Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Пусть общнми частями этих треугольников служат многоугольники пгимкчлния ~52~ равновеликий по разложению многоугольнику яэ. Следовательно, многоугольники Р» и ()«, порознь равновеликие по разложению многоугольннку о«, должны быть равновелики по разложению. Так как Р*=~ +бт+б+" +б».= =Р+Рт+Рэ+."+Р"+ +ля+" +л +К+ба+" +йы 0* = 0" + Рт+ рэ+ " + Р» = =О+бэ+ бэ+ . +б»+ээ+лэ+, "+э +Р+Р+ ..
+7 то оказывается, что если к многоугольникам Р и О присоединить одкн и те же многоугольники рь «)в эг, то мы получаем многоугольники, равновеликие по разложению; а это и значит, что .многоугольники Р и Ц равновелнкн по дополнению. Вой наше доказательство, очевидно, сохранятся в силе и в том случае, когда множество многоугольников эг будет пусто, т. е. нн один из треугольников снстемы хх' не пере- врывается ни с одним нз многоугольников системы сх".
н пусть в системах треугольников ~' и ~'т" после отбрасывання общих частей этих двух систем останутся соответственно многоугольники дьям ° Р» " Фь Фэ Ф». Таким образом (черт. 27), дт+уэ+ +РыЛ-лт+лэ+ "+эж=Й~+Ья+ .+;Ь» ч!+ «)э+ ° + ч +эг+ э+ ' ' +зт й1+сээ+ +ах» Обозначим через Яэ многоугольннк, получаемый из много. гольника Я присоединением к нему всех многоугольников рг, рь э рнсоединим к многоугольнику Р' многоугольники дн нэ,..., л» В результате мы получим многоугольник Р*, равновеликий по разложению с многоугольником о«,так как Р«ЮР'+ба+ах+, +б» а 8*=8'+)э+ба+ +б Г ",. '' " Присоеднннм теперь к мюэгоугольннку (3«многоугольника Рь Рэ,..., р»,. 3 результате мы получим многоугольник О«, так>не Черт. 27. Докажем теперь а д д и т и в н о с т ь понятна «равновеликн по дополнению», т.
е. докажем, что еслн многоугольники А' и В' соответственно равновелики по дополнению многоугольникам А ~э пгнмкчлния [521 452 пгимкчлиня [52 — 53] и В, то многоугольник, составленный без перекоытий из многоугольняков А и В (мы его будем обозначать А +'В), равновелик по дополнению многоугольнику А' + В', составленному из А' и В' также без перекрытий. Пусть многоугольники, получающиеся в результзте присоединения определенным образом к каскдому из многоугольников А и А' треугольников а» ая,...,а», окажутся равновеликими по разложению. Пусть то же имеет место для многоугольников В н В' после присоединения к каждому нз них треугольнкков Ь» Ья,..., Ь». Возьмям теперь многоугольники А+В и А'+ В' н присоединим в них к многоугольникам А н А' треугольники ас, ат,..., ал и к многоугольникам В и В' треугольники Ь, Ь»..., Ь, так же, как это делалось при установлении разиовеликостн по дополнению многоугольников А и А', В и В'.
Рассмотрим многоугольники А и А': А = А+ат+...+а»', А'=А'+ах+...+ал и многоугольники В и В' В= в+ь +...+ь, в'=в'+ь +...+ь . С огласно условию, теоремы А н А' равновелики по разложению, т. е. их можно разбить на одни и те же (в смысле конгруентностн) треугольники 'сс ят ''' яр Аналогично В н В' разбиваются на одни и те ске треугольники 'г» т», " т». С каскдым из треугольников яс мы поступаем так.
Рассмот- А а ... а, рнм его в многоугольнике А. Отрезки, разбивающие А иа +а, +... + ал, могут проходить и по треугольнику яси разби- вать его на части. Рассмотрим теперь треугольник яс а том по. лоскении, которое он занимает в А', аналогичным образом на яс могут попасть отрезки, разбивающие А' на А' + а ш ... + их по Нанесем на яс одновременно все попзвшне на него ба о о- аз ложеннях отрезки долення. К»>нный из я, вообще гово р обьется на более мелкие части, которые мы обозначим ов ря, яп яс» яы с н которые, после дополнительного разбиения, всегда можно счи- тать треугольниками.
Очевидно, нз совокупности всех ясу можно составить все я, яс, ри этом а следовательно, можно составить как А, так и А'. П из способа построения ясс андио, что многоугольники А, ас, т ка ая... ал в А н многоугольники А', ат, а, ..., а в А' разбиы скдый в точности на несколько треугольников раз и»сд Совершенно аналогичным способом мы построим совокупность треугольников )сд таких, что из них можно составить как В, так и В', причям многоугольники В, Ьс, ..., Ьл в В и многоугольники В', Ьт, ..., Ь» в В' разбиты каждый в точности на несколько треугольников Ьс). Рассмотрим теперь треугольники яс) в том их расположении, в каком они составляют А, и треугольники ()сс в расположении, составляющем В. Будем обозначать коротко через я» те из яс), которые лежат в А, и чеРез Я вЂ” те из Ясд котоРые лежат вне А, т, е. в а»+аз+...+ал.
Аналогично, )сь лежащие в В, обозначаем через )э, а лежащие вне В, т. е. в Ь,+Ь +... +Ь», обозначаем через (). Очевидно, я* и ЬЯ йе могут перекрываться; зато я" и Ь, я и *, я и ) перекрываться могут. б озьмзм общие части треугольников я и ()Я, Ь н я», я и () н пристроим нх (т. е. многоугольники, им конгруентные) к А и В без перекрытий с А и В и между собой. Полученная фиту а С, очевидно, равновелика по разложению многоугольнику 6 ' я + ~ яэ + ~ 'т + ч~р ~)я, составленному каким-нибудь образом иэ всех треугольников я, я*, ), Ь» (т.
е. иэ всех ясу и всех )сс) без перекрытий. При этом та часть фигуры С, которая'расположена вне А и вне В, очевидно, равновелика по разложению многоугольнику ~ я+ ~~~~ ), составленному какам-нибудь образом из всех треугольников я и )без перекрытий, а, следовательно, равновелика по разложению многоугольнику а + аэ+... + ал + ь + Ь +...
+ Ь, составленному каким-нибудь образом нз ас я Ьс без перекрытий. ' Повторим то же самое построение для многоугольников А' н В'. Фигура С' будет равновелика по разложению с С, так нак обе оня равновелики по разложению с одним и тем же многоуюльником, составленным нз всех яс и всех Ц без перекрытий (ясу и )сс — общие в обоих случаях, хотя их разделение на а и я", Ь н (с» может быть и различным). Далее, часть С', лежащая вне А'+В', равновелика по разложению с частью С, лежащей вне А+В, так как обе они равновелики по разлоскеиию с многоугольником, сеставленным из ах, ас...., а», Ь» Ь, ..., Ь» без перекрытий.
Теорема доказана. (ы) докажем предварительно следующее утверждение: отре. вок, соединяющий вершину (А) треугольника с произвольной точйой (М), лежащей на противоположной стороне (ВС), меньше одной из двух других его сторон (АВ нлн АС). 454 пгнмичания [53[ пгимячания [54 †5 455 от Действительно (см. черт.. 28), так как точка М л ж очка лежит на п ямой А резке ВС, то отрезки ВМ и МС лежат по разные сто о ы р М н углы ««АМВ и ««АМС являются смежнымн. рн ог Следовзтельио, один нз ннх, например, «АМВ, паве н е, илн тупой, а другой (««АМС) — прямой нли остоый [тео ема 11). йоэуому, в снлу теоремы 22, углы ««ВА[( н «АВМ острые, так как ови меньше угла ««АМС.
Прнменяя.к треугольнику АВМ теорему 23, получаем, что АМ < АВ. т Докажем теперь, что отрезок КЕ, целиком лежа ий реугольннка, меньше одной из его сторон (че т. 29). В сил щ внутри леммы 1Н в п яме р мечанни [ ), любой луч, исходящий нз внутренней точки треугольника, проходит через треугольннк один раз. ие со е жит усть тот нз двух лучей прямой КЕ, исходящих из К, й д р Е, встречает треугольник в Р; а тот нз двух лучей , которы Черт.
28. Черт. 29. вст еч той же прямой, исходящих из Е, который не соде ж К, р нт н Г, ает трсугольннк в О.. Очевидно, К н Е лежат ме. д Р ж !' т е Одна нз точек Р, О, скажем О, должна лежать на сто о р угольника, например на ВС, другая зке либо лежит на др«гой р не его стороне, например АВ, либо совпадает с его верши я А. , определения неравенства отрезков следует, что КЕ < РО. (1) Соединим точки Р н С отрезком н применнм доказанное выше утверждение дважды: к треугольнику ВРС н отрезку РО н к треугольннку АВС и отрезку СР.
Мы получим: РО<РВ или РО<СР (2) СР < СВ илн СР«-. СА. (3) (Знак авенства р[ р нмеет место в том случае, когда прямая КЕ п оходнт'через.вершнну А, т. е. когда точк Р А з неравенств (1), (2), (3) н неравенства н н совпадают.) РВ~АВ (4) следует справедливость одного нз следующих трбх неравенств: КЕ < АВ, или КЕ < АС, илн КЕ < ВС. [ы[ Из теоремы 46 следует, что всегда можно найти прямоугольный треугольпнк, равнозелнкнй по дополнению данному треугольнику АВС.
Чтобы доказать, что этот последний равновелик по дополнению прямоугольному треугольнику, один нз катетов которого равен 1, отмечаем на стороне СА отрезок СЕ= 1 н на точки А проводим прямую АМ параллельно ВЕ (черт. ЗО). По теореме 46 треугольники ВЕМ н ВЕА равновелики по дополнению. Так как треугольник АВС составлен нз ВСЕ н ВЕА, а треугольник СЕМ вЂ” из ВСЕ и ВЕМ, то по теореме аддитивности « (примечание [ээ[) треугольника АЫС и СЕМ равновелики по дополненню. В случае СА < 1 располозкение чертежа будет несколько нное. л [ы) Здесь подразумевается построение. нового прямоугольного треуголь.
ника, один катет которого равен 1, а Черт. 30. другой равен сумме катетов, отличных от 1 в прежних прямоугольных треугольниках. Зтот второй катет нового треугольника мы прнмем за его основание, которое представляет собою, следовательно, сумму оснований прежних прямоугольных треуюльннков. Разобьем новый треугольник отрезками, соединяющими вершняу с точкамн деления основання. Полученные треугольннкн разбнення, по теореме 46, равновелики по дополнению прежним прямоугольным треугольникам, а следовательно (теорема 43), и треугольникам, на которые разбит исходный простой многоугольник.
По теореме аддитивности (прнмечанне [эт[) отсюда следует равпоиеликость по дополнению исходного многоугольнниа н построенного нами прямоугольного треугольника. [ээ) уточним всб сказанное. Будем называть прямую н апра в лен н ой, если для любых ей двух точек указан порядок их следовання, например А, В. Зтот порядок должен удовлетворять следующему требованню. Еслн В следует за А и С следует за В, то 1) С следует за А, 2) В лежит между А н С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
