ней отрезков н строим— на основания предыдущего — прямую так, что данные я точек в совоктпностн с 4п копцамн этих отрезков могут лежать лишь по одну сторону прямой иля на ней самой. Очевидно, что тогда данные и точек па прямую попадать не могут и лежат по одну ее сторону.
Еслн в качестве данных а точек взнть вершины многоугольника, то получаем то, что требовалось доказать. [ы] Эта теорема нвляется обобщением теоремы 8 на случай пространства. Возьмем некоторую точку А, не лежащую в плоскости а. Все точки М, для которых отрезок МА ие содержит ни одной точки плоскости, мы отнесем к одной области, а все остальные точки пространства (не принадлежащие плоскости а)— к другой области. Аналогично тому, как это было сделано в примечаниях ['з] и [ы], мы докажем следующие трн утверждения: 1) Если точкиМидглежат в первой области, то отрезок МИ не содержит точек плоскости а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
