Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 86
Текст из файла (страница 86)
П окажем возможность и единствеииость делеиия (остальиые законы 1-4 и 6 — 12 яз $13 проверяются совершепио тривиальиым образом), В самом деле, если Нам даиы: Т Г С л + Г т л + 1 + = о Т вЂ” Г ~л+Г Сл+з ( то всегда можно Найти — и притом едипствеиным обрззом— такое Т' Рассмотрим теперь выражепке типа 3. Оио представляет собою — если вместо Та, Т,,... подставить их выражеиия — формальио записаниый бескоиечный ряд, состоящий из членов вида гз т, где г — рапиоиальио, а в и э — целые числа 1 =-О ), г) < ПРНЧЕМ Р) Ш, а л ~П Пря да И И О М К (ЗДЕСЬ и — МЛацщпй показатель ряда Т м). Сумма двух вйражеиий типа 3 определяется путям объедпиеяия нх подобных членов, т. е.
путем сложеиия коэффициентов г при одинаковых зэтл в обоях рядах. Прежде чем переходить к перемиожепию выражений типа 3, определим произведеиие двух выражеиий вида глас". это произведеиие мы будем определять формулой: (глэт") (г'зз С" ) = (2'Р гг')за+ Р т'+и Нетрудяо вндеть, что эту формулу можяо было бы вывести из закоиа ио мы предпочитаем дать ек как определеиие, чтобы избежать утомительных рассуждений, связаипых со строгим обосяоваиием этого вывода. Очевидио, что закон тз = 2зт есть частиый случай пашей формулы, так что ойа во всяком случае даст вам то, что Нужно.
Ассопиативиый закон для определяниото такпм образом умиожепия выражеиий гзэт" проверяется беа всякою труда. Пусть даиы теперь выражеиия 3 и 3', составлениые, как мы зиаем, нз члеиов вида гзят' Произведеиием 3 иа 3 мы назовям выражеяяе 3", составлепиое пз членов того же вида,.получеипых умиожеиием каждого члена 3 иа каждый член 3' (с последующим объединением подобных между собой членов, которых, как легко видеть, будет каждый раз лишь конечное число). Другими словами еслв 3= ~ гя,зэт", Рюм шл мж л' т.' 3" = ~~~~~ г лз""т" 1 "чл Р.)лл 'Л лл Рл то сооткошение 3"=33' означает, что л л- — лл пгнмкчлння (74 — 76~ 48! пвнмкчлиия (78 — 741 Все законы 1 — 4 и 6 — 11 проверяются в области 'выра>ке- ..ний Я совершенно тривиальным обрззом; остановимся только на законе 5, т. е.
на вазможности н единственности деление. А именно: если в формулах (А) считать г „„„и г „известными, то г ги мы сможем из них последовательно определить. 1)рзжде всего, необходимо приняты'=т" — т. Используем формулы (А) при наименьшем значении в",рь=т'. Тогдасправа необходимо положить и =т, р'=-т'. Полагая последовательно ь" = и „, и „+1,..., мы последовательно определим из формул (А) т =и, и,+1,... (Потзгая п,=п ~„— пт) Лалее, используя ' (А) при иь = те+1 и полагая т" =и „+т и „+! -]-1,..., последовательно определим г при Ы = п", , п"г„ ! -]- 1, Так же поступаем при В" = т" + 2 и т. д. Все коэффициен- ты г„ч. определяются однозначно [ы] Наиболее естественный вид принимает теорема 61 в про- ективном ей истолковании.
А именно, пусть рассматриваемая изми плоская геометрия с аксиомами 1г-з, П, 1Чь дополнена несобственными точками (нозые элементы, сопоставляемые 'взаимно однозначнопучкамн параллелей) и несобственной прямой [совокупность всех несобственных точек). Возникает некоторая проективная геометрия (лишенная аксиом непрерывности), Лве прямые в ней всегда имеют одну общую точку (параллели— несобственную).
Не различая в дальнейшем собственных и несобственных точек, дадим проективную формулировку 'теоремы Паскаля- Паппа: Если точки Аы Аз, Аь расположмкы ка одной прямой а, а точки Ат, Аь А — яа другой прямой а', то точки пересече- яия прямыхг А!Аз н АьАь, АзАз и АьАз, АзАь и АьАт лежат яа одной прямой. В частности, если'прнмые а и а' имеют собственную общую точку, а две из названных точек пересечения лежат на несоб- ственйой прямой, то, в силу теоремы, третья точка пересечения также лежит на несобственной прямой:,Мы приходим, очевидно, к теореме 40, т. е. к тебреме Пзскаля в том смысле, как она понимается в тексте.
Вопустнм теперь, что в пашей геометрии имеет место тео- иема Паскаля-Паапа з проектизкой формулировке. Мы утвер- ждаем — и в этом состоит теорема 61 в проектнвной формули- ровке, — что теорема Двзарга может быть тогда доказана, Теорему Дезарга мы берйм здееь тажЕвабщей проективной формулировке (см. примечание [зь]). Необходимо отдавать себе отнят, что буквальный смысл теоремы б! в тексте н в проектнвной формулировке не один н тот же, так как у яас усилены и условие и заключение теоремы.
Что же касается доказательства, то оно становится тепе(ь вполне простым. Прежде всего, прямая н обратная теоремы Дезарга становятся тождественными, так как обе они сводятся к одной формулировке: если даны !О точек и 10 прямых и ес.ш имеют место все принадлежности точек прямым, свойственные кок(йигураиии 1(езарга, за исключение.и, может быть, одной пьикадлежности, то и зта последняя имеет место.
Опираясь на полное равнопр;вне всех точек и прямых в конфигурации )(езарга, нетрудно подметить, что эта формули. розка следует как из прямой,так низ обратной теоремы Лезарга (равно как и эти предложения следуют нз ней), Желая доказывать теорему Лезаргз не меняя терминологию текста, мы можем условно одну из прямых рассматриваемой конфигурации называть н е с о б с т в е н н о й, а прямые, пересекающиеся в еб точках, называть параллельными.
Тогда мы можем повторить рассуждения текста и патьзозаться чертежом 78 (з тексте), подразумевая, что в конфигурацию входит и несобственная прямая, в точках которой пересекаются имеющиеся на чертеже параллели. В доказательстве произойдйт упрощение в том смысле, что теперь достаточно обеспечить, чтобы А'С' не было параллельно ОВ'. Остальные ограничения были нужны только для того, чтобы в процессе доказательства при ссылках на теорему Паскаля получать прямые А,АзАь и АзА,Аь не параллельными, а пересекающимися в собственной точке (что предполагается в теореме 40). Но в нашей проектнзной формулировке эти случаи не различаюгсн и соответствующие оговорки излишни. Что же касается непараллельности А С' и ОВ', то ей всегда можно добиться, рассматривая в качестве А'С' и ОВ' либо А'В' н ОС', либо В'С' и ОА' (в последнем случае прндйтся вместо треугольника АВС рассмотреть АВС", где ВС" !] В'С'н С" лежит на ОС'! после проведения доказательства окажется, .что А'С']] АС", а следовательно, С" совпадает с С).
Как легко показать, параллелизм одновременно во всех трех случаях невозможен. [тз] Здесь говорится о действительных числах по недосмотру. На самом деле, мы будем иметь здесь элементы некоторой коммутативной, но (прн сделанных предположениях — аксиомы !т з, П, 1Нь и теорема Паскаля), вообще говоря, неархимедовой числовой системы (например, выражения Т, й 33). ["з] Область элементов исчисления бесконечнз уже потому, что включает единицу, а вместе с нею — согласно вычислительным правилам — и все целые и рациональные числа (случай поля ненулевой характеристики устраняется наличием порядка). 3! д. гиььеьрт пгнмечднии [76 — 77[ 483 482 пгимечдния [77 — 791 [ Напомним, п ежде всего, что в геометрии, опира|ощейся [тэ на аксиомы групп (-!Н, справедлива теорема Паскаля и что, е следовзтельно, в ней можно ввести исчисление отрезков, как это было сделано в ф 15, и доказать теоремы г г 41 и 42.
l Докажем теперь прелложенне Штейиера. Допустим, что РР не параллельна и (черт. 43); пусть РО будет прямая, параллельная а и пересекающаяся. с АЕ, Вс), С0 в точках Р", („1, Р' (это пер сечение обязательно имеет место, так как АЕ, В)2 и СВ не параллельны а). Тогда нз подобия треугольни- ков АВВ и РОВ имеем: РЯ: А В = Ы~: 0В, а из подобия треугольников ВСс) и (',)Р'Т) следует: ОР'.ВС= Р~',):0В. Отсюда, так как АВ=ВС, мы получаем: РО = (',)Р'.
(1) Из подобия треугольников АВЕ и Р"ОЕ и треугольников ВСЕ и ОРЕ имеем: ОР" ЕО РО ЕО АВ ЕВ' ВС ЕВ ' е с Черт. 43. Отсюда вытекает и тозкдественнае обращение в нуль рационального(и с рацнональнымн коэффициентами) выражения47(рь ..р ), если послелнее обращается в нуль при подстановке вместо рю...,р, любых элементов исчисления (в частности, значит, при подстановке любых рациональных чисел). Итак, пусть теорема о точке пересечения верна. Это равносильна тому, что ряд выраъений Я(р,,...,р ) тождественно обращается в нуль. Доказательство теоремы сводится, таким образом, к проверке тождественного обращения в нуль выразкений )7(рю...,р ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
