Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 84

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

умножая это равенство на а справа, получим (закон 6); (аа-!) а =а или (закон 9): а(а-|а) =а, Сравнивая это равенство с а 1=-а, мы получим в силу за- кона 5 (едннственность деленна): а-!а=1, т. е. а-1 н а дают в пронзведенни 1 в любом порядке. Преобразование х|=.а-!х! будет, очевидно, обратным к х =ах! в смысле утверждения 3). / Пусть теорема доказана для всех значений и, меньших дан- ного. Докажем ее для данного значения и, Будем считать, что хоть один иэ коэффициентов в преобра- зования (1) отличен от нуля (яначе теорема теряет смысл). ПУсть длЯ опРеделбнностн это бУдет аст Определим теперь новые элементы х,, х по фор- 1 ''г и — ! мулам: Х1- — 1 — 1ча иеХиг =х — а -1 хг "хз ага х (3) -! Х„! -Х„| — аа 1ма„„Х„ в Ю Очевидно, что х, ..., х„п если вместо х, ..., х„подста- вить их выражения нз (1), выразятся только через х|, ..., х„ без участия х .

Мы имеем, таким образом, преобразование и' типа (1), но с меньшим числом элементов. Это преобразоваине хь ..., х, в х, ..., х„мы будем называть коротко прел образованнем (3). Мы утверждаем теперь следующее: Если свойство 1) имеет место для преобразования (1), то ояо имеет место и для преобразования (3), и обратно. Для этого достаточно доказать, что если свойство 1) не имеет места для (1), то оно не имеет места и для (3) н обратно. Итак, пусть существуют такие значенин х|, ..., х„ (хотя бы одно из которых не равно 0), которые обращают в нуль все х', ..., х . Но нз формул (3) видно, что тогда обращаются г ' л.

в нуль н х, ..., х„, т. е. свойство 1) не имеет места н для (3). (Важно, что при этом х|, ..., х„! не могут быть одно- временно нулями — иначе последнее из уравнений (1) приводило бы к противоречню, так как аи„Ф 0.) Обратно, если существуют такие х!... „х„|, которые обрзи Ф щзют в нуль все х, ..., х„„то мы потребуем ещз обраще- ния в нуль х„в последнем из уравнений (1), откупа без труда найлом соответствУющее значение х„(так как авч Ф 0). Мь| имеем теперь значения х|, х|, ..., х, которые обращают в нуль в е г х, ..., х 1, х, з следовательно, н х, ..., х„. Далее мы утверждаем: если свойство 2) имеет место для преобразования (1), то ояо имеет место и для преобрпзова- кия (3), и обратно, Снова доказыззем, что если свойство 2) не имеет места 'для (1), то оно не имеет места и для (3), н обратно. Пусть существуют Ь|, Ьз,..., Ь„(из которых одно не рав- но 0) такие, что Ь!х'+...+Ь |х~~ 1+ Ь„х„'=0 (4) при любых хь ..., х„.

Пользуясь (3), можно назисат|с I ! Ь!х!+...-+ Ь„|х„| — — Ь|х|+...+ Ь„|х„| —,— г +( — Ь|а|„—...— Ьа |а„' 1 ) а„„х„. С)мму, стоящую в скобках, мы можем заменять через Ьва„„; чтобы убедиться в этом, достаточно напнсать (4) в том частном случае, когда х|=-хг=... =х„! — — О, х„=1. В результате вся выражение совпадает с левой частью (4) н, следовательно, обратится в нуль. Следовательно, для пре- образовзния (3) свойство 2) тоже не имеет места (все Ь|,..., Ь„! не могут равняться нулю, так как иначе Ь„~ 0 и нз (4) следа. 471 пгимвчлния [671 пгнмвчания [67) 470 вала бы хлилО пРн любых хт,..., х„; но это невозможно, так как ал! ю О).

Обратно, есля сушествуют такие Ьт, ..., Ьл 1 (не все равные нулю), что Ьх+...+Ь„~х„,=о прн любых хт, ...,х„т, то, вставляя сюда выражения (3), по! ! лучнм зависимость вида (4) между хн ..., хл. Наконец, докажем, что если свойство 3) (обратимость) имеет место для преобразования (1), то оно имеет место и для преобразования (3), и обратно. и л 7(ополинтельио к элементам х, ..., хл „определяемым формуламн (3), введем ешб х„по формуле (5) ! л Преоб(аювание х, ..., хл в х, ..., хл, очевидно, обратимо: достаточно в (3) заменить хл через х„и выразить х„..., л Отсюда вытекает, что обратимость преобразования х в х' равносильна обратимости преобразования х в х" (так как изложение двух обратимых преобразований цайт, очевидно, преобразование обратимое). Допустим, что зависимость х' от х обратима.

Как мы знал 'л ем, хт, ..., хл 1 выРажаютса линейно чеРез хт, „хл 1; хл выражается линейно через хт, ..., х . Пусть для последнего преобразования существует обратное. Ь(ы утверждаем, что в обратном преобразовании хт,..., хл 1 выражаются только через н х...., хл . действительно, если бы в выражение для х, (на! пример) вошло х„с неравным нулю коэффициентом, то мы по. лучили бы противоречие, положив хт=... =ха 1=0, хи=1. В свмом деле, тогда, согласно (3), л =хл-1=0 хл=хл=алл ~О и выражение для хт будет сводиться к отличному от нуля члену, содержашему х„". А это противоречит тому, что х1= 0. Итак, существование обратного преобразования для преобразования хт,...,ха вх, ..., х„влечбт сушествоваине обратного пРеобРазоваииа и длЯ пРеобРазоваииа хт,..., хл 1 в Л1, Хл 1.

Совершенно очевидно, что обратное утверждение тоже верно. Итак, обратимость преобразования хт,. хл-1 л1' ' ' ' л 1 в,...,х '! равносильна обратимости преобразования хь ..., хл вх1, ... „х„, а последнее равносильно, как было доказано выше, обратимостя преобразования х,, ..., х в хи ..., х'„.

Наше утверждение доказано. еиий Теперь, так как справедливость каждого из утверждеии 1), 2), 3) для преобразования (1) влечетвв собой справедливость его и для преобразования (3) и обратно, и так как для преобразо( ) три ° тверждеиия эквивалентны (теорема предпоп об азолагается доказаиной для и — 1 элементов), то и для про р ванна (1) эти утверждения будут эквивалентны.

Наша теорема доказана. ес кой Переходим к иекоммутативиой аиалитическо геометрии. Как указано в тексте, точкой называется тройка чисел (х, у, в) дезарговой числовой системы О, а совокупность точек, лежаших иа прямой, определяется парой уравнений вида и'х (- о'у + в'л )- г' =. О. и"х+ о"у+в"л + г" =О (6) при условии,что строки матрицы х=ат+хэ, у =ьг+у, л = ст + ла. (7) линейно ие.анисимы слева. Подберем ешб тройку чисел и, о, в дезарговой системы О б се три строки были линейно независимы слева (возможность этого показать нетрудно).

Обозначим через з т линейное выражение их+ну+та и запишем: — г' = и'х + о'у + в'л, (6') т= их+ оу +вл. Можно считать, что мы имеем здесь линейное преобразоварои ведбниое иад х, у, л, причин соблюдается свойство 2). В таком случае имеет место и свойство 3), и мы можем о вмест написанной системы взять ей э к вин а лепт кую систему у(авнеиий, где х, у, л будут линейно выражены через левые части.

Так как г' и !" — постоянные, то члены с г' и г" мы объединяем в качестве свободных членов,хэ, уэ, ла и получаем: пгнмвчлния (67! 472 пг«мкчлння '(671 Очевндно, здесь можно давать ! любые значения, не теряя возможности вернуться к системе (6'). Следовательно, мы докззалн возможноеть параметрического представления всякой прямой (прн этом а, Ь, с одновременно в нуль не обращаются— иначе прн подстановке х,у, з нз (7) в (6) мы получили бы à — ' сопл!.). Обратно, всякое параметрическое представление (7), где и, ь; с ие равны нулю одновременно, определяет прямую: если а Ы О, то нз первого уравнения: Г =- а-т х — а-тх; з вставляя это выражеяне во второе н третье уравнения, возвра- щаемся к снстеме типа (6).

Займемся проверкой аксиом !т н !э. Потребуем, чтобы пря- мая (7), пока с неопределйннымн а, Ь, с, ха, уа, за, проходила через две данные точки Мт(лт, ут, г!), Мз(хт, ут, зт). Всегда можно предполагать, если такая прямая существует, что пара- метр Г в точке М, принимает значение 0 в нначе мы ввели бы в качестве параметра ! — Гь где Гт — значение Г в Мг Можно считать, далее, что в Мт параметр Г принимает значение !в иначе мы ввели бы в качестве параметра гз 'Г, где Гт — значе- ние Г в Мт.

Вид уравнений (7) от этих замен параметра не нз- меннтся, хотя коэффициенты станут, конечно, другнмн. Вставляя в (7) значения Г=.О н ! = 1, мы должны получить: хт =- хз, хт = а+ ха, Ут = Уз Ут = Ь + Уз зт -- лз, хз = с + зз, откуда ха, уз, зз, а, Ь, с немедленно определяются и прнтом едннственным образом. Аксиомы 1т н 1т проверены.

Аксиома 1з, очевидно, имеет место: достаточно в (7) положнть !=0 и 1.=1. Провернм аксиомы !а и 1м Пусть Мт (хт, ут, зт), М (х, у, г ), Мз(хз Уь зз) — трн данные точки. Требуется найти и, и, нп г так, чтобы — г = ихт + иу, + взь — г = ихт+ пут+ вг, (8) — г= ихз+ пуз+ юг, прнчбм хоть одно нз и, о, в ие равно нулю. Будем рассматрн- вать хг, уь 'гг как коэффициенты, а и, о, в —.

как неопределен- ные элемейты, подвергаемые линейному преобразованию. В до- казанной выше алгебраической теореме предполагалось, что коэффнцнеиты стоят слева, здесь же они стоят справа. Очевидно, теорема останется верной н теперь, прн условии, что во всех формулировках умножение слева заменится умноженном справа н наоборот. Возможны два случая. Если свойство 1) имеет место, то имеет место н свойство 3), и систему уравнений (8) можно переписать в эквивалентном виде, выразив и, о,.в линейно (коэффнциенты справа) через левые части — г, — г, — г. Получим, вынося г зз скобку: где а, Ь, с — некоторые коэффициенты, зависящие только от хг, уг, зт ]н не равные одновременно нулю — иначе (8) не могло бы бйть следствнем (9)].

Таким образом, если г взнть произвольным ( ы 0), а и, о,в определить согласно (9), то полученные элементы будут удовлетворять системе (8), н обратно.. Следовательно, и, о, в, г существуют н прн этом определены с точностью до умножения на произвольный, отличный от нуля множитель слева (если вместо г выбрать другой элемент г', то ]4 эультатом этого будет умножение и, о, в, г на г'глт слева). скомая плоскость существует и будет единственной. Если же свойство,1) не нмеет места, то это значит, что можно подобрать значения н, и, в, не все равные нулю, так, что ихг+оу]+ныг= — О, (1=1, 2, 3), (10) т.

Характеристики

Список файлов книги