Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 82

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 82)

е. по существу — к проектнвной гео метр й в, лишенной лишь, в согласии с общим ходом идей автора, аксиом непрерывности. Мы должн!з здесь вскрыть проектввный характер рассматриваемой геометрии, так как иначе появление теоремы дезарга не будет достаточно отчетливо мотивировано. Заметнм прежде всего, что из аксиомы !Ч» вытекает, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (под параллельным прямым мы понимаем здесь прямые, лежащие в одной плоскости и не нмеющне общих точек), Лемма 1.

Пусть кз трлх прямых а, Ь, с прямые а и Ь лежат в плоскости 7, Ь н с — в плоскости «, с н а в плоскости Ь (где а отлично от )). Тогда, если а н Ь имеют общую точку С, то эта точка принадлежит н с. Прежде всего 7 отлична от «и от ); если бы 7 совпадала с з, то эта плоскость содержала бы првмые а и с и (по теореме 2) совпадала бы с ). пгимичлння ~60] 460 пгнмичзиия (60] Общая точка С прямых а и Ь принадлежит тем самым всем трбм плоскостям и, 1, т; но плоскости ч, ]) имеют' общую прямую е и вне ея общих точен ие имеют (теорема 1). Следовательно, С принадлежит и е.

Лемма 2. Если из трех прямых а, Ь, е а]]Ь,а],'е, то н Ь ]] с. Обозначим через т плоскость (а, Ь) и через Ь вЂ ' плоскость (а, е). Если т и Ь тождественны, то Ь и с лежат в одной плоскости и не инеют общих точек — иначе, вопреки аксиоме 1Н", к прямой а через эту точку были бы проведены две параллели. Следовательно, Ь ]] с. Если т и ! различны, то через е н произвольную точку В на Ь проводим плоскость (теорема 2), которую мы обозначим з (точка В не принадлежит с — иначе Ь и с совпали бы по аксиоме !Ч«), Плоскости и и т различны (иначе с лежала бы в и Ь совпадала бы с т).

Обозначим через Ь' их общую прямую (так как а и т имеют общую точку В, то онн имеют общую прямую (теорема 1)]. Если бы Ь' была отлична от Ь, то, по аксиоме 1Чч (единственность параллели), Ь' имела бы общую точку с а; ио 'тогда, по лемМе 1, эта точка принадлежала бы и с, что невозможно,' так как а]]е.

Итак, Ь' совпадает с Ь, а значит, Ь н е лежат в одной плоскости а. Если бы Ь и с пересекались, то, по лемме 1, через ту же точку проходила бы прямая а, что невозможно. Итак, Ь]]с. Будем называть связкой параллелей совокупность всевозможных прямых в пространстве, параллельных данной прямой; по лемме 2, все прямые связки параллельны между собой. Мы не останавливаемся на изложении теории параллелизма межлу прямо(ь и плоскостью и между двумя плоскостями, так как она без труда может быть развита так же, как и в обычной стереометрии, ио уже с полной строгостью, в,результате ссылок на зксномы 1 и 1Ч«.

Переходим теперь к построению прае кт н вного про. с т р а и с т в а. Сопоставим каждой связке параллелей новый элемент пространства, который мы будем называть несобственной точкой. Йесобственные точки мы будем считать тождественными тогда и только тогда, когда тождественны определяющие их связки параллелей. Оп р е де л ение. Мы будем говорить, что несобствениа» точка принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда эта прямая входит в соответствующую связку параллелей Таким образом, теперь можно сказать, что все прямые параллельной связки имеют общую несобствейную точку. Определен не.

Мы будем говорить, что несобственная точка принадлежит данной плоскости тогда и только тогда, когда эта плоскость параллельна прямым соответствующей связки параллелей (т. е. когда па плоскости можно указать пучок параллелей, входящий' в связку). Таким образом, иа данной плоскости лежит бесчисленное множество несобственных точек, по одной для каждого пучка параллелей иа этой плоскости. Оп ре деле и не. Совокупность всех несобственных точек, принадлежащих данной плоскости, мы будем называть несобственной прямой, принадлежащей данной плоскости.

Очевидно, параллельные плоскости имеют все несобственные точки общими, а следовательно, имеют общую несобственную прямую. Определение. Совокупность всех несобственных точек мы будем называть кесобещееииой илоекосвгью (которая будет, таким образом; единственной). Построение проективиого пространства закопчено: под иим мы будем понимать совокупность точек, прямых и плоскостей как прежних (собственных), так и вновь построенных (несобственных), рассматриваемых без рззличия друг от друга. В проективиом пространстве справедливы следующие основные предложения: !. Лвум точкам отвечает одна и только одна принадлежащая им прямая.

2, Лвум плоскостям отвечает одна и только одна принадлежащая им прямая 3. Точке и ие принадлежащей ей прямой отвечает одна и только одна плоскость, принадлезкащая им обеим. 4. Плоскости и не принадлежащей ей прямой отвечает одна и только одна точна, принадлежащая нм обеим. 5. Трем точкам, ие принадлежащим одной прямой, отвечает одна и только одна плоскость, принадлежащая им всем. б. Трам плоскостям, ие принадлежащим одной прямой, отвечает одна и только одна точка, принадлежащая им всем. Особенно важно то обстоятельство, что предложения 2, 4, б в проективиом пространстве верны безоговорочно, в то время как в прежнем пространстве они допускали исключения (случаи параллелизма).

В достижении этой полной общности формулировок я состоит преимущество проективного пространства, и именно эту цель имеет введение новых — несобственных — элементов, Что касается проверки предложений ! †, то она выполняется на основе имеющих место в исходном пространстве аксиом 1, 1Ч" и покоящейся иа иих теории параллелизма и, конечно, на основе определений, использованных нами при введении несобственных элементов. При этом проверка ведется отдельно для всех возможных случаев.

Например, предложение 4 нужно проверить, когда 1) плоскость и прямая собственные пересекающиеся, 2) собственные параллельные, 3) плоскость несобственная, прямая собственная и 4) плоскость собственная, прячзя несобственная ч). «).Эту проверку предложений 1 — б мои!но найти, например, вкниге Н.

Ф. Ч ет веру хина «Высшая геометрия, гл. 11. пю!мячяиня [60 64] 462 пвнмвчлння !60] Теорема Дезарга (плоскостная) — первая из нетривиальных проективных теорем — доказывается на основе этих предложений и гласит следующим образом: Пуста АВС и А'В'С' — трвугольяики, лежащие ка одной плоско«ти и ке имеющие общих вершин и общих сторон (под сторонами мы понинаем здесь прямы е, а не отрезки).

Тогда — если !) три прямые, соединяющие соответствующие вершины, имеют общую точку, то 2) три точки пересечения соответствующих сторон лежат яа одной ирямой,— и обратно«из 2) следует !). Теорема верна в проективном пространстве, т. е. при любой комбинации собственных н несобственных элементов среди рассматриваемых в ней точек и прямых"). Рассмотрим частный случай теоремы Дезарга. Пусть имеет место свойство 1) н пусть, кроме того„две пары соответственных сторон параллельны, иначе говоря, имеют точки пересечения на несобственной прямой данной плоскости.

В силу теоремы Дезарга должно иметь место свойство 2), т, е, точка пересечения третьей пары соответственных сторон должна лежать на той же '(несобственнои) прямой, а значит, стороны в третьей паре тоже должны быть параллельны, Пусть, обратно, все три пары соответственных сторон параллельны, т, е. имеет место свойство 2) в том частном случЬе, когда точки пересечения соответственных сторон лежат все три на несобственной прямой. Тогда, по теореме Дезарга, имеет место и свойство 1), т, е. три прямые, соединяющие соответственные вершины, имеют общую точку, либо собственную, либо несобственную (т. е.

параллельны). Это н есть теорема 33 (в тексте Гильберта). Если в построенном проективном пространстве мы захотим йо конца уничтожить различие в свойствах между собственными и несобственными элементами, то нам придйтся определить дли точек на прямой новые отношения порядка, учитывая и несобственную точку прямой Мы не будем на этом останавливаться (для теоремы Дезарга отношения порядка не играют никакой роли); укажем только, что проективный порядок точек на примой будет круговым, и, хотя при его установлении понятие «между» и зксиомы И в области собственных точек должны быть использованы, на проективиой (дополненной не- «собственной точкой) прямой понятие «между» потеряет смысл. Резюмируем сказанное в этом примечании.

Г е о м е т р и я, основанная на аксиомах 1, П, 1Н«, есть по существу геометрия проективвого пространства, лишбнная части своих элементов. Присоединение несобственных элементов нужно рассматривать как восстановление этих элементов. в) Доказательство можно найти в той же книге И. Ф. Ч етв е р у х и и а, в также в любом курсе проективной геометрии. В результате получается обычная проективная геометрия, лиш йнная, однако, аксиом непре рыв иост и. Проективным характером геометрии и объясняется особенная роль теоремы Дезарга. [вт] Примем за ось этой недезарговой геометрии ось ОХ декартовой геометрии в прямоугольных координатах х, у, Выполнение аксиом 1т н 1т может вызывать сомнение только в том случае, когда м«„ул данные точки А (хп у,) и В(хт, ут) лежат в разных полуплоскостях и притом обычная прямая, соединяющая эти две точки, в положительной полуплоскости образует с положительным направлеуы.у» ч.

у«» пнем оси острый угол. Другими словамн, Че т. 36. если А (хь у,) лежит в положительной Черт. 3 . полуплоскости, то у, >О,уз < О хт > хт. Обозначим через С(х, О) (черт, 36) точку пересечения недезарговой прямой АВ, если таковая существует, с осью. Из определения недезарговой прямой следует, что =2 хз — х'хт — х ил~ ут(х! — х) =-2(хг — х)уп Отсюда 2у,хг — у хт х= —, 2уг — ут Отсюда следует, так как у, »О, — ух~ О, что х заключено междУ хт н хт, так чтб лУч СА и пРодолжеиие лУча СВ в положительной полуплоскости будут наклонены к осн под острым углом. Существование и единственность недезарговой прямой АВ. доказаны.

Выполнение аксиом )а, 11! в, П!! а, 1Н, Н совершенно очевидно. Без труда доказывается и аксиома 116 единственное усложнение здесь состоит в том, что следует рассматривать все возможные случаи расположения треугольника, [вэ] Другими словами, здесь нмеютси в виду углы, у которых либо вершина лежит вне оси, либо, если вершина лежит на оси, то ни одна из двух сторон не является лучом, лежащим в йоложнтельиой полуплоскости и образующим острый угол с положительным направлением оси.

Характеристики

Список файлов книги