Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 87
Текст из файла (страница 87)
При этом важно иметь в виду, что непосредственно выражение )7(р,,..., р ) возникает у нас в результате последовательнога выполнения йад р,,...,р рациональных 1 операций в сколь угодно сложном награмождении. Чтобы проверить тождественное обращение )7(рю...,Р,) в нуль, мы должны провести ряд выкладок: раскрытие скобок, приведение подобных членов и т.
д. Другимн словами, мы должны применять законы ! — 12 нашего исчисления; но применение этих законов, как выше было указано, геометрически сводится к использованию теоремы Паскале. В итоге процесс доказательства теоремы о тачке пересечения свалится к использованию теоремы Паскаля (и, конечно, аксиом (з-з. )Н") откуда, так как АВ= ВС, следует: РО =- ОР". Сравнивая (1) н (2), получаем: ОР« = ОР". Значит, Р совпадает с Р', вопреки нашему предположению, что прямая РО, пвраллсльнаи а, не проходит через Р (заметим, что Рэ и Р" не могут лежать по разные стороны от О, так как иначе одна из них совпадала бы с Р, что невозможно). [тз) Под полем сс, порождаемым несколькими данными числами и переменными, мы понимаем совокупность всевозможных выражений, составленных из тех и других путем четырйх рациональных операций.
Элементы этого полн будут, таким образом, рациональными функциями исходных независимых параметров рт. ..р причбм коэффициенты этих функцнй рационально составлены из исходных чисел. Заметим ещб, что, иачинаи с ф 37, в тексте имеются в виду только действительные числа н переменные, принимающие деяствительные значения, т. е. мы находимся в области обыкновенной геометрии.
[гэ) Более точно, в дальнейшем тексте под вполне действительными числами понимаются алгебраические числа, полученные в результате рациональных операции и извлечений квадратных корней, и действительные вместе со всеми своими сопряжбнными числамй. Уточним, в частности, ~ связи с этим ряд пунктов в предшествующих рассуждениях. 1. Известно, что, исходя из данных точея и пользуясь циркулем и линейкой, мы можем строить всетеи только те точки, координаты которых выражаются через координаты данных точек при помощи четырех рациональных операций и извлечений квадратного корня. Доказательство этого весьма элементарно и основана на следующем. Тачки пересечения двух окружностей нли окружности и прямой отыскиваются в результате решения квадратного уравнения, коэффициенты которого рационально выражаются через коэффициенты уравнения окружностей или окружности н прямой; обратно, пользуясь циркулем и линейкой, нетрудна геометрически осуществить извлечение квад атного корня из любого числа, заданного отрезком.
одробное изложение вопроса можно найти в книге Адлера «Теория геометрических построений». 2. Пусть координаты данных точек рационально зависят от г произвольных параметров рт,...,Рг 32 д. гильеерт пгимячхння (79~ Рассмотрим Р(дю ...,аг) — поле рациональных функций от дт,...,р„ порождаемое координатами данных точек. К этому полю принадлежат координаты данных точек, Построим, начиная с Р, последовательность полей так, что каждое последующее заключает предыдущее: РСР,СРэс...СРч, (П причем каждое последующее получается нз предыдущего путям приобщения одного квадратного корня.
Более точно если Рг уже построено (Р мы рассматриваем кан Ра), то Ртет строится так) нз Рт выбнрается какой-нибудь элемент ут такой, что 3~ Гз не входит в Рг, н в качестве Ргьа берятся совокупность всех выражений, рационально составленных нз г' Ггс коэффициентами нз Рв Так как четные степени от Щ можно прн этом отнести к коэффициентам (нли свободным членам), то полнномы от У ~~ можно свести к линейным выражениям; общий внд элемента из Ра .т будет: Тт+ЬгУ7у ' где ап "гп тп 3т — элементы из Рь Уничтожая в знаменателе иррациональность обычным образом, мы получаем окончательно общий внд элемента нэ Ргаб аа.ю = ат + Ьг У Уь (2) где аг и Ьг — пРоизвольные элементы нз Рь Очевидно, в результате такого процесса можно прнттн к полю Р, заключающему коэффициенты любой наперяд указанной точки, которую можно построить циркулем и линейкой, исходя нз данных точек. Смысл теоремы 64 заключается в том, что если речь ндят, в частности, о построениях при помощи л и н е й к н н э т а л о н а д л н н ы, которые представляют более узкие зозможностн, чем л н и е й к а н ц и р к у л ь, то соответственно ограничивается н пронзяол описанного процесса.
А именно, при каждом расширения, превращающем поле Рг в поле Рте„элемент уг нз Рт разрешается брать не каким угодно, з лишь при условнн, что уг есть сумма квадратов некоторых элементов из Рп о. Возвращаясь к общему случаю, возьмйм какой-нибудь элемент а„ нэ полн Р„ — последнего поля последовательности(1). Применяя формулу (2); получим: +Ь х ч — « — а и — т ° уз †. Применяя формулу (2) к элементам.а„ , Ь, , получнм: а„=аз г'+ь а~ У'-г+(а' г+ь„г'г'7 г) г у пгнмячдния '[79) Продолжая этот процесс, мы получим, наконец,для а„ выражение,-линейное относительно н аж до го нз корней ) Ь Ууь УУз " Уу.-~ (3) а отдельности, с коэффнцнента ми из исходного полн Р (1„эп..., Ра). Мы это валящем так: а„= аз + Ьа ф'га Ф- ))р У уз + ..
)- +за~ Ы ут+со~ уз~'уэ+ + -(-азртэ ФЯ $'7а (". -)-(а тг' ('з ° У т,.-т (4) Нужно помннть прн этом, что под знаком каждпго иэ корней 37г стоит выражение ун аналогичным образом составленное посредством корней У7а, ", Ьгл-1- Легко подсчитзть, что число членов в выражении (4) равно 2"; йа коэффициентов сУть элементы полЯ Р(1, гп ..., Р ). Будем счнтать теперь, что координаты исходных точек не зависят от пронзвольных параметров, в частности, что рт,..., рг получкам действительные численные значення.
Тогда в йроцессе построения полей (!) можно подразумевать, что каждому корню 3Я прнпнсано вполне определйнное нз двух его значений; поэтому н выражение а„, записанное, как указано выше, будет вполне определбнным'числом. Исходное поле Р содер(кнт только действительные числа. )(опустим теперь, что з выражении (4) мы позволим себе брать знак Ууэ по произволу; когда выбор сделай, подкоренное выражение уа вполне определится, знак же у У утмы также возьмйм по произволу; когда выбор сделан, подкоренное выражение )э вполне определится, знак же у г' уэ мы зозьмйм по произволу н т. д.. Очевидно„ мы получим, таким образом, 2" выражений, так как каждому корню отвечаютдвавозможныхзначення. Мыбудем считать, что полученные таким образом числа все различны междч собой; можно показать, что з противном случае элемент а„ мог бы быть достигнут посредством присоединения меньшего числа квадратных корней, чем а.
Эти 2а чисел, в число которых входит и а,, мы будем называть с о и р я ж д н н ы м и с аа относительно исходного поля Р ' (га — т) (5) а„, а„, а„,...,а„ Мы утверждаем, что этн числа представляют собою корни л олного н того же алгебраического уразненнястепени2 с козффнцнентамн из нсходного поля пгнмячьния (79~ 486 487 пгимичлиия !'79 — 81~ Будем считать в формуле(4), что значение каждого яз встречающихся в ней корней выбрано — из двух возможиых — произвольно, но, разумеется, одинаково во всех случаях, где этот корень встречается, в том числе и под знаками других корней.
Тогда (4) может выражать не только а„, ио и любое из сопряжйнных ему чисел. Возводим (4) в квадрат; после замены квадратов корней их выражениями через корни меньшего номера, чтоделается вполне апределйниым образом, мы получим выражение того же типа, коэффициенты которого суть также определйниые элементы исходного поля )7 (очевидно, совершеиио ие зависящие от выбора знаков у корней ггуг).
То же можно сказать о любой степени выражеяия (4). Рассмотрим выражения Все ояи являются выражениями типа (4), а так как их число иа 1 превышает число членов в каждом выражении, то можно подобрать такие множители Цг из исходного поля )7, что линейная комбинация г !+)тач+гзпзл+ "+'гз аэ обращается з нуль тождественио, т. е.
в втой линейной комбииации, которая представляет собою тоже выражение типа (4), каждый из 2" коэффициеитов обращается в нуль. В результате а„ вместе со всеми сопряжйнными ему числами удовлетворяет одному и тому же уравнению степени 2" с коэффициеитамн из исходяого поля )7: )э+Лги+)~ха+...+)я кз"=б. (6) Заметим, что уравнение это будет неприводимым, т. е.
а„не удовлетворяет никакому уравнению низшей' степени с коэффициентами тоже из )7 (в противном случае такое уравнение после подстановки выражения (4) лоджии было бы удовлетворяться тождественно относительно г'уэ " )'у -т ввиду того, что ни олин из этих корней не выражается рационально через предыдущие по номеру; нотогда уравнение должно было бы удовлетворяться и всеми сопряжйнными с а„числами, что невозможио, так как степень его(2л). Если поле )7 — просто поле рациональных чисел (рт,... отсутствуют), то а„есть алгебраическое число, а а„, а„, ... — ему сопряжйниые числа.
4. Пусть, в частности, последовательность полей (1) отвечала построению при помощи линейки н эталона длины; зто значит, что под знаком каждого из корней Р ут стоит сумма квадратов элементов соответствующего поля )7г Составив некоторый элемент а„ поля )7э, займбмся составлеиием элементов, ему сопряжяинйх. Так как уэ представляет собой сумму квадратов, то 3 уэ — действИтеЛьное число. Какой бы ни взять знак у ггуэ, выражение ут, представляющее сумму квадратов элементов поля )7т, останется неотрицательным и и'ут — а вместе с ним и всб поле )7э — останется действительным. Как бы ни взять знак УД,— всй равно выражение ут, как сумма квадратов элементов поля )7з, иеотрицательно, а потому Т уэ — действительно; а вместе с ним действительны и все элементы поля )7з, и т. д.
В результате всякий элемент а„поля )7 вме сте со всеми своими сопряжйиными оказывается действительным. Это, очевидно, значит — если мы исходили из поля )7(рт, ..., Пг) при фиксированных !тт, ..., р„— что соответствующая алгебраическая функция параметров )тт, ..., дю определяемая уравнением (6), при действительных значениях рт, ..., р имеет только действительные значения (которые тем самым будут вполне действительными числами в случае рациональных рт, ..., )тг). (зз] Задача о построении правильного р-угольника, где р— простое число, при помощи циркуля и линейки разрешается, как известно, лишь в слтчае, когда тт имеет вид: р=2э+!. При этом приходится я раз прибегать к извлечению квадратного корня. Поставим задачу так: дан радиус окружности, один конец которого мы принимаем за центр окружности,а другой— за вершину искомого правильного многоугольника, вписанного в окружность.
Требуется построить ещй одну вершину многоугольника. Очевидно, эта задача имеет 2" действительных решений, так как всего многоугольник имеет 2"-1-1 вершину. Мы действительно находимся в условиях теоремы 65. (зт) Задача Мальфатти состоит в следующем. Дан треугольник АВС; требуется построить три окружности так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон треугольиика. 488 прнмкчлния [82~ Решение этой задачи с помощью циркуля и линейки см, А д л е р А., Теория геометрических построений, Одесса, 1909, стр. 9 — 11; Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч. 1, Планиметрия, М., 1938, стр.
270 — 275. (ю) Задача Аполлония — провести окружность, касательную к трйм данным окружностям. Решение этой задачи с помощью циркуля и линейки см. Ч е т в е р у х и н Н. Ф., Методы геометрических построений. М., стр. 134 — 136, 1938; Александров И., Геометрические задачи на построение, М., стр. 131 — 132, 1934; А д л е р А» Теория геометрических построений, Одесса, 1909, стр. 52-57, 66 — 69; А да и а р Ж., Элементарная геометрия, ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
