Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 85
Текст из файла (страница 85)
е. снова существует плоскость, проходящая через Мт, Мз, Мз. Покажем, что н теперь эта плоскость будет единственной. допустим, что существует ещб одна плоскосутч проходящан через те же точкн, так что мы имеем: и'хг+о'у!+в'зг+г'=О, (1=1,2,3). (11) Если допустить, что и', и', в' получаются из и, о, в умножением на одно н то же р слева, то умножая (!0) йа р слева н сравнивая с (11), мы сейчас же получим, что г' = О,' следовательно, вторая плоскость просто тождественна с первой (см.
апре= деление плоскости в тексте). Если же допустить противное, то по самому определению прямой, данному в тексте, зсе трн точки Мг, М, Мз лежат на прямой](и, о, в, 0);. (и', о',в', У)]. А это противоречит условиям аксиом 1, н 1з. Остальные аксиомы проверяются сразу, Пусть дана какзяннбудь прямая (7) н плоскость: их ]- оу+ вз+ г = О. (12) Подставим х, у, г нз уравнений (7) в (72); в левой части мы получим линейное выражение относительно Г. Пусть прямая нмеет дзе общие точки с плоскостью; всегда можно считать, что зто будут точки г'=0 н 1=1. подставляя 1=0 в (12), мы убеждаемся в обращения в нуль свободного отт члена; а подставляя значение 1=-1, мы убеждаемся в обращении в нуль коэффициента при Г, Следовательно, подстановка (7) в (12) дает тожде- 475 пгимечлния г(67- 681 474 пгимкчзния [671 В самом деле, пусть дана плоскость их+ оу 4-вз+г = О. Подберем к строке и, «, в еще две строки и', о', в' и и',о',в" произвольно, иотак, чтобы между этими тремя строкзми ие было ликейиой зависимости с коэффициентами слевз.
Введйм для произвольных х,у, а соответствующие им х',у',з' по закону х' = и'х -1- о'у 4. в'л, у' =и"х 4-о"у+в"л, а' = их + оу+ вл. По предположению, для этого преобразования имеет место свойство 2), а следовательно, и свойство 3), и преобразование обратимо. Тройки чисел (х, у, л) и (х',у', з') взаимно однозначно друг другу отвечают, и, как нетрудно проверить, уравнения пло- скостей и прямых сохраняют в новых координатах прежний вид (конечно, с изменением коэффициентов) в силу линейного ха- рактера п)зеобрззования с коэффициентами слева.
Очевидно так- же, что а иа исходной плоскости остается постоянным. Итак, аксиому !Ч* достаточно доказать иа плоскости з=-О. Пусть на ией дана какая-нибудь прямая х =.. «о( 4- х, у:=Ь,(+у,, ) и точка (хт, ут) вне этой прямой. Пусть через эту точку прове- дена пока иеопределяииая прямая х = ас(' 4- хь у =Ьтр+у,.
(13) ство, и прямая (7) всеми своими точками лежит иа плоскости (12). Этим проверена аксиома !э Далее, пусть даны две плоскости, имеющие общую точку (хм Уо, ло) (аксиома !т): «хо+«уз 4-О~О+г =О, и хо+ о уз+в л, +, О Если бы и', о', в' получались из и, о, в умножением на одно и то же р слева, то, умножая первое равенство иа р слева и сравнивая со вторым, мы обизружили бы, что и аг получается из г умножением на р слева. Другими словами, плоскости, вопреки нашему предположению, были бы тождественны. Если же такого множителя р ие существует, то по определению прямой, даикому в тексте, выписанная пара уравнений определяет точки прямой, очевидно, лежащие одиовременио на обеих плоскостях.
Проверим, наконец, аксиому !Ч*, Покажем, прежде всего, что после преобразования координат в нашем пространстве любую плоскость можно рассматривать как плоскость з=с. Ищем точку пересечения прямых, т. е. такие значения ( и Г', при которых хз — хо = аоо — «т(, Ут — Уо = Ьоо — Ьст ° Будем рассматривать эти формулы как запись преобразова- ния иад Г, Е (частный случай свойства 1). Возможны дзз случая. Пусть свойство 3) имеет место; тогла преобразование обра- тимо, и по левым частям мы однозначно находим 6 Г', и следова- тельно, точка пересечения существует. Пусть теперь свогство 3 ие имеет места; значит, и свойство 1 ИЕ ИМЕЕТ МЕСта, И МОЖНО ПОДОбРатЬ таКИЕ ЗяаЧЕПИЯ Оо, Го, ОтЛИЧ- ные от нуля, что о «о(о аэто = О, о Ьо(о — Ь,зо = О.
Другими словами, ап Ь1 получаются из «о, Ьо умножением справа на одно и то же число р=оо Со. Если ро' обозначить через Г и рассматривать в качестве параметра, то уравнения второй прямой примут вид:, х=а,(+хь ~ (14) у =Ьо( +уп Таким образом, в рассматриваемом случае уравнения второй прямой могут быть приведены к вполне определенному виду (14), а следовательно, такая прямая — единственная.
Остается показать, что уравнения (14) дают прямую, па- раллельную (13) (существование-параллельной). В самом деле, если бы эти прямые имели общую точку, то и зсе их точкй были бы общие, так как вдоль обеих прямых изменению пара- метра на й( отвечает изменение х и у одинаково на «об( и Ьобб Между тем (х, у ) лежит иа второй прямвй, но не лежит иа первой. Аксиомы 1~, )а.проверяются совершенно очевидным образом. (во) Картина станет соеершеиио ясной, если мы воспользуемся . парзметрическим представлением прямой (7) из предыдущего примечания: х=«о+хо, у = ЬО +уз.
л =-со +зо. В силу законов 1б и 1б $13, имеющих место в дезарговой числовой системс, монотонному изменению параметра Г будет отвечать монотонное изменение каждой из координат х, у, а (за исключением тех из иих, которые остаются вообще постоянными: например, х в случае «=О). Таким образом — как доказывается пгнмпчлиня [68 — 71) пгимкчлння [71 '-72[ н в тексте †монотонное .изменение координат вдоль прямой имеет место всегда одновременно. Согласно тексту, точка называется лежащей между двумя другими точками (на данной прямой), если каждая еб координата имеет промежуточное значение между соответствующими координатами двух других точек (речь идет о координате, не являющейся постоянной вдоль прямой). Мы можем то же самое формулировать для параметра Г; смысл от этого не изменится ввиду одновременности монотонного изменения параметра и координат.
Итак, точка Гз лежит между (т и Га, если либо Гт((з(тэ, либо Гз > Гз > Гз И провернются теперь соверщенно тривиальным образом. Что же касается аксиомы 11ь то плоскость, в которой еб нужно проверить, всегда можно считать плоскостью л = 0 (см. предыдущее примечание, проверка аксиомы 1Ч*). Соответствующее рзссуждение явится почти досланным повторением примечания [зт). Разница будет только в том, что теперь координаты х; у н коэффициенты уравнений у иас не элементы коммутативного поля Я, а элементы дезарговой числовой системы; в частности, порядок множителей — остающийся таким же, как и в формулах примечания [зт[ — теперь для нас будет существенен.
В остальном рассуждение повторится без изменений. [зэ[ То обстоятельство, что исчисление отрезков совпадет с исходной системой О. строго говоря, требует ещб проверки, которая; впрочем, выполняется без труда. [тэ) Другими словамн: первоначально заданная плоская геометрия, в силу теоремы 55, допускает аналитическую геометрию иа основе некоторой дезарговой числовой системы. Вновь построенная плоская геометрия точек (х, у, 0) по самому построению допускает аналитическую геометрию на основе той же дезарговой числовой системы.
Сопоставляя в обеих геометриях точки с одинаковыми координатами (х, у), мы н приходим к искомому взаимно однозначному соответствию, сохраняющему все соотношения между, элементами. [тт) Таким образом, глава Ч1 является продолжением главы У и вместе с ней носит, по существу, проективный характер. Л именно- добавляя к рассматриваемому пространству(определйнному аксиомами 1, 11, 1Ч") несобственные элементы, мы превращаем его в проективное (см. примечание [эа[); обратно, наиболее естественно смотреть на исходное пространство как на часть этого проективного пространства, которзя остается, если удалить из последнего одну плоскость (принимаемую за несобственную). Так же, как н в главе Ч, в основе всех рассуждений лежит дезаргово исчисление отрезков, построенное согласно й 24.
Особенностью главы У!'.является введение аксиомы Архимеда, которую мы в главе Ч игнорировали, и выяснение еб роли. Но формулировка зксиомы Архимеда требует откладывания данного отрезка от данной точки; ввиду отсутствия понятия конгруентности, этому построению приходится придать новый смысл. При наличян деззргова исчисления отрезков это удабтся сделать для отрезков, располагающихся иа одной прямой. А именно †примем данную прямую за одну из двух осей исчисления отрезков и через О обозначим точку пересечения осей. Исчисление устанавливается для отрезков ОА, где А — произвольная точка осн (й 24 .
тобы отложить отрезок АВ от точки А'. в смысле и с ч ис л е н и я о т р е з к о в, мы поступаем так (вся построение происходит на одной прямой, принятой за ось исчисления). Находим разность отрезков ОВ и ОА, т. е, такой отрезок ОС, что ОВ = ОА+ ОС. Существование и единственность отрезка ОС следует из очевидного обращения операции сложения, Строим теперь отрезок ОВ". ОВ' = ОА' + ОС. Про отрезок А'В' мы и будем говорить, что он равен огре зк у АВ в см ысле исчисления отрезков.
По буквальному смыслу такое откладывание зависит не только от выбора на данной прямой самого отрезка и точки, от которой он должен быть отложен, но и от выбора второй оси исчисления, в частности, от выбора точки О. Однако можно было бы доказать, что операция сложения отрезков на данной оси (определенная согласно й 24) от выбора второй оси я т о ч к и О н е з анис и т, так что откладывание отрезков на данной прямой есть построение, вполне однозначно определбнное. При доказательстве нужно использовать теорему Дезарга. [тз[ Автор хочет сказать, что если из чисел а, Ь, для которых аЬ ФЬа число а ( О, то вместо него нужно рассмотреть ( — а), т.
е. число. определяемое из уравнения ( — а) +а = О. Тогда из а(0, согласно правилу 15 й 13, следует а-1-( — а) (О+( — а), т. е. О(( — «). Из ( — а) + а = 0 следует (правила 1О и 11): Ь( — а)+Ьа=0 и ( — а)Ь+аЬ=О, н из аЬ гл Ьа следует теперь (от противного) ( — а) Ь М Ь( — а). 479 ИРимечАниЯ 173) ПРимечАиня 172 — 73~ 478 Апалотично, если Ь ( О, мы вместо пего рассмотрим ( — Ь)>О. Итак, если для какой-то пары чисел системы )укоммутативиый закон иевереи, то можио указать н пару положительных чисел, для которых этот закон иеверек. (та) Уточкам даииый в тексте набросок доказательства.
Прежде всего заметим, что совокуппость выражеиий. Т (с прнсоедииеинем О) представляет собою поле. Пусть дапы выражеиня Т; Т = гс)л+ гттл" +..., Тю .' т л' ) 'тл'л-1 а (1) (2) Т" = ТТ' = ТТ. Для этого достаточпо, как показывает (3), ваять и'= и" — п, а затем определять г, г1, гх, .. последовательио из формул 'о = 'ого Р г1 —. гаг1+ г1га, л г = гага+ г г + гэга, Так как га ы О,то это не представляет Никаких затрудиеиий.
Подчеркнйм, что речь идйт о формальпо иаписаииых степеииых рядах без всяких предположений об их сходимостя. Сумму Т+Т' мы определяем как выражеиие того же типа, получеипое объедииеиием подобиых членов в Т и Т'. Пронзведеипе мы определим по формуле; -)- (гагз+гтгт+гзга) сл+л'+ +... (3) Заметим, что прн Н=-О, га —— 1, гт — — гз —— ...—— — О выражепне (1) п едставляет собой единицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
