Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Мы утверждаем, что на прямой однозначно определятся иапрзвленне в этом смысле, еслн указать произвольно две точки, например Е н М, и потребовать, чтобы М следовала за Е. в пгимкчдния (56) В самом деле, если взять после этого две какие-нибудь точки А,В то, по теореме б, точки А,В,Е,М моькнЬ последовательно записать так, чтобы эта запись отвечала их геометрическому расположению (в смысле соотношения «между»). Потоебуем, кроме того, чтобы в этой записи точка М следовала за Е. Тогда запись определится вполне однозначно, и порядок следования точек А, В в этой записи мы и примем за порядок .следования этих точек на прямой, Нетрудно проверить соблюдепие требований 1) и 2).
Для етого достаточно провести аналогичную запись для 5 точек А, В, С, Т.,М и использовать свойства этой записи, известные по теореме б. Следует иметь в виду, что если пэ записи вычеркнуть, например, точку С, то мы получаем прежнюю запись для 4 точек, так что порядок следования точек А, В ие мепяется от того, что в записи участвуют дополнительные точки. Точки, следующие эа данной точкой О направленной прямой, образуют, очевидно, полуарямую (луч). В д а л ь и е й ш е м п о д прямыми мы понимаем направленные прямые. Введение ориентации иа плоскости можно теперь осуществить следующим образом. Для каждой прямой иа плоскости мы присвоим одиой из двух полуплоскостей, образуемых этой прямой, наименование «левая», а другой — «йравая».
При этом при замене иаправления иа прямой на обратиое мы условимся эти наименования переставлять между собой. Будем говорить, что плоскость о р и е и т и р а в а н а, если выбор «правых» и «левых» полуплоскостей будет согласоваи в иижеследующем смысле: всякий раз, когда две прямые а, Ь пересекаются в какой-нибудь точке О, и полупрямая а, следующая за О, лежит «справа» от Ь, то полупрямая Ь, следующая за О, лежйт «слева» от а, и иаоборот (черт. 31). Мы будем говорить коротко, что две пересекающиеся пряиые а и Ь «согласованы», если выбор «правых» и «левых» полу» плоскостей для иих удовлетворяет указзиному требованию. Очевидно, «согласованность ие нарушается при замене направления иа одной из прямых на обратное (следует помнить, что «правая» и «левая» сторона при этом меняются местами). Наша задача состоит в следующем.
Выбрав для какой-нибудь одной прямой а «правую» и <левую» полупласкость произвольно, показать, что для всех остальиых прямых это можно сделать так, чтобы любые две пересекающиесяпрямые были «согласованы» Ч .31, е т. 31. Пусть а будет исходиая прямая, для ко- Р 31 торой мы произвольно выбрали «правую» и «левую полуплоскости, Для всех остальных прямых Ь, пересекающих а, мы определяем «правую» я «левую» полуплоскостн, требуя, чтобы а и Ь были согласованы пгимзчания (56] (если полупрямая Ь, следующая эа О, лежит слева» от а, то из двух полуплоскостей, определяемых Ь, мы иазовеи «правой» ту, которая и содержит полупрямую а, следующую за О).
Те прямые г, которые ие пересекаются с а, наверное пересекаются с некоторыми прямыми Ь; для таких с мы устанавливаем «правую» и «левую» сторону путем согласования с какойиибудь примой Ь, с которой данная прямая с пересекается. Для тоьо, чтобы убедиться, что теперь любые две пересекающиеся прямые окажутся «согласоваииыми», достаточио дока- вать, что «согласоваииость» есть свойство траизитивиое: две прямые, «согласованпые»с третьей, «согласованы» и между собой. Черт.
33. Черт. 32. Действительно, отсюда немедленно вытечет, что любые две пересекающиеся прямые Ь «согласованы» между собой; затем, что прямая с, будучи «согласована» с одной из пересекающих ее прямых Ьь, будет «согласоваиа» с любой другой пересекающей ей прямой Ьз (если нужно, сначала обнаружим «согласованиость» с с вспомогательиой прямой Ьз, а затем уьке с Ьэ (черт. 32).
Накоиец, любые две пересекающиеся прямые ст,гэ согласованы между собой. Действительна, пусть ст «согласована» с Ьт, а г — с Ь. Тогда с, «согласоваиа» с Ьа и гэ с Ь, (черт. 33). Так как Ьз и Ь всегда «согласованы» между собой, то гт и сз тоже «согласоваиы». й Итак, докажем траизитивность «г согласоваииости». Пусть три прямые а, Ь, с попарно пересекаются. Если а согласовано с Ь и с с, то Ь и с согласоваиы Черт. 34. между собой. 1-й случай: а,й,с образуют треугольник АВС (черт. 34), Для определйииости считаем, что направления иа а, Ь,с суть ВС, СА, АВ (от замены направления прямой иа обратное «согласоваиность» не нарушается), Пусть точка А лежит хотя 459 пгимзчлння [57 — 60] пгимвчлния ~66 — 57] бы «влево» от а.
Тогдз полупрямая Ь, следующая за С, также леэгит «влево» от а, а значит (в снлу «соглзсаванности») полу- прямая а, слздующзязз С, лежит впрзво от Ь. Тем самым то.ка Ь; предшествующая С на а, лежит на другой полупрямой а, т, е. » влевоот Ь. Пол упрямая с, следующая за А, т. е. АВ, лежне тем самым влево от Ь.
Теперь проводнм аналогичное рассуждение, исходя из полу- прямой г, следующей за В н лежащей, следовательно, вправо от а, В силу «согласованностн» полупрямая а, следующая за В, лежнт «слева» от с, точка С тоже «слева» от с, н п о л у п р я м а я Ь, следующая за точкой А, с лежнт «справа» от с. Сопоставляя подчеркнутые результаты, мы, убеждаемся в «согласованности» прямых Ь в с.
2й случай. Прямые а,Ь,с пересекаются в одной точке (черт. 35). Пересекаем а, Ь,с четвертой пряЧерт. 35. мой »1, не проходящей через их об- щую точку, и «согласуем» прямую »Г с а. В силу 1-го случая,«( окажетсн «согласованной» н с Ь и с с, а следовательно, Ь и с будут «согласованы» и между собой.
[ы») На стр. !27, в начале б 17, указывалось, что нсчнсленнс отрезков (взятых с вх знаками) подчиняется прзвнлам 1 — 16 б 13, в частностн коммутатнвному н ассоциативному законам для сложения. Пользуясь этими закоками, можно перегруппировать слагаемые в правой части так, чтобы в первую очередь происходило сложение отрезков, отлнчающнхся друг ог друга только знаками, в результате чего этн отрезкн выпадут из суммы. Ссылка на дистрибутивный закон, встречающаяся в доказательстве, позволяет нам заключить, что когда основзнне одного трсугольчика есть сумма оснований двух других треугольников, а высоты у всех трех конгруентны, то мера площади первого треугольника — как половина произведения основания на высоту в есть сумма мер площади для двух других треугольников.
[эт] В самом деле, если у нас имеется два раэбнення данного многоугольника Р на треугольники, то, как было показано прн доказательстве теоремы 53, можно построить его третье разбиение на треугольники, являющиеся подразбнением казкдого нз первых двух. Возьмям сумму мер площади треугольников третьего разбиения и все слагаемые разобьем на группы так, что слагаемые каждой группы отвечают треугольникам, входящим в одни н тот же треугольник первого (второго) разбиения. По теореме 50 каждан группа слагаемых дает меру площади треугольпнка первого (второго) разбиения, а полная сумма дает г с мму мер площади треугольников первого (второго) разбнення.
аким образом, сумма мер площади треугольников первого н второго разбиений, равна одному и тому же отрезку. [ы] Ссылка на теорему 50 является излишней, и равенство мер площади для многоугольников, равновелнкнх по разложению, следует непосредственно из определений. Из определення меры площади многоугольвнка непосредственно следует также, что мера площади составного многоугольннка (см. прнмечание [зг]) равна сумме мер площадей составляющих многоугольников.
Это обстоятельство используется в следующем абзаце текста, где подразумевается, что равенство ['+'+" +Р"]=[Е+() +...+а«) можно переписать в виде: [Р]+ [Р') +... + [Р") = [О] + [(;)Ч +... + [()«]. [щ) Обращаен вниманне чнтателя на различие между аксиомамн !Ч и 1Ч*. Как аксиома 1Ч, так н аксиома 1Ч" отрицают возможность провести через данную точку А более одной прямой, не пересекающейся с данной прямой (вся происходят в данной плоскости «). Но аксиома !Ч* утверждает, кроме того, что одну такую прямую всегда можно провести; аксиома 1Ч такого утверждення не содержит. ))ело в том, что раньше, когда у нас имелись аксиомы конгруентностн, это утверждение д о к а з ы в а л о с ь; теперь же это утвержденйе доказать невозможно, н его приходится принять за аксиому. [ю) Вся Ч,глава относится к геометрии, построенной на аксиомах 1, 11, 1Ч», т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
