Вейль - О философии математики - 1934 (947369), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Абстракцию можно извлекать не только из суждения, но из указания на суждение. Пусть, например, )с(т, и) будет отношением между двумя натуральными числами, притом отношением такого рода, что оно либо существует между двумя любыми числами, либо не существует. В таком случае для двух определенных чисел т и и утверждение или отрицание того, что они стоят друг к другу в отношении тс, является действительным суждением. Указание на суждение тс(лг, 5) („каждое число т стоит в отношении 77 к числу 5" или „в сущности числа заключается обладание свойством )с(,5)") будет правомерно. Мы можем в этом случае образовать следующую абстракцию: существует некоторое число л (мимоходом сказать, именно число 5), такое, что каждое число лт находится к нему в отношении )с(лг, и). Напротив, указание на абстракции суждений есть голое ничто, если за этим указанием не скрывается указание на действительные суждения, из которых потучилась наша абстракция.

Например: „для каждого числа гл существует такое число л, что между ними имеет место отношение )с(лг, п) . Здесь действительно идет речь об абстракции из некоторого указания на суждение. Какого указанияР Очевидно, следующего: пусть р будет определенный закон, порождающий из каждого числа и число 7 (лг), «усть общее указание на суждение 77(т, ~р(лт)) будет правомерно. Тогда мы в состоянии извлечь из него следующую абстракцию: существует некоторый закон р такого рода, что для каждого числа т имеет силу отношение )с между ги и ~р(лг).

Вышеприведенное суждение получает таким образом определенный смысл. Если теперь нам встретится какое- нибудь число, например число 7, то закон в порождает из 7 определенное число, скажем ~р(7) = 19; в этом случае мы можем сказать: между 7 и 19 имеет место отношение )с; имея это в виду, мы вправе установить абстракцию суждения, гласящую, что существует число и, стоящее в отношении )с(7, и) к 7. Таким образом выражение, существует' должно включать в себе выражение „каждый", но не наоборот, если мы формулируем суждения так, что они извлекаются в качестве абстракций иэ самодовлеющих суждений.

Исходным пунктом математики является ряд натуральных чисел, т. е. закон алеф, порождающий из ничего первое число 1 и из всякого уже существующего числа ближайшее, следующее за ним; этот процесс никогда не приводит к числу, порожденному уже ранее. Если мы желаем каким-либо образом закрепить числа для интуиции, то мы должны их отличить друг от друга символически, с помощью качественных меток. Поскольку мы имеем дело с арифметикой, мы совершенно отвлекаемся от подобных качественных меток; для арифметики 1 есть просто,порожденное из ничего", 2 — „порожденное из 1" и т. д. Можно сказать> что в математическом толковании действительности делается попытка мир, заданный сознанию в его самой общей форме, форме взаммопро- 10$ никновеиия бытия н сущности (ту-бытия и тако-бытия), представить в абсолютности чистого бытия.

Здесь корень глубокой истинности пифагореизма, согласно которому всякое бытие, как таковое, покоится .на числе. Общие самодовлеющие суждения математики трактуют частью о всем целом (А!!)те!1) натуральных чисел, частью же о всем целом становящихся посредством свободных актов выбора последовательностей натуральных чисел. Они, значит, относятся частью к простирающейся в бесконечность возможности безграничного, определяемого законом алеф, продолжения процесса развертывания натуральных чисел, а частью к заключенной в становящейся числовой последовательности бесконечной свободе вечно новых ничем не связанных актов выбора, которые на каждом шагу обрывают на произвольном месте все вновь и'вновь начинающийся процесс развития натурального числового ряда.

По самому существу дела интуиция сущности (!Чеаепае!пз!с!Й), из которой проистекают все общие суждения, опирается всегда иа так называемую полную индукцию. Она не нуждается в дальнейшем обосновании, да и не способна к нему, ибо она есть не что нное, как математическая первоинтуиция „еще одного раза". Получающиеся из этих общих суждений собственные суждения образуются таким путем, что вместо произвольного числа, о котором идет речь в общих суждениях, подставляется некоторое опред е л е н н о е число, а вместо вольно развертывающейся с в о б о д н о й последователь ности — закон р, определяющий до бесконечности некоторую отдельную числовую последовательность.

Из самодовлеющих суждений и указаний на суждения извлекаются абстракции, в которых выражение „существует" может относиться или к некоторому натуральному числу или же к некоторому закону, притом либо к закону, порождающему из каждого числа некоторое число (!цпс1!о б!зсге1а), либо к закону, порождающему из каждой становящейся последовательности посредством свободных актов выбора некоторое число (!ппсйо щ!х1а), либо же, наконец, к закону, порождающему из каждой становящейся посредством свободных актов выбора последовательности опять-таки становящуюся последовательность (!ппс1!о соп1!ппа). Но сами эти законы мы не делаем объектами общих высказываний.

Там, где говорится ,кажЬая последовательность", понятие закона (1ппс1!о бйзсге1а) заменяется понятием становящейся свободной последовательности; напротив, для 1цпсйопез щ!х!ае и сопйпцае у нас не имеется в распоряжении такого континуума, в который они укладывались бы подобно тому, как укладываются отдельные !цпсйопез б!зсте1ае в континуум вольно становящихся свободных последовательностей.

Все это предопределено а рг!ог! сущностью процесса порождения алеф математической первоинтуиции. Всякое применение математики должно исходить из известных, подлежащих математической обработке объектов, отличающихся друг от друга посредством некоторого количества знаков; этими знаками служат натуральные числа. Символическим методом, заменяющим эти объекты их знаками, достигается связь их с чистой математикой и ее конструкциями.

Так, в основании геометрии точки на прямой лежит система выше упомянутых двоичных ннтервалоз, которые мы смогли охарактеризовать двумя целочисленными знаками. 100 2. Понятия взнкции а) Рилсйо Иисге1а Последовательность ((ппсбо 61;сге1а, Е б.), сказали мы, есть закон, порождающий из каждого числа некоторое число. Свобода построения законов ничем не ограничивается, но закон всегда должен быть такого рода, что он действительно однозначно определяет для каждого числа порождаемое из него или сопрягаемое с ним число. Например, не является вовсе законом следующее правило: пусть а порождает число 1, если существуют три натуральных числа х, у, в, такого рода, что х" +у" = з", и напротив, пусть и порождает число 2, - если для любых трех чисел х, у, г мы имеем х" +у'фв".

Ибо с точки зрения тех логических взглядов, к которым мы теперь пришли, здесь пет налицо правила, действительно определяющего сопрягаемое число. Точно так же не будет законом в подобной формулировке н правило: пусть л порождает число 2, если имеется число т такого рода, что и= 2ш, и напротив, пусть «г порождает 1, если для каждого натурального числа и имеем ль'; 2т.

Но законом явится следующее предписанпе, дающее возможность с помощью полной индукции отличить числа ч е т н ы е от чисел н е ч е т н ы х, не прибегая к выражениям „существует" или „каждый", которые здесь нужно было бы применить к бесконечной последовательности натуральных чисел: „пусть 1 порождает число 1; если и порождает число 1, то следующее за и число л' порождает 2; еслй, напротив, и порождает число 2, то л' порождает 1'.

Таким образом, практически. говоря, должно иметься налицо правило, устанавливающее, как определить для данного нам числа число, из него порождаемое, если только мы в состоянии следовать за процессом развертывания числового ряда до любого его места, иными словами, если мы в состоянии порождать из каждого числа ближайшее следующее за ним и можем для любого числа и пробежать ряд чисел от 1 до в. При символическом методе, обозначающем числа качественно различными знаками, мы разумеется, должны кроме того еще предположить, что мы в состоянии решить о двух данных числах, равны ли они или различны. Свойство 6 такого рода, что предложение: „любое число обладает свойством 6" есть суждение в собственном смысле слова; иначе говоря, свойство, которое либо присуще, либо не присуще какому-нибудь числу, мы можем (как зто показывает вышеприведенный пример с четными и нечетными числами) определить как некоторую последовательность, именно, как закон, порождающий из любого числа либо 1, либо 2, причем, например, 1 может служить символом для ответа „да", 2 же символом для ответа „нет".

Так как в дальнейшем мы будем~употреблять слово свойство в более широком смысле, то закон С подобного рода мы будем называть характером. Его отрицание С получается заменой 1 на 2 (да и нет) и обратно. Понятие характера можнорасширить, введя понятие А-членного характера, выражающего закон, порождающий из всякого числа одно из чисел от 1 до А. Простейшим примером может служить характер сравнения по модулю в.

Он основывается на циклическом расположении чисел от 1 до Й, при котором числа следуютдруг за другом так, квк онн даны нам в процессе развертывания числового ряда; на 110 числе А этот процесс обрывается и за Й вновь следует 1. Закон, сопрягающий с каждым числом и его вычет =«(л), нужно формулировать тогда следующим образом: =«(1)=1; =«(л') есть для каждого и число, следующее в циклическом расположении чисел от 1 до й за = „(а). Этот закон действительно описывает тот метод, которым мы пользуемся, когда хотим решить, например, на практике, делится ли некоторое число и на 5.

Пробегая ряд чисел от 1 до л, мы зсе время отсчитываем от 1 до 5, и потом снова начинаем с 1. Там, где мы употребляем слово характер без всяких дополнений, мы постоянно подразумеваем двухчленйый характер. Самым первоначальным законом является тот, который порождает из всякого числа п ближайшее за ним следующее число л' (или и+1).

Характеристики

Список файлов книги